広義の記数法

この項では基本的な位取り記数法を除く、負の数や虚数を含む記数法等について述べる。
ここでは仮数とは、その位に記された数のこととし、
底（てい）とは、その位の一つ上の位の値が持つ、その位に対する重みの倍率とする。

 標準的な記数法 
この節では、底が一定で冗長でない記数法について説明する。

書き方は位取り記数法と同じく、底が K であれば、数

を

のように仮数を書き並べることで表記できる。この記法では、n を自然数とすると

が成り立つ。一般的に位取り記数法と呼ばれるものは、0 から N − 1 までの N 個の整数を仮数にもつ底が N の表記法のことである。これは任意の 0 以上の実数を無限に近似できるが、その他の数を表記するには演算子が必要となる。

中には底が自然数でないものも考えられている。コンピュータでは二進法を用いている場合がほとんどだが、符号の扱いが難しい。そこで、底を −2 とした記法が考えられた。この方法では、0 と 1 を用いてすべての整数を表すことが出来る。その他に複素数を表記するため、−1 + i を底としたものも考えられている（i は虚数単位）。これらはドナルド・クヌースにより考案されたが、演算が複雑なため実際に用いられることは稀である。

 自然数を表記するもの 
仮数が N 通りであるものの、0 を含まずに 1 から N までを使用するのがである。この表記法で整数の 0 を表そうとすると空文字列になってしまう。また、途中の桁を 0 にすることはできない。N=26 である A, B, ..., Z, AA, AB, ... のような形式が、表計算ソフトの列名などで用いられている。N=1 とすると一進法となる。

 実数を表記するもの 
仮数が N 通りであれば、底は ±N となる。

任意の実数を表記できるものとして、次の例が考えられる。
 名前 仮数 底 一桁の演算で繰り上がる確率 除算 加算 乗算 マイナス二進法 0, 1  −2  1/4  0/4  可 なし[B]  −2, −1, 0, 1  4  4/16  3/16  可 平衡三進法 (balanced ternary) [C]  −1, 0, 1  3  2/9  0/9  可 マイナス三進法 [D]  0, 1, 2  −3  3/9  1/9  可 なし[E]  −3, −1, 0, 1, 3  5  12/25  4/25  不可

 複素数を表記するもの 
i  は虚数単位とする。仮数が n 通りであれば、底の絶対値はとなる。

任意の複素数を表記できるものとして、次の例が考えられる。
 名前 仮数 底 一桁の演算で繰り上がる確率 除算 加算 乗算 なし  0, 1  −1+i  1/4  0/4  不可 なし  0, 1    1/4  0/4  可 なし実数を表記した場合、マイナス二進法と同じ表記となる。 0, 1, ,   −2  9/16  0/16  不可 なし実数を表記した場合、平衡三進法と同じ表記となる。 −1+i, i, 1+i, −1, 0, 1, −1−i, −i, 1−i  3  32/81  16/81  可   0, 1, 2, 3  2i  6/16  4/16  可 なし  i, −1, 0, 1, −i  2+i  12/25  0/25  不可
注釈

 冗長な記数法 
ここでは、小数点から上に数えて n番目の位を n-1番位と呼ぶことにする。
例えば二進法では、n番位の重みは 2n である。

次に例を挙げる。
 冗長二進法 (redundant binary representation, RB) とは、符号付二進法 (signed-digit, SD) の一種で、 -1, 0, 1 を仮数に持ち、底を 2 とした記数法である。任意の実数はこの表現を無限に持つ。
 非隣接形式 (non-adjacent form, NAF) [F] とは、冗長二進法において隣接する二つの位の少なくとも一方の仮数を 0 としたものであり、符号付二進法の一種である。この記法による表現は任意の整数に対して一つだけ存在する。この表記方法は通常の二進法と比較して、仮数が 0 の位が多く乗法や指数演算の処理速度が速い。応用例としては、楕円曲線上のスカラー倍算を効率的に計算する方法が知られている。
 相互交代形式 (mutual opposite form, MOF) [G] とは、冗長二進法において、0 を除くと 1 と -1 が交互に並び最上位が 1 で最下位が -1 としたものであり、符号付二進法の一種である。この記法による表現は任意の自然数に対して一つだけ存在する。 2004 年 8 月 23 日に、日立製作所により発表された。
 0, 1 を仮数に持ち、底を黄金比 φ とし、隣り合う二つの位の少なくとも一方の仮数を 0 とした記数法 (golden ratio base, 黄金進法) [K] がある。この記法では各位で、11 = 100 および 1 + 1 = 10.01 が成り立つ。また十進法で表記された数は、この記法では 10.1 と表記できることにも注意したい。

