群論

群論（ぐんろん、）とは、群と呼ばれる代数的構造を研究する数学の一分野である。群とは、集合に結合的な演算が定義され、単位元と逆元の存在が保証された構造のことであり、抽象代数学における最も基本的かつ中心的な概念の一つである。

環・体・ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群とみなすことができる。群論の方法は代数学の大部分に強い影響を与えている。

線形代数群とリー群の理論は群論の一分野であり、特に発展を遂げて独自の適用範囲を持っている。

結晶や、分子などの構造の多くは、点群で表現できる。このように、群論は、物理学や化学の中に多くの実例・応用例がある。

1950年代から2000年代にかけて発表された総計1万ページを超える論文によって、完全な有限単純群の分類が達成された（当初1983年に完了が宣言されたが、一部のギャップが埋められたのは2004年である）。これは数百人に及ぶ数学者の共同作業によって成し遂げられた大規模なプロジェクトであり、20世紀の数学における主要な達成の一つである。

 研究史 

群論は、歴史的に3つの源泉がある。数論、代数方程式論、幾何学である。数論の系統は、オイラーに始まり、ガウスの合同式の理論、および二次体に関係した加法群・乗法群の研究によって発展した。

置換群に関する初期の研究成果は、ラグランジュ、ルフィニ、アーベルらの、代数方程式の一般解の研究の過程で得られた。

1830年代、エヴァリスト・ガロアは、代数方程式の可解性の判定に群を導入し、「群」という用語を初めて使用した。この業績により、初期の群論と体論が結び付けられ、ガロア理論の基礎が築かれた。アーサー・ケイリーとオーギュスタン＝ルイ・コーシーはこの研究を大きく発展させ、置換群の理論の基礎を確立した。

歴史的な2番目の源泉としては、幾何学方面からの流れがある。群はまず射影幾何学で、のちに非ユークリッド幾何学で重要になった。フェリックス・クラインはエルランゲン・プログラムにおいて、可能な幾何学（ユークリッド幾何学、双曲幾何学、射影幾何学）を群論を用いて体系化し、群論が幾何学の原理を統合するものになることを予言した。

1884年、ソフス・リーは群（現在リー群として知られている）を解析的問題に適用した。
三番目に、群は（最初は暗黙的に、後に明示的に）代数的整数論に用いられた。

これら初期の源流では、観点が違っていたので、そのため群に対する観念も違ったものとなっていた。
1880年頃から群の理論の統合がなされてくる。
そして、群論の影響はますます増大し、20世紀初期には抽象代数学、表現論など多くの派生分野が成立した。
有限単純群の分類は、20世紀中頃より膨大な量の研究がなされ、ついに完成に至った。

 群の主なクラス 

群の範囲は、有限置換群や行列群の特殊な例から、生成系と基本関係で表示される抽象群まで、いくつかのクラスに分かれていると考えることができる。

 置換群 
初めて系統的な研究のなされた群のクラスは置換群である。
任意の集合 X と、X からそれ自身への全単射（置換とも呼ばれる）の集まり G で合成と反転に関して閉じているようなものが与えられたとき、G は X に作用する群であるという。

X がn 個の元からなり、G が置換全体からなるならば、G は n-次対称群 Sn と呼ばれる。
一般の置換群 G は X の対称群のある部分群となっているものをいう。
ケイリーによる初期の構成では、
任意の群は（左正則表現の意味で）X = G として自分自身に作用する置換群として提示された。

多くの場合、置換群の構造は対応する集合への作用の性質を用いて調べられる。
例えば、n ≥ 5 に対する交代群 An は単純群である。
つまり、自明でない真の正規部分群を持たない。An が単純であるという事実は、高次一般代数方程式の根の冪根による表示の不可能性において重要な役割を果たす。

 行列群 
次に重要な群のクラスは行列群あるいは線型代数群と呼ばれるものである。ここでは群 G は体 K 上の与えられたサイズの正則行列からなる集合で、積と逆をとる操作について閉じているようなものである。そのような群は n-次元ベクトル空間 Kn に線型変換として作用する。この作用により、行列群は概念的には置換群とよく似たものとなり、また作用の幾何学は群 G の性質を示すのに最大限有効に利用することができる。

