53平均律

53平均律（）とは、1オクターヴを53の等しいステップに分割した音律である。
各ステップは、  (  ) の周波数比率、あるいは 1200/53 ≈ 22.6415 セントである。この音程は時にと呼ばれる。

 歴史 
この分割への理論的な関心は古代にさかのぼる。中国の音楽理論家である京房（78BC-37BC）は、53個の完全五度の連鎖  が、31オクターヴ  にほぼ等しいことを発見した。彼は6桁の精度で差を算出し  とした（京房の六十律）McClain, Ernest and Ming Shui Hung. Chinese Cyclic Tunings in Late Antiquity, Ethnomusicology Vol. 23 No. 2, 1979. pp. 205–224.。

その後、同じ発見が、数学者および音楽理論家であるニコラス・メルカトル (Nicholas Mercator, c. 1620-1687) によってなされ、彼はこの値を  として正確に算出し、メルカトルのコンマとして知られているMonzo, Joe (2005). "Mercator's Comma", Tonalsoft.。メルカトルのコンマは、約3.6150セント (≈ 1/332 オクターヴ)という小さな値であるが、53平均律は、そのコンマの1/53倍 (≈ 0.0682 セント ≈ 1/315 シントニックコンマ ≈ 1/344 ピタゴラスコンマ)だけ各々の完全五度を補正し平準化する。したがって、53平均律は、すべての実際上の目的に対してピタゴラス音律の拡張と等価といえる。

メルカトルの後、は、1694年の論文で、53平均律が、長三度を1.4セント以内によく近似することを指摘した。したがって、53平均律はまた、 純正律の音程を高い精度で代表するHolder, William, Treatise on the Natural Grounds and Principles of Harmony, facsimile of the 1694 London edition, Broude Brothers, 1967Stanley, Jerome, William Holder and His Position in Seventeenth-Century Philosophy and Music Theory, The Edwin Mellen Press, 2002。53平均律のこの性質は、より以前に知られていたかもしれない。アイザック・ニュートンの未出版の手稿は、彼が1664-65年頃すでにそれに気づいていたことを示唆するBarbieri, Patrizio. Enharmonic instruments and music, 1470–1900. (2008) Latina, Il Levante Libreria Editrice, p. 350.。

 スケールダイヤグラム 

間隔 (steps)324323212414323423212間隔 (cents)音名C±0C-2D+1D±0D-2E+1E-1F+2E-3F±0F-1G+1G±0G-2A+1A-1A-2B+1B-1C+2B-3C±0音程 (cents)  0    1200音程 (steps)0359121417192022262731343639434548505153

 他の音律との比較 
この音律における31段の音程がほとんど正確に純正な完全五度と等しいので、理論上この音律は53音まで拡張されたピタゴラス音律の一形体であると考えられる。したがって（実用上）純正な五度や、純正より広い長三度（純正の5:4に対して81:64）、また逆に狭い短三度（6:5と比べ32:27）など、ピタゴラス音律と同じ特性を持つ音程が利用できる。

しかしながら、53平均律は非常に純正音程に近い追加の音程を含んでいる。例えば、17段の音程も長三度だが、純正な音程(5:4)よりもわずか1.4セントだけ狭い音程である。53平均律は、5限界純正律の音程をよく近似する。

第7倍音に関連する純正音程の近似はやや劣るが、7:5の三全音で最大の偏差を持ちつつ、依然として一致を見せる。第11倍音に関連する音程の近似はより劣る。

音程名サイズ (段)サイズ (cents)純正比純正 (cents)偏差harmonic seventh437:4perfect fifth313:2Pythagorean tritone"List of intervals", Huygens-Fokker Foundation.27729:512diatonic tritone2645:32Pythagorean diminished fifth261024:729septimal tritone267:5classic tritone2525:18undecimal tritone2411:8double diminished fifth24512:375undecimal augmented fourth2415:11acute fourth2327:20perfect fourth224:3grave fourth21320:243septimal narrow fourth2121:16classic augmented third20125:96tridecimal augmented third2013:10septimal major third199:7classic diminished fourth1932:25Pythagorean ditone1881:64just major third175:4grave major third16100:81neutral third, tridecimal1616:13neutral third, undecimal1511:9acute minor third 15243:200just minor third146:5Pythagorean semiditone1332:27classic augmented second1275:64septimal minor third127:6tridecimal diminished third1115:13classic diminished third11144:125septimal whole tone108:7diminished third10256:225whole tone, major tone99:8whole tone, minor tone810:9neutral second, greater undecimal711:10neutral second, grave whole tone7800:729neutral second, lesser undecimal712:11neutral second, tridecimal613:12neutral second, large limma627:25Pythagorean chromatic semitone52187:2048just diatonic semitone516:15major limma4135:128Pythagorean diatonic semitone4256:243just chromatic semitone325:24just diesis2128:125syntonic comma181:80

 緩和 
53平均律は、ディエシス (128:125)、7限界のコンマ (64:63)、シントニックコンマ (81:80)を含む音程を緩和していない。

53平均律は、32805:32768（スキスマ、純正5度8個と純正長3度1個を重ねた音程と5オクターヴの差分）、15625:15552（、純正短3度を6個重ねた音程と3:1の音程の差分）、121:120（大小2つの11限界の中立2度の差分）、225:224（七限界のクライスマ、16:15の半音の2倍と8:7の全音の差分）、325:324（10:9の小全音の2倍と16:13の中立3度の差分）、352:351（13:11の短3度とピタゴラス音律の短3度の差分）の周波数比を緩和する。

 参考文献 

 関連項目 
 19平均律
 31平均律
 34平均律
 41平均律
 音律
 平均律
 純正律
 ピタゴラス音律
 中全音律
 六十律 - 前漢時代の中国で京房により三分損益法を用いて考案されたもので、理論的には53平均律に近い。 

53へいきんりつ
en:53 equal temperament
fr:Temperament par division multiple