レムニスケート周率

レムニスケート周率（レムニスケートしゅうりつ、）とは、円周率の、ベルヌーイのレムニスケートにおける対応物である。レムニスケートを研究する過程で「発見」され、特にカール・フリードリヒ・ガウスが深く研究したとされる。
数学的な記述
通常は、ギリシャ文字のパイの小文字  の異字体 （オメガの小文字 (ω) の上に横棒を1本つけたような形）で表され、実際の数値は、
()
（小数点以下30桁まで）である。なお、長さのパラメータ単位を1としたとき、レムニスケートの周長は、（円の周長が、円周率の倍の値であるのと同様に）レムニスケート周率の倍の値となる。

レムニスケート周率は、第一種完全楕円積分で表され、無理数でもあり、超越数でもある。

すなわち、次の式により求めることができる。

ただし、ここで  は、レムニスケートの極座標表示

の  である。

なお、これと対比して、円周率  は、次の式で求めることができる。

また、円周率に関するビエトの式：

に倣って、次式のような表現も可能である：

 脚注 

 外部リンク 


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