ヴェブレン階層

ヴェブレン階層（ヴェブレンかいそう）とは、ヴェブレン関数の値からなる超限次元の行列であり、フェファーマン・シュッテの順序数（Γ0）未満の順序数を表現する一般的な方法である。Γ0 未満の任意の順序数は、0（最小の順序数）と加法とヴェブレン関数の記号のみによって有限長で記述できる。オズワルド・ヴェブレンが1908年の論文にて紹介した。

ヴェブレン階層とヴェブレン関数
ヴェブレン関数 φ は、可算な順序数の上に定義される二変数関数で、最小の非可算な順序数を Ω で表すとき、ヴェブレン関数の値からなる Ω × Ω の超限次元の行列を特にヴェブレン階層と呼ぶ。
ヴェブレン階層の α 行目、β 列目の値を φα(β) と書く。
ここでは、概略的な説明にとどめる。

まず、ヴェブレン階層の 0 行目に additive principal な順序数を小さいものから順番に置く。
（すなわち、 φ0(α) = ωα）
次に、1 行目には、 φ0(α) = α をみたすような α を小さいものから順番に置く。
これらの順序数 φ1(α) を、特に εα  と書く。
例えば、 ε0 は、 となる最小の順序数 で、直感的には の値である。
ただし、ε0ω = ε0 ではないことに注意せねばならない。
従来の羃の表記よりは、右上から左下にかけて小さく書かれている方が、意味的には正しい。
ε1 は、ε0 より大きく ωα = α であるような最小の数 α で、  の極限として与えられる。
一般に、後続順序数 α + 1 に対して、ヴェブレン階層の α+1 列目は φα(β) = β となるような β が順番に置かれ、極限順序数 λ に対しては、それより上のすべての行に現れる順序数が順番に置かれる。

このように構成されたヴェブレン階層の値は、次のように比較することができる：
次のいずれかが成り立つ場合、 φα(β) < φγ(δ)。
 α = γ かつ β < δ  
 α < γ かつ β < φγ(δ)
 α > γ かつ φα(β) < δ

フェファーマン・シュッテの順序数
フェファーマン・シュッテの順序数 Γ0 は、φα(0) = α を満たす最小の順序数 α に相当する。

 脚注 

 関連項目 
 順序数
 極限順序数
 超限順序数
 最小の超限順序数 
 エプシロン・ノート  

 （Feferman–Schütte ordinal） 
 多変数ヴェブレン階層
 (有限)多変数に拡張されたヴェブレン階層
 超限変数に拡張されたヴェブレン階層
 アッカーマン順序数（Ackermann ordinal） 
 小ヴェブレン順序数（small Veblen ordinal） 
 大ヴェブレン順序数（large Veblen ordinal） 
 順序数崩壊関数（ordinal collapsing function）
 最小の非可算順序数 

  （ブーフホルツのプサイ関数）

 外部リンク 
 ヴェブレン関数 | 巨大数研究 Wiki | Fandom

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