線型近似

数学における線型近似（せんけいきんじ、）とは、一般の関数を一次関数を用いて（より正確に言えばアフィン写像を用いて）近似することである。

例えば、2回微分可能な一変数関数 f は、テイラーの定理の n = 1 の場合により、

と表せる。R2は剰余項である。線型近似は剰余項を落とした

となる。この近似は x が a に十分近い場合に成り立つ。この式の右辺はちょうど元の f のグラフの (a, f(a)) における接線の表式となっており、そのことから、接線近似とも呼ばれる。

をaにおけるfの標準線型近似といい、x=a をセンターという。

線型近似は多変数関数に用いることもでき、この場合は導関数の代わりに関数行列が用いられる。例えば、微分可能な実関数 f(x, y) は、(a, b) に十分近い (x, y) においては次のように近似できる。

右辺は z = f(x, y) のグラフの (a, b) における接平面の表式となっている。

さらに一般に、バナッハ空間においては

と表される。ここで Df(a) は f の a におけるフレシェ微分である。

例
線型近似を用いて  の近似値を求めてみよう。

という関数を考える。この関数について f(25) を求めればよい。
微分すると  である。
線型近似により  となる。
小数に直すとおよそ2.926であるが、これは確かに真の値2.924…に近い。

 関連項目 
 差分法

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