分位数

分位数（ぶんいすう）、分位点（ぶんいてん）、分位値（ぶんいち）、クォンタイル () は、統計の代表値の1種である。

実数  に対し、q 分位数 () は、分布を  に分割する値である。

ある種の正の整数  に対し、分布を  等分する  個の値、つまり、 に対する  分位数を、m 分位数（ただし  は漢数字）という。 番目の m 分位数を第 i m 分位数といい、また、 等分された分布の  番目の部分を、第 k m 分位、または単に第 k'' 分位という。

ただし、英語のには、等分割する値（）の意味と、そのようにして分割された群（）の二つの意味がある。

定義
変量統計における分位数
 個のデータ  に対する q 分位数  は、昇順にソートしたデータを  とすると、

と定義される。ここで、 は床関数、 は天井関数、 は自然数の集合である。

関数  は、数列  の線形内挿数関数への拡張である。関数  の引数  は、範囲  を  に内分している。

確率分布の分位数
1次元確率分布  に対する q 分位数  は

を満たす値として定義される。この式は、累積分布関数  または確率  を使って、

または

とも表せる累積分布関数が（狭義）単調増加でなければ、この条件を満たす  は一意に定まるとは限らない。。

特別な分位数
いくつかの q に対する q 分位数には、特別な名称がある。

中央値

1 / 2 分位数を、中央値、メディアン ()という。中央値は、平均値に代わり、分布を代表する値として使われる。

四分位数
 分位数を、第 q 四分位数、第 q 四分位点、第 q 四分位値、第 q ヒンジ () という。1 / 4 分位数（第1四分位数）を下側四分位数、3 / 4 分位数（第3四分位数）を上側四分位数ともいう。

単に四分位数といったばあい、第1・第3四分位数を表す。第2四分位数は中央値である。これらは、分布の統計的ばらつきを表すのに使う。

第1・第3四分位数の差  は、四分位範囲（）といい、分布のばらつきの代表値である。分布の代表値として平均値の代わりに中央値を使うときは、IQRを標準偏差や分散の代わりに使う。中央値同様、頑強で、外れ値や極端に広い裾野の影響を受けにくい。

 を四分位偏差、 を正規四分位範囲（）といい、IQRの代わりに使うことがある。ここで、 は、標準正規分布のIQRである。正規分布の正規四分位範囲は、標準偏差に等しい。なお係数0.7413を近似値として使うことがある。

四分位数の簡易な求め方として、中央値より上の値の中央値と、中央値より下の値の中央値を使う場合がある。この値を特にヒンジ (hinge) と呼び、それぞれ上側ヒンジ・下側ヒンジ、または、第1・第3ヒンジ（第2ヒンジは中央値）と呼ぶ。ヒンジは、（厳密に計算した）四分位数とは、中央値から離れる方向に少しだけずれる。データ数が多ければずれは小さくなる 。

三分位数・五分位数・十分位数
 分位数を、第 q 三分位数、第 q 三分位点、第 q 三分位値 () という。

 分位数を、第 q 五分位数、第 q 五分位点、第 q 五分位値 () という。

 分位数を、第 q 十分位数、第 q 十分位点、第 q 十分位値 () という。

パーセンタイル
 分位数を、q パーセンタイル、（第）q 百分位数、（第）q 百分位点、（第）q 百分位値、q パーセント点、q %点 () という。

 分位数を上側 q パーセント点という。これと対比するときには、 分位数は下側 q パーセント点という。また、平均が0の対称分布に対し、 分位数を両側 q パーセント点という。このとき、絶対値が両側 q パーセント点以内に、分布の q'' %が含まれている。

最大値・最小値
0分位数は最小値、1分位数は最大値である。最大値と最小値の差は範囲あるいはレンジ（）と呼ばれ、分布のばらつきを表す代表値の一種である。

五数要約

分布の特徴を最大値、最小値、中央値、上側・下側ヒンジの5つの値、つまり、0, 0.25, 0.5, 0.75, 1分位数で要約することを、五数要約という。五数要約は、しばしば箱ひげ図で図示される。

 日本産業規格 
日本産業規格では、分位点を、「分位点とは，分布関数が  に一致するか，又はより小さな値から  より大きな値に飛ぶときの確率変数の値。確率 を % で表すときは  パーセント点 () という。備考1. 確率変数のある区間内で分布関数が一定値となる場合は，その区間内の任意の値が分位点とされる。ただし，である。
2.  に対応する確率変数の値をメディアン中央値 () という。3. およびに対応する確率変数の値を四分位点 () という。」と定義しているJIS Z 8101-1 : 1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語 1.10 分位点、日本規格協会、http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html。

 脚注 

参考文献


 外部リンク 
 Quartiles in Elementary Statistics 15種類の定義がされている

ふんいすう
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