 変換群 
置換群や行列群は、群が空間 X にその内在的な構造を保つように作用するという、の概念の特別の場合である。置換群では X は集合であり、群作用は集合の元の並べ替えとして実現される。行列群では X はベクトル空間であり、群作用は線型変換として実現される。このように変換群の概念は、異なる種類の数学的対象（集合、ベクトル空間、多様体など）に作用する群を統一的に扱う枠組みを提供する。変換群の概念は対称変換群（あるいは「対称性の群」）の概念に近い関係にある。変換群というとある構造を保つ変換「全体」の成す群を意味することが多い。

変換群の理論は群論と微分幾何学とを結びつける橋渡しの役割を果たすものである。多様体上の同相あるいは微分同相としての群作用の考察は、リーおよびクラインに始まり、膨大な研究がなされている。ここで扱う群それ自体は、離散群かもしれないし連続群となるかもしれない。

 抽象群 
群論の発展の初期段階では、群としては、数、置換、行列などによって実現される「具体的」なものばかりが考察の対象であった。しかし、これらの異なる具体例に共通する代数的構造を抽出し、統一的に扱う必要性が認識されるようになり、特定の公理系を満たす演算を備えた集合としての「抽象群」の概念が根付き始めるのは、19世紀後半になってからのことである。抽象群を特定する典型的な方法のひとつは、生成元と基本関係による表示

を通して与えられる。抽象群を与えるための最も重要な方法は、群 G とその正規部分群 H による商群あるいは剰余群と呼ばれる群 G/H を構成する操作である。代数体上のイデアル類群は早くから扱われてきた剰余群の例であり、数論において非常に重要である。群 G が集合 X 上の置換群であるとき、その剰余群 G/H はもはや X に作用しないものだが、抽象群を考えることによってこのような問題を心配する必要も無くなる。

具体的な群から抽象群へ視点を移すことにより、その群がどのように実現されているかということとは無関係に（現代的な言葉で言えば、同型のもとで不変な）群の性質について考察することが自然なものとなった。またこのような性質による群の分類も、有限群、捩れ群、単純群、可解群などといったものが考えられる。また、個々の群の性質を探ることよりも、群のクラスに対して広く適用できるような結果を確立する方法が求められた。このような新しいパラダイムは、数学の発展に対して傑出した重要性を持つものであり、ダフィット・ヒルベルト、エミール・アルティン、エミー・ネーターおよび彼らに師事した数学者たちによって、抽象代数学が構築されていく前兆となるものであった。

位相群と代数群
群に新たな構造を付け加えることにより、群の概念が発展することになった。新たな構造とは、特に、位相空間、可微分多様体、代数多様体などである。群演算（乗法 m と反転 i）

が、上記の構造と両立可能であるとき、つまりこれらが連続、滑らか、（代数幾何学的な意味で）正則な写像となっているとすると、群 G はそれぞれ位相群、リー群、代数群と呼ばれるものになるこのように新しい構造を付加する手順は、適切な圏における群対象 (group object) の概念として定式化される。リー群は可微分多様体の圏における群対象であり、アフィン代数群はアフィン代数多様体の圏における群対象である。。
群に別種の構造を付け加えることによって、これらの種類の群と、数学の別の分野が関連づけられる。そして、違う手法を研究に適用することが可能になる。

 組合せ論的群論と幾何学的群論
群を記述するのには複数の方法がある。有限群は、可能な全ての積  によって構成される乗積表を書き出すことによって記述することができる。もう一つの主要な方法としては、「生成系（生成元）と関係式」によって群を定義する方法であり、これは群の表示と言われる。

群 G の生成系を与える任意の集合 F = {gi}i ∈ I が与えられたとき、F の生成する自由群から群 G への全射準同型が存在する。この全射準同型の核は F のある部分集合 D で生成され、基本関係のなす部分群と呼ばれる。このような群の表示は、ふつう 〈F | D〉 と書かれる。例えば、整数全体の成す加法群 Z =  はただ一つの元 a （つまり 1 または -1）によって生成され、基本関係を持たない（n が 0 でない限り na は 0 ではないから）群である。生成元に対応する記号からなる文字列は語 (word) と呼ばれる。