 複数の底の混在 

表記法の内部で底 N が一定であれば各桁の重みは N の冪乗となるが、ここではそれに限定しない表記法を述べる。
 桁数が制限された二進法の、最上位の一つ下の位の底を -2 とした表記法 [H] による表記は2の補数表記と一致する。
 二五進法 [I] とは、偶数番位は仮数が 0, 1, 2, 3, 4 で底が 5 、奇数番位は仮数が 0, 1 で底が 2 である記数法である。これは十進法の一つの位を二つに分割した形となっており、そろばんではこれが使用されている。

 階乗進法 (factoradic) [J] とは、0番位は仮数が 0 で底が 1 、 1番位は仮数が 0, 1 で底が 2 、 2番位は仮数が 0, 1, 2 で底が 3 、 3番位は仮数が 0, 1, 2, 3 で底が 4 、…とした記数法である。また、この記法の拡張として、 -1番位は仮数が 0, 1 で底が 2 、 -2番位は仮数が 0, 1, 2 で底が 3 、…とした記数法があり、これには任意の有理数を有限小数で表記できるという特徴がある。なお n番位の重みは、 n≧0 ならば n の階乗、 n＜0 ならば -n+1 の階乗の逆数となる。
 時間の表記法の各単位を桁とみなすと、例えば32週5日7時間45分の各桁の重みは、週: 10080 分、日: 1440 分、時間: 60 分と言うことができる。

 対応表 
ここでは -n をと表記する。
他には、WWW との適合性のため -n を n と書いたり、
を単に T と書く手法もある。
十進法[A][B][C][D][E][F][G][H][I][J][K] -16  110000  00  11  1102    0000    10000       -15  110001  01  110  1220  0  0001    10001       -14  110110  1  111  1221  1  0010    10010       -13  110111  1    1222  3  010    10011       -12  110100  10  0  1210  3  0100    10100       -11  110101  11  1  1211  3  0101    10101       -10  1010    0  1212  30  00    10110       -9  1011    00  1200  31  00    10111       -8  1000  0  01  1201    000    11000       -7  1001  1  1  1202  33  001    11001       -6  1110    10  20    010    11010       -5  1111    11  21  0  0    11011       -4  1100  0    22  1  00    11100       -3  1101  1  0  10    01    11101       -2  10    1  11  3  0    11110       -1  11      12        11111       0  0  0  0  0  0  0    00000  0  0  0 1  1  1  1  1  1  1  1  00001  1  10  1 2  110  1  1  2  1  10  10  00010  2  100  10.01 3  111  1  10  120  3  10  10  00011  3  110  100.01 4  100  10  11  121  1  100  100  00100  4  200  101.01 5  101  11  1  122  10  101  11  00101  10  210  1000.1001 6  11010  1  10  110  11  100  100  00110  11  1000  1010.0001 7  11011  1  11  111  1  100  100  00111  12  1010  10000.0001 8  11000  10  10  112  13  1000  1000  01000  13  1100  10001.0001 9  11001  11  100  100  1  1001  101  01001  14  1110  10010.0101 10  11110  1  101  101  10  1010  110  01010  100  1200  10100.0101 11  11111  1  11  102  11  100  110  01011  101  1210  10101.0101 12  11100  10  110  220  3  1000  1000  01100  102  2000  100000.101001 13  11101  11  111  221  13  1001  101  01101  103  2010  100010.001001 14  10010  10  1  222  3  1000  1000  01110  104  2100  100100.001001 15  10011  10  10  210  30  1000  1000  01111  110  2110  100101.001001

