真理関数

真理関数（しんりかんすう、英：Truth function） とは、数理論理学において、真理値の各変数の変域と終集合とがそれぞれ『「真な命題」と「偽な命題」のみから成る集合』に等しいような写像である。真理関数は命題関数でもある。

 定義 
真理関数を定義する為に次の 2 つの記号を用いる。
真な命題を表す記号 ： 
偽な命題を表す記号 ： 
L を  と  とだけから成る集合とし、n を自然数とする。そのとき、n 個の L の直積  から L への写像を n 変数の真理関数という。

 主な真理関数 
1 変数の真理関数 ￢ と 2 変数の真理関数 ∨、∧ とはそれぞれ以下の等式で定義される。ただし、A 、B は L の元の変数である。

￢A 、A∨B 、A∧B をそれぞれ、A の否定、A と B との論理和、A と B との論理積という。n 変数の真理関数は全部で  個ある。

 真理値表 
真理関数の定義を真理値表という表を用いて示すことがある。

+ ￢ の真理値表 A  ￢A      

+ ∨ の真理値表 A  B  A∨B                    

+ ∧ の真理値表 A  B  A∧B                    

真理値表は次のように見る。￢ の真理値表の第 1 行は 「 A =  であるとき、￢A =  である 」 を意味する。∨ の真理値表の第 2 行は 「 A =  、B =  であるとき、A∨B =  である 」 を意味する。∧ の真理値表の第 3 行は 「 A =  、B =  であるとき、A∧B =  である 」 を意味する。

 真理集合 
F を n 変数の真理関数とするとき、F(X) =  を満たす  の元 X 全体から成る集合を F の真理集合といい、[F] で表わす。

例

2 つの真理関数 F と G とが等しいことは、F の真理集合と G の真理集合とが等しい為の必要十分条件である。

 関連項目 
数学基礎論、数理論理学、命題論理、ブール代数
否定、論理和、論理積、同値、否定論理積、真理値表
無矛盾律、排中律、交換法則、結合法則、分配法則、吸収法則、ド・モルガンの法則
命題関数、選言標準形、連言標準形
 参考文献 

前原昭二、復刊 数理論理学序説、共立出版株式会社、2010。
しんりかんすう
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