矩形数

矩形数（くけいすう、、）とは、連続する自然数の積の値のことである。長方形数、長方数とも呼ばれる。矩形数は全て偶数であり、最小のものは  である（ただし  を矩形数に含める場合もある）。

 数学的性質 
 番目の矩形数は  であり、これは  番目の三角数の2倍に等しい。
矩形数を小さい順に列記すると
（）
矩形数の1の位は 0, 2, 6 のどれかである。
さらに、2, 6, 2, 0, 0 を無限に繰り返す。
矩形数の1の位が 0, 2 の場合は全パターンの末尾2桁が存在するが、1の位が 6 の矩形数の末尾2桁は 06, 56しか存在しない。

 から  番目の偶数までの総和は、 番目の矩形数に等しい。
例：, , 
{|
!2!! !!6!! !!12!! !!20
|-align="center" valign="top"
|16px|*16px|*
|
|16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
|
|16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
|
|16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
|}
素数である矩形数は  のみである。 は矩形数のうち唯一のフィボナッチ数であることが知られている。
 であり、39番目までの矩形数に41を加えた数は、オイラー素数である。

素数番目の矩形数は、素数にその素数の正の約数の総和を乗じたものである：（ は約数関数）（）
偶数の完全数の正の約数の総和は矩形数である。（）
 次正方行列の成分のうち対角成分でないものの個数は  番目の矩形数になる。
矩形数の逆数和は  に収束する。

この部分分数分解から、矩形数の逆数は自然数の逆数の階差数列を作ることが分かる（正負の符号は異なる）。また、矩形数の逆数を  個、  個、  個、 ・・ の （) 乗個、・・ずつ順に加えてゆくと初項、公比とも  の無限等比数列になることも導かれる。

…

 その他矩形数に関すること 
矩形数はある数 n を多重根号で表すときに出現する。
  , 
6は5番目の矩形数30と6番目の矩形数42で表すことが可能である。これは  より x = n ∓ n と表せるからである。

 関連項目 
 図形数
 三角数

 外部リンク 


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