 演算 
標準的な記数法の上での、加法、減法、乗法、除法の算法について説明する。

 加法、減法、乗法 
加法と乗法については、あらかじめ各仮数同士の計算結果を表にしておき、それを見ながら計算すればよい。
加算時の繰り上がりは上の位にさらに足すことや、二桁以上の乗算については、
が成り立つことに注意して計算を実行していく。
減法については表を作ってもよいが、
引く数に -1 を掛けてから引かれる数に足すという方法も考えられる。

例として、底が 4 で仮数に -2, -1, 0, 1 を持つ記数法の、加算と減算と乗算の表を次に示す。
+加算+0101100011011+減算 (左－上)－010110011011110+乗算×01101011000000101

 除法 
底を K とした K進法の上で R を D で割る手順を説明する。
記数法によって決まる、一桁の商を示す二変数関数 QK が分かっているとし、
十分に大きな整数 n をとり、次の計算を行う。
                           rn=R
   cn=QK(rn  , DKn )   rn-1=  rn-cnDKn
 cn-1=QK(rn-1, DKn-1)   rn-2=rn-1-cn-1DKn-1
 cn-2=QK(rn-2, DKn-2)   rn-3=rn-2-cn-2DKn-2

 ......

   c0=QK(r0  , D   )    r-1=  r0-c0D
商は K進法で cncn-1…c0 となり、
余りは r-1 となる。
ただし記数法によっては、 0.XXX... の形で表記できる範囲がフラクタルを描くため
QK が作れなくなり、除算が不可能となる。
またこの操作をさらに続けると、循環小数が商として得られる。

Q(r, d) の例を次に示す。
 十進法
d≦0 または r＜0 または 10d≦r は禁止で、
0≦r＜d ならば Q(r, d)=0 
d≦r＜2d ならば Q(r, d)=1 
2d≦r＜3d ならば Q(r, d)=2 
......
8d≦r＜9d ならば Q(r, d)=8 
9d≦r＜10d ならば Q(r, d)=9 となる。
 底が -2 で仮数に 0, 1 を持つ記数法
d=0 または (r＜-2d/3 かつ r＜4d/3) または (-2d/3＜r かつ 4d/3＜r) は禁止で、
d/3＜r≦4d/3 または 4d/3≦r＜d/3 ならば Q(r, d)=1 
-2d/3≦r≦d/3 または d/3≦r≦-2d/3 ならば Q(r, d)=0 となる。
 平衡三進法
d=0 または (r＜-3d/2 かつ r＜3d/2) または (-3d/2＜r かつ 3d/2＜r) は禁止で、
d/2＜r≦3d/2 または 3d/2≦r＜d/2 ならば Q(r, d)=1 
-d/2≦r≦d/2 または d/2≦r≦-d/2 ならば Q(r, d)=0 
-3d/2≦r＜-d/2 または -d/2＜r≦-3d/2 ならば Q(r, d)=-1 となる。

 記法の変換方法 
標準的な記数法に対しての、数の表記法を変換する方法を説明する。

 十進法からの変換（整数部分） 
余りが仮数に含まれるように底で割っていく方法がある。この方法では下位の仮数から求まる。

例えば十進法で表記された数3620を平衡三進法に変換すると、
 3620 ÷ 3 = 1207 . . . -1
 1207 ÷ 3 =  402 . . .  1
  402 ÷ 3 =  134 . . .  0
  134 ÷ 3 =   45 . . . -1
   45 ÷ 3 =   15 . . .  0
   15 ÷ 3 =    5 . . .  0
    5 ÷ 3 =    2 . . . -1
    2 ÷ 3 =    1 . . . -1
    1 ÷ 3 =    0 . . .  1
から平衡三進法では
10001
と表記できる。

また、基本的には複素数を表記する記数法ではこの変換は難しいが、
底が -1+i で仮数に 0, 1 を持つ記数法では、比較的簡単に計算できる。
ある複素数 x+yi に対して (x, y は整数) 、
 (x + yi) ÷ (-1 + i) = p + qi . . . c
となる整数 p, q と仮数 c を求める。この式を変形すると、

