五角数

五角数（ごかくすう、pentagonal number）とは、多角数の一種で、正五角形の形に点を図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。五角数は無数にあり、そのなかでは 1 が最も小さい。3で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例：5 (= 1 + 4)、12 (= 1 + 4 + 7)、92 (= 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22)

 一般項 
 1   5   12   22 16px|*16px|*16px|*16px|*15px| 16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*15px| 16px|*16px|*15px| 16px|*15px| 16px|*16px|*15px| 16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*15px| 16px|*16px|*16px|*15px| 16px|*15px| 16px|*16px|*15px| 16px|*15px| 16px|*15px| 16px|*16px|*15px| 16px|*15px| 16px|*16px|*15px| 16px|*16px|*

n 番目の五角数を Pn とすると、図より
P1 = 1 , Pn+1 = Pn + 3n + 1
が成り立つ。よって五角数は

で与えられる。(ただし T は n 番目の三角数)

五角数を小さいものから順に列記すると
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, … （）
となる。

 性質 
n 番目の五角数は 3n − 1 番目の三角数の  に等しい。また 1 から n 番目までの五角数の相加平均は n 番目の三角数に等しい。
 n 番目の五角数は n からの n 連続整数和で表せる。例. P = 2 + 3 、P = 3 + 4 + 5
五角数は奇数-奇数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。また 1 と 5 以外の五角数は全て合成数である。
五角数はオイラーの五角数定理に現れる数である。
全ての自然数は高々5つの五角数の和で表すことができる。(→多角数定理)
五角数の逆数の無限和は

であるSIAM, Sum of the Reciprocals of Polygonal Numbers。
五角数が三角数であるものは 1, 210, 40755, 7906276 ()
五角数がハーシャッド数であるものは 1, 5, 12, 70, 117, 210, 247, 330, 715,  ()
五角数が平方数であるものは 0, 1, 9801, 94109401, ()

 脚注 

 関連項目 
 図形数
 多角数
 三角数
 平方数（四角数）
 オイラーの五角数定理

 外部リンク 


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