エーレンフェストの定理

エーレンフェストの定理（エーレンフェストのていり、）は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで古典力学における運動方程式（に大変よく似たもの）が得られる』ことを主張している。この定理はオランダの物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。

 定理の主張 
量子系の座標のrの期待値とそれに共役な運動量pの期待値とが時間とともにどのように変化するかを計算し、,より、それぞれ、　（1）　　　　　（2）

が得られる。これは、古典論の運動方程式、



とよく似ている。rの期待値とpの期待値が時間とともにどのように変化していくかという関係、（1）の式と（2）の式をエーレンフェストの定理という。

 証明 
まず、期待値の定義より

を得る。ここでシュレーディンガー方程式より

部分積分と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると

これらを用いると

再度シュレーディンガー方程式を用いて

また部分積分を使うと、

加えて

を用いると、

を得る。この右辺の積分は、期待値の導出法からの期待値であるから、

となる。

 脚注 

 出典 

 関連項目 

 古典物理学

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