の 2 式が得られる。 x+y が奇数なら -x+y, -x-y も奇数なので p, q が整数であることに注意すると、
x+y が奇数のとき c=1 、偶数のとき c=0 がわかる。

 十進法からの変換（小数部分） 
上にある除法の節の QK を利用し、次の計算を行う。
変換前の十進数を R とする。
                 r0=R
 c0=QK(r0, 1)   r1=K×(r0-c0)
 c1=QK(r1, 1)   r2=K×(r1-c1)
 c2=QK(r2, 1)   r3=K×(r2-c2)
 ......
これにより、 R は K進法で c0.c1c2c3... と表記できる。

 十進法への変換（整数部分） 
上位より仮数を足してから底を掛けていく方法がある。

例えば 0, 1 を仮数に持ち、底を -2 とした記数法で表記された数 1101101 を十進法に変換すると、
   0+1=  1    1×(-2)= -2
  -2+1= -1   -1×(-2)=  2
   2+0=  2    2×(-2)= -4
  -4+1= -3   -3×(-2)=  6
   6+1=  7    7×(-2)=-14
 -14+0=-14  -14×(-2)= 28
  28+1= 29
から十進法では 29 と表記できる。

 十進法への変換（有限小数部分） 
上位より仮数を足してから底を掛けていき、最下位の仮数を足したら、
それに最下位の重みを掛けるという方法がある。

 十進法への変換（循環小数部分） 
次の式を利用して変換できる。

　　　　　(|e|＞1)

 位の統合と分割 
二つの記数法があるとし、それぞれの底が n, nk となっており、
底が n の方で k桁で表される全ての数が、底が nk の方では 1桁で表される時、
その対応により、各位を変換するだけで任意の数を変換することができる。
例えば、0, 1 を仮数に持つ底が -2 の記数法 [A] と、
-2, -1, 0, 1 を仮数に持つ底が 4 の記数法 [B] は、
10 と 、11と 、00 と 0 、01 と 1 が対応しているので、
例えば [A] で表記された 100011011 の二つの位を一つに統合すると、
101 となり [B] での表記が得られる。

 詳しい定義 
各用語の詳しい定義を紹介する。

0 を含む連続した整数の集合 z をとり、その元を位(あるいは桁)と呼ぶ。
特定の位をさしたいときには、0番位や 1番位と単位をつけることにする。
そして、任意の n∈z に対して空でない実数の有限集合 mn をとり、
その元を n番位の仮数と呼ぶ。そして、任意の n∈z に対して実数 Kn を定め、
この Kn を n番位の重み(あるいは意味)と呼び、
Kn+1/Kn を n番位の底(あるいは基数)と呼ぶ。
これらをもとに数を表す方法を記数法(あるいは位取り記数法)という
( mn の元や Kn は複素数でもよい)。
この z, mn, Kn による記数法をK進法(あるいは K進記数法)とする。

集合
MK={|Ci∈mi, i∈z}
をとったとき、任意の ε＞0 に対して |X-Y|＜ε となる Y∈MK が存在することを、
K進法で X を表記できるという。

ε を 0 に近づけたときの、 MK の元の極限
を X の K進展開 と呼び、これを
...C2C1C0.C-1C-2...
と書いたものを X の K進表記(あるいは X の K進表現、あるいは X を意味する K進数)と呼ぶ。
このとき、0番位以外で仮数が 0 の位が無限に続く部分は省略するが、
省略されずに残った位の個数を桁数と呼ぶ(助数詞は桁)。

ある記数法において、ある（あるいは、全ての）整数について実数の場合、1.0 = 0.999... であるように、記数法ではなく数そのものの性質に由来する、表記の冗長性がある。表記法が複数あるような場合を、冗長であるという。

 関連項目 
 位取り記数法
 p進数
 命数法

注・参考文献

 伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会 ISBN 9784890194322

こうきのきすうほう
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