モーメント (数学)

数学の確率論および関係した諸分野におけるモーメント () または積率（せきりつ）とは、物理学におけるモーメントを抽象化した概念である。

実変数  に関する関数  の  次モーメント  は、

で表される。妥当な仮定の下で高次モーメント全ての値から関数  は一意に決定される。 は  を密度関数とする測度の重心を表している。

関数  の  周りの  次モーメント  は、

で表される。

重心周りのモーメント  を中心モーメントまたは中心化モーメントといい、こちらを単にモーメントということもある。

 確率分布のモーメント 

確率密度関数  のモーメントには、次のような要約統計量としての意味付けがある。
 全測度は： 。
 は  の平均値。
 は分散、 は標準偏差。
 は歪度。
 は尖度。

 変量統計のモーメント 
変量統計における、データ  のモーメントの定義を2つ挙げる。1つ目の定義では

と表される。要約統計量は確率分布の場合と同様である。

もう1つの変量統計のモーメントの定義では

と表される。

この定義による変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。
。
 は平均値。
 は分散、 は標準偏差。
 は歪度。
 は尖度。

 画像のモーメント 
2変数関数  の  次モーメント  は、

または、デジタル画像に対しては、

で表される。

2変数関数のモーメントは、画像の特徴抽出に利用される。

画像のモーメントには、次のような性質がある。
 は面積（ピクセル値の総和。二値画像などでピクセル値が一定ならば面積を意味する。）。
点  は重心。
慣性主軸（周りの2次モーメントが最小になる直線）は重心を通り、傾きは で、 は を満たす。
慣性主軸を  軸に一致させれば、中心モーメントは平行移動・回転に対し不変、中心モーメントを  で割った値は拡大縮小に対し不変。

モーメントは同様に、多変数関数に拡張できる。

 参考文献 




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