多角形表記

多角形表記（たかくけいひょうき、polygon notation）とは、多角形を用いた巨大数の表記法である。フーゴ・シュタインハウスによって考案され、後にレオ・モーザーによって拡張された。

 スタインハウスの多角形表記 
スタインハウスの多角形表記は、次のように定義される。
代替文=三角形の中にn|30x30ピクセル 
代替文=四角形の中にn|30x30ピクセル 
代替文=円の中にn|30x30ピクセル 

この表記を用いて、スタインハウスは次の数を定義した。
30x30ピクセル|円の中に2 をメガ (mega) という。
30x30ピクセル|円の中に10 をメジストン (megiston) という。

 モーザーの多角形表記 
モーザーの多角形表記は、スタインハウスのものを拡張し、一般の多角形を用いるようにした。
代替文=三角形の中にn|30x30ピクセル、代替文=四角形の中にn|30x30ピクセルはスタインハウスのものと同じ。
32x32ピクセル|五角形の中にn = 「n 重の四角形の中の n 」 (= 代替文=円の中にn|30x30ピクセル )
一般に「m 角形の中の n 」 = 「n 重の (m - 1) 角形の中の n 」

「30x30ピクセル|円の中に2角形の中の2」 をモーザー数と言う。

 ブラケットでの表記 
ヨーク大学のSusan Stepney教授は、自らのサイトで次の代用表記を使っている。
p 角形の中の n を  と表す。
 は必要なだけ繰り返せる。たとえば、p 角形の中の q 角形の中の n は  と表す。
k 重の p 角形の中の n を  と表す。つまり、

である。

これを使えば多角形表記の定義は次のようになる。
代替文=三角形の中にn|30x30ピクセル = n[3] = nn
代替文=四角形の中にn|30x30ピクセル = n[4] = n[3]n
32x32ピクセル|五角形の中にn = 代替文=円の中にn|30x30ピクセル = n[5] = n[4]n
一般に n[m] = n[m−1]n（mが4以上の場合）

他の例としては：
53x53px|4重の三角形の中にn = n[3]4

スタインハウスとモーザーが定義した巨大数は次のように表せる。
30x30ピクセル|円の中に2（メガ） = 2[5]
30x30ピクセル|円の中に10（メジストン） = 10[5]
モーザー数 = 2[2[5]] = 2[②]

この代用表記は、モーザー数のような、忠実な多角形の図による表記が事実上不可能なほど巨大な数も表記できるという利点がある。

 計算 
忠実な多角形の図による表記では、内側から計算される。またブラケットでの代用表記では、左から計算される。

 簡単な例 
 2[3] = 22 = 4
 2[4] = 2[3]2 = 4[3] = 44 = 256

 スタインハウスのメガ 
30x30ピクセル|円の中に2 = 2[5]
 = 2[4]2
 = 2[4][4]
 = 256[4]
 = 256[3]256

したがって、30x30ピクセル|円の中に2+1はフェルマー数である。

256[3]nを順に見ていくと、

ここで、↑はクヌースの矢印表記である。

となる。ここで、きわめて大雑把な「近似」

を導入する。しかし近似といっても実際は

であり、通常の感覚ではまったくかけ離れていることに注意。このような現象を「指数タワーパラドックス」と呼ぶ。

同様に、

と「近似」できる。したがって、
30x30ピクセル|円の中に2 
である。

さらに大雑把な「近似」を認めれば、
 30x30ピクセル|円の中に2 
と表せる。ただし実際は、
 30x30ピクセル|円の中に2 
である。

具体的な値は
 30x30ピクセル|円の中に2 
に近く、したがって
 30x30ピクセル|円の中に2 
の範囲にあって、
 30x30ピクセル|円の中に2 
の範囲にある。
 スタインハウスのメジストン 
30x30ピクセル|円の中に10 

スタインハウスのメガの時と似た「近似」によって、およそ

 (*)
であるとすると、

ここで、一般の a, b, n について次のような式を考える。a↑b = ab に注意すれば、

a, b が十分に大きければ

だから、

と近似してよい。

これを n が 1 になるまで繰り返せば、

したがって、n ≫ b ならば
 (**)
と近似してよい。

(**) を用いて、改めて 10[4]2 を近似すると

である。以下同様に (*) と (**) を使えば

したがって、

であるので、大雑把には
30x30ピクセル|円の中に10 ≒ 10↑↑↑11
である。ただし、実際はメガと同様に、
30x30ピクセル|円の中に10 ≫ (10↑↑)10 11 ≫ 10↑↑↑11
である。

 モーザー数 
モーザー数は 30x30ピクセル|円の中に2 である。したがって、2[2[5]]+1はフェルマー数である。先に示したように 30x30ピクセル|円の中に2 は相当な巨大数であるので、30x30ピクセル|円の中に2 角形はほとんど円も同然であり、忠実な多角形の図による表記は事実上不可能である。

モーザー数が 30x30ピクセル|円の中に2 よりはるかに大きいことは自明で、また 30x30ピクセル|円の中に10 よりもはるかに大きい。

しかし、グラハム数よりは圧倒的に小さいことが Tim Chow によって1998年に証明された。この証明によれば、モーザー数 M はチェーン表記や矢印表記、そしてハイパー演算子を用いて

である。

モーザー数をクヌースの矢印表記で厳密に表すのは事実上不可能であるが、およそ  に近似すると考えられる。

 その他 
多角形表記では、巨大数のレベルとしては、クヌースの矢印表記レベルの巨大数を作ることができ、増加速度としては、近似的には、多角形表記の多角形の角を1つ増やすことは、クヌースの矢印表記の矢印を1本増やすことに相当する。

 関連項目 
巨大数
クヌースの矢印表記
コンウェイのチェーン表記

脚注

 注釈 

 出典 

 外部リンク 
 Susan Stepney's Big Numbers


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