は、群を生成元と基本関係の側面から研究する学問である。これは、特に何らかの有限性条件、例えば有限生成であるとか有限表示を持つ（つまり、有限生成かつ基本関係が有限個しかない）というような条件が仮定されている場合に有用である。この分野は、その基本群を通してグラフ理論との関係を利用することができて、例えば自由群の任意の部分群が自由であることが示せる。

群を生成元と基本関係によって与える方法から、いくつかの基本的な問題が自然に生じてくる。というのは「群の生成元からなる二つの語が、いつその群の同じ元を定めるか」というものである。この問題をチューリングマシンに関連付けることにより、この問題を一般に解決することのできるアルゴリズムが存在しないことを示すことができる。この決定不能性の結果は、計算理論や数理論理学における重要な成果の一つである。同じくらい困難な問題に「異なる表示によって与えられる二つの群が、いつ互いに同型となるか」というがある。一般に、与えられた二つの有限表示が同型な群を定めるかどうかを判定するアルゴリズムは存在しないことが知られている。

幾何学的群論とは、語の問題や同型問題といった問題に対して、群を幾何学的対象として見たり、群が作用する適当な幾何学的対象を求めるといったような幾何学的な視点から解決を試みるものである。前者の方法としては、群の元を頂点とし、右からの乗法によって写りあう元を辺で結んだケイリーグラフがある。二つの元が与えられれば、それらの元を結ぶ最短経路の長さとしてが定義できる。後者のやり方として、ミルナーと による定理（）がある。これは、（コンパクト多様体のような）距離空間 X に適当な方法で作用する群 G が与えられれば、群 G は空間 X に (quasi-isometric) であるというものである。

 群の表現 

群 G が集合 X に作用するとは、G の各元が、X 上定義された全単射で群構造と両立するものを定めることをいう。ただし、X にさらに構造が入っているときは、それに応じて表現の概念に制限を加えるほうが有効である。例えばよくある状況として、群 G のベクトル空間 V における（または V を表現空間とする）表現（線型表現）とは、GL(V) を V 上の正則線型変換全体の成す群として、群準同型

のことをいう。これはつまり、群 G の各元 g に線型自己同型 ρ(g) が割り当てられていて、さらに G の別の任意の元 h に対して ρ(g) ∘ ρ(h) = ρ(gh)が成り立つということである。

この定義は二つの方向性で捉えることができて、いずれの仕方でも（群コホモロジーや同変 K-理論のような）数学のまったく新たな領域を生じる。ひとつは、群 G について新たな情報をもたらすものである。抽象的に定義された群 G を具体的な行列の群として実現することで、群の構造をより詳しく調べることが可能になる。例えば群 G における演算はしばしば抽象的に与えられるけれども、表現 ρ を通じて（特に表現が忠実のとき）群演算は行列の積という非常に具体的なものに対応付けられることになり、線型代数学の手法を適用できるようになる。もうひとつは、よく知られた群が与えられ、それが複雑な対象に作用しているものとすれば、そのような対象を調べるのが簡単になるというものである。例えば、G が有限群とすれば、表現空間 V が既約表現の直和に分解されるというマシュケの定理が知られているが、既約表現に対してはシューアの補題などが利用できるので、V 全体を考えるよりもずっと扱いやすい。

与えられた群 G に対する表現論とは、G の表現としてどのようなものが存在しうるかを問うものである。状況設定はさまざまで、どのような手法を使えるかとか、どのような結果が得られるかというようなことがそれぞれの場合で変わってくる。およびリー群の表現論は表現論における二大主要テーマである。群の表現の全体像は群の指標によって統制されている。例えば、フーリエ多項式は、周期函数全体の成す L2-空間に作用する、絶対値 1 の複素数全体の成す群 U(1) の指標として解釈することができる。

 群と対称変換 

与えられた任意の種類の構造を持つ対象 X に対し、その対称変換（あるいは対称性、symmetry）とは対象 X からそれ自身の上への構造を保つ変換のことを言う。これは多くの場面で見つかるが、たとえば
 対象 X が特に付加的な構造を持たないただの集合であるとき、X の対称変換とは集合 X からそれ自身への全単射のことであり、その全体として対称群が得られる。
 対象 X が距離構造を備えた平面上の点の集合（あるいはもっとほかの距離空間）であるとき、X の対称性とは集合 X 上の全単射であって、X 上の任意の二点間の距離を保つもの（等距変換）のことである。これに対応する群は X の等距変換群と呼ばれる。
 先ほどと同じ集合で距離の代わりに角を保つものは共形写像あるいは等角写像と呼ばれる。等角写像の全体からは、例えばが得られる。
 対称変換は何も幾何学的対象に限ったものではなく、代数的対象にも同様に定義することができる。例えば、方程式は二つの根 ±√3 を持つが、このとき、この二つの根を入れ替えるという対称変換が考えられ、これによって得られる群が、この方程式に属するガロア群と呼ばれるものである。一変数の任意の代数方程式が、その根の上のある種の置換群としてのガロア群を持つ。

群の公理は対称変換の本質的な性質を定式化するものであり、対称変換の全体は群を成す。実際、対象に対称変換を施してからさらに別の対称変換を施せば、得られる結果は再び対称変換であるから、対称変換は写像の合成に関して閉じている。また、対称を固定して動かさない恒等変換はかならずその対象の対称変換である。逆元の存在については、対称変換の取り消しができるということによって保証され、群演算の結合性は対称変換が空間上の写像であり、写像の合成が結合的であることから従う。

 は「任意の有限群は、ある有限グラフの自己同型群と同型である」ことを主張するものである。従って任意の抽象群は、実際にある具体的な対象の上の対称変換の成す群として得られることになる。

対象の「構造を保存する」という言及は、圏で考えればもっと厳密に扱うことができる。つまり、構造を保つ写像とは射のことであり、対称変換群（対称性の群）とは考えている対象の自己射群である。

 群論の応用分野 
群論は数学の内外において極めて広範な応用を持つ。これは、群論が対称性という普遍的な概念を扱う理論であり、自然界や数学的対象に現れる様々な対称性を統一的に記述する枠組みを提供するためである。

 数学における応用 
抽象代数学における殆ど全ての構造は群の特殊なものと見ることができる。例えば環はアーベル群（加法に対応）に第二の演算（乗法に対応）を合わせて考えたものと見ることができる。したがって、それらの代数的構造の理論の多くの部分が群論的な議論を下敷きとして行うことができる。

ガロア理論では群を多項式の根の置換による対称性（厳密には、根を添加して得られる多元環の自己同型）を記述するのに用いる。ガロアの基本定理は体の代数拡大の中間体と方程式の群の部分群との関係を与えるものである。これにより、たとえば代数方程式の冪根拡大による可解性の条件は、対応するガロア群が可解群であることに帰着する。例えば、5-次の対称群 S5 が可解でないということから、五次の一般方程式は（四次以下の方程式では可能であったが）冪根を用いて解くことができないということが導かれる。歴史的には群論の起源は方程式のガロア群であったが、いまだにまだ未解決の問題（たとえば任意に与えた有限群をガロア群として持つ有理係数の代数方程式が存在するかなど）があり，新しい結果が生みだされつつある。

代数的位相幾何学（代数トポロジー）は、その研究で扱われている対象に群がはっきりと付随しているもう一つの領域である。ここでは、群は位相空間のある種の不変量を記述するのに用いられる。ここで「不変量」とは、空間がある種の変形を受けても変化しないもののことである。例えば、基本群は、空間内に本質的に異なる道が何通りあるかを与えるものである。（2002年と2003年にグレゴリー・ペレルマンによって証明がなされた）ポワンカレ予想はこのような考え方を用いた顕著な応用例であるが、その影響はこの方面に留まるものではない。たとえば、代数的位相幾何学では所定のホモトピー群を備えた空間であるが用いられる。同様に代数的 K-理論は群の分類空間についての重要な手法を与える。あるいは、（無限群の）捩れ部分群という名称は、群論における古い形の位相幾何学の影響を示すものである。


代数幾何学は暗号理論と同様に、様々なところに群論が使われる。アーベル多様体は、群作用の存在によって、詳細な調査が可能になる。一次元の場合では、楕円曲線が詳細に研究されている。これらは理論的にも応用的にも興味深いものであるミレニアム問題の一つであるバーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想を見よ。。楕円曲線暗号では、非常に大きな素数位数の群が構成され、公開鍵暗号として役に立っている。

代数的整数論もまた、群論が重要な役割を果たす分野である。たとえば、ゼータ関数のオイラー積表示

は「任意の正の整数に対してそれを重複を許した素数の積の形として表す方法は唯一である」という算術の基本定理から導くことができる。しかしこのことはより一般の環では必ずしも成立しないことから、クンマーがフェルマーの最終定理を扱う際に用いたイデアル類群や正則素数という概念が生まれた。
リー群（数学者ソフス・リーの名前にちなむ）は、微分方程式と多様体の研究において重要である。これは、連続的な幾何的構造および解析的な構造の対称性を記述するものである。リー群などの群の解析を調和解析という。ハール測度（リー群による平行移動で不変な積分を与える測度）は、これはパターン認識や画像処理に使われている.。
組合せ数学においては、置換群や群作用の概念はしばしば使われ、集合の要素の個数を数える手段になる。バーンサイドの補題も参照。

 自然科学における応用 
物理学においては、群は物理法則の持つ対称性を記述するために使われる。物理学者は、群の表現、特にリー群の表現に興味を持っている。なぜならそれはしばしば、「可能な」物理法則を指し示すからである。物理における群論の応用には、たとえば標準模型、ゲージ理論、ローレンツ群、ポアンカレ群などがある。
化学、材料科学においては、群はおもに結晶構造や分子対称性を分類するのに使われる。構造に対応した点群により、物理的な性質（極性やキラリティ）や分子軌道を決定できる（ラマン分光法や赤外分光法も参照）。分子の対称性は、化合物の多くの物理的・分光学的特性に関与しており、分子の対称性により化学反応がどのように起こるかを予想できる。例えば、水分子は回転対称軸と鏡映面を持つため、C2v という点群に属する。

 その他の応用 
五度圏には位数12の巡回群が現れる。

 脚注 

 注釈 

 出典 

 参考文献 
洋書




  Shows the advantage of generalising from group to :en:groupoid.
   An introductory undergraduate text in the spirit of texts by Gallian or Herstein, covering groups, rings, integral domains, fields and Galois theory.  Free downloadable PDF with open-source GFDL license.


 Conveys the practical value of group theory by explaining how it points to symmetries in physics and other sciences.

  Ronan M., 2006. Symmetry and the Monster. Oxford University Press. ISBN 0-19-280722-6. For lay readers. Describes the quest to find the basic building blocks for finite groups.
  A standard contemporary reference.

 Inexpensive and fairly readable, but somewhat dated in emphasis, style, and notation.


 Hamermesh, Morton (1962). Group Theory and Its Application to Physical Problems, Addison-Wesley Publishing.




和書
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 渡辺哲雄：「群論演習」、槇書店、ISBN 4-8375-0480-9 (1980年6月20日).
 大山豪：「有限置換群」、裳華房、ISBN 4-7853-1128-2 (1981年9月30日).
 鈴木通夫：「有限単純群」、紀伊國屋書店、ISBN 4-31400490-8 (1987年10月).
 近藤武：「群論」、岩波書店（岩波基礎数学選書）、ISBN 4-00-007807-0 (1991年1月10日).
 原田 耕一郎：「モンスター: 群のひろがり」、岩波書店、ISBN 978-4-00-006055-4 (1999年3月26日).
 原田耕一郎：「群の発見」、岩波書店、ISBN 978-4-00-006791-1 (2001年11月21日).
 堀田良之・渡辺敬一・庄司俊明・三町勝久：「代数学百科 I　群論の進化」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11099-9 (2004年4月10日).
 寺田至、原田耕一郎：「群論」、岩波書店、ISBN 4-00-005269-1 (2006年8月30日).
 原田耕一郎：「数学，この大きな流れ　群の発見」、岩波書店、ISBN 978-4-00-730609-9 (2017年5月10日).

入門書
 芳沢光雄：「群論入門 対称性をはかる数学」、講談社 (ブルーバックス、1917)、ISBN 978-4-06257917-9 (2015年5月21日).
 稲葉栄次：「群論入門」、培風館 (1981年).
 国吉秀夫：「群論入門」、サイエンス社、ISBN 4-7819-0130-1 (1975年3月31日).
 斎藤正彦：「はじめての群論」、日本評論社、ISBN 4-535-78504-X (2005年2月10日).
 志賀浩二 ：「群論への30講」(数学30講シリーズ)、朝倉書店、 (1989年8月25日).
 永田 雅宜：「群論への招待」、現代数学社、ISBN 978-4-76870371-7 (2007年4月1日). 
 永田 雅宜：「初学者のための群論」、現代数学社、ISBN 978-4-7687-0575-9 (2022年1月21日)上記の書名と判型を変更したもの。
 横田一郎：「初めて学ぶ人のための群論入門」、現代数学社 (1997年).
 山内恭彦、杉浦光夫：「連続群論入門」、培風館（2010年）.
 雪江明彦：「代数学1 群論入門」 (代数学シリーズ)、日本評論社 (2010年).
 佐藤隆夫：「群の表示」、近代科学社(大学数学スポットライト・シリーズ 第6巻)、ISBN 978-4-76490533-7 (2017年3月1日)．
 脇克志：「見える！ 群論入門」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78796-4 (2017年6月）。

 群の表現論を主に取りあげた本 
 服部昭：「群とその表現」、共立出版（共立数学講座18）(1967年11月1日).
 横田一郎：「群と表現」、裳華房、ISBN 4-7853-1110-X (1973年5月1日).
 J.-P.セール：「有限群の線型表現」、岩波書店（1974年3月4日).
 島和久：「連続群とその表現」、岩波書店 (1981年4月24日).
 永尾汎、津島行男：「有限群の表現」、裳華房、ISBN 4-7853-1310-2 (1987年8月20日).
 吉川圭二：「群と表現」、岩波書店、ISBN 4-00-007979-4 (1996年10月18日).
 髙瀨幸一：「群の表現論序説」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005271-9 (2013年5月30日).

群論と物理学・化学との関係を解説する文献
 佐藤光：「群と物理」、丸善出版,  ISBN 978-4-62130084-8（2016年10月22日）.
 犬井鉄郎、田辺行人、小野寺嘉孝:「応用群論：群表現と物理学」、増補版、裳華房（1980年10月).
 今野豊彦：「物質の対称性と群論」、共立出版、ISBN 978-4-320-03409-9（2001年10月25日）.
 小野田嘉孝：「物性物理/物性化学のための群論入門」、裳華房、ISBN 978-4-7853-2806-1（1996年2月10日）.
 藤永茂、成田進： 「化学や物理のためのやさしい群論入門」, 岩波書店 、ISBN 978-4-00-005190-3 (2001年3月28日).
 中崎昌雄：「分子の対称と群論」, 東京化学同人、ISBN 978-4-80790086-2（1973年2月15日).
 高木秀夫： 「量子論に基づく無機化学：群論からのアプローチ」（増補版）. 名古屋大学出版会、ISBN 978-4-8158-0907-2（2018年4月20日).
 F.Albert Cotton: Chemical Applications of Group Theory, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-47151094-9（1990年3月).

 関連項目 
 群 (数学)
 リー群
 ワイル群
 アーベル群
 量子群
 環論
 体論
 抽象代数学

 外部リンク 
 (信州大学の講義資料)

群論入門  (茨城大学の講義資料)
無機化学  (群論の項)

History of the abstract group concept
 Higher dimensional group theory This presents a view of group theory as level one of a theory which extends in all dimensions and has applications in homotopy theory and to higher dimensional nonabelian methods for local-to-global problems.
Plus teacher and student package: Group Theory This package brings together all the articles on group theory from Plus, the online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge, exploring applications and recent breakthroughs, and giving explicit definitions and examples of groups.

*
Category:抽象代数学
Category:エヴァリスト・ガロア
Category:数学に関する記事

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