投影 (図学)

図学における投影（とうえい、）は、3次元立体を2次元平面へ写すことである"三次元の物体を平面上で表現するための図法（投影法）" 以下より引用。武蔵野美術大学. 透視投影. MAU 造形ファイル. 2024-07-18 閲覧."投影 projection"  より引用。2024-07-18 閲覧.。投象（とうしょう）とも。

「投影」は「写し方」と「写した図」の両方を指しうるため、写し方を投影図法、図を投影図と呼び分ける場合もある。

 概要 
物体は3次元空間に立体として存在する。ヒトは3次元空間から放射される光を目の網膜曲面（2次元面）で受け止めそこから空間の構造を推察できる。また写実絵画やカメラでは空間を平面へ写し取りこれを鑑賞する。工業では製品を加工するために立体をある側面から見た図が必要になる。これらでは共通して「3次元立体を2次元平面へ写す」ことがおこなわれており、これを投影という。写真や図面は投影図といえる。

投影では各点からの投影線と投影面の交点を取って投影図を得る（#仕組み）。投影図法により得られる投影図の特性が異なるため、目的に応じた様々な投影が存在する（#分類）。

 仕組み 
投影では、3次元空間内の1点から投影線を伸ばしこれが投影面と交差した箇所をこの点の投影先とする。これを空間内すべての点に対しておこなうことで投影図を得る。

 投影線 
投影線（とうえいせん、, ）は3次元空間中の点を投影する線である"投影線    投影中心からの視点と対象物上の点とを通って表示される直線。投影平面でのその交点は，対象物のその点の投影を示す。    projection line"  より引用。。投射線（とうしゃせん）とも。

投影線は物体のある点から放射された光の軌跡に例えられる。この光を平面（=投影面）で受け止めれば空間を平面へ写し取れる。

投影線にどのような幾何的制約を与えるかで投影図が大きく変化する。投影線が1点へ収束する制約を与えれば遠近感が発生し（透視投影）、投影線が互いに平行である制約を与えれば奥行きに依らず長さが保存される（平行投影）。

 投影面 
（とうえいめん、）は投影線を写し取る平面である"投影面    対象物の画像を得るために，対象物が投影される平面。    projection plane"  より引用。。

 分類 
投影は様々な観点から分類できる。

一例として、写し方に応じて以下のように分類できる（括弧内は別名）：

 中心投影 (透視投影)
 平行投影
 直投影（正投影）
 主投影（正投影）
 直軸測投影（軸測投影）
 等角投影
 二等角投影
 不等角投影
 斜投影
 カバリエ投影
 キャビネット投影
また投影面の数に着目すると単面投影と複面投影に二分できる。

 平行投影 
平行投影（へいこうとうえい、）は投影線が互いに平行な投影である"平行投影 parallel projection 投影線が互いに平行な投影のこと. ... また，この方法によって描かれた図のこと."  より引用。。

サムネイル|近距離からの透視投影（左）、長距離・狭画角からの透視投影（中）、平行投影（右）
視点が無限遠に存在すると仮定すると投影線は互いに平行になる。つまり無限遠視点の透視投影と平行投影は等価である（図参照）。

平行投影は投影線と投影面の直交有無によって直投影と斜投影に二分される"平行投影 ... 投影線が投影面に垂直な場合を直投影，垂直でない場合を斜投影という."  より引用。。直投影は更に主投影、直軸測投影、標高投影に分類される。また平行投影のうち対象の直交座標軸が単一投影面上に傾いて写されるものはアクソノメトリーと呼ばれる。

 斜投影 
は投影線と投影面が直交しない平行投影である"斜投影（シャトウエイ） oblique projection ... 投影線が平行で，投影面に斜め方向にとった投影."  より引用。"3.2.34    oblique projection    parallel projection in which all projection lines intersect the projection plane at the same angle other than 90°" ISO 10209:2022 より引用。。

斜投影は投影面と直交する面を投影図へ写せる特性をもつ。そのため投影面と平行な対象の面を実形に保ちつつその側面も同じ投影図内に写せる"斜投影 ... 対象の主要な面を投影面に平行におくと，その面の実形が投影図に表現され ... 直方体の一側面を投影面に平行においても，同時に他の二側面を示すことができ"  より引用。。これは直投影で同様の投影をおこなうと正対する面しか像に反映されないことと対照的である。

対象の直交座標軸が単一投影面上に傾いて写される斜投影、つまりアクソノメトリックな斜投影はと呼ばれる"3.2.33    oblique axonometry    oblique projection on a single projection plane" ISO 10209:2022 より引用。"斜軸測投影 oblique axonometric projection; 　oblique axonometry"  より引用。2024-10-07 閲覧. はこの oblique axonometry に「斜投影」の語を当て、かつ、oblique projection の定義にも単一投影面の要件を入れている（と読める記述になっている）。これは翻訳元の ISO 10209:2022 と同等でない/逸脱している可能性がある。。斜投影はその特性により正面と側面を同時に単一投影面へ写しやすいため、実務的には斜投影の複面投影は稀でほとんどが斜軸測投影になる。

 カバリエ投影 
は対象が置かれた直交座標系のいずれかの座標面が投影面と平行になる斜投影である"カバリエ投影[投象] cavalier projection    直交座標系のうち，垂直面となる二軸を投影面に平行にした場合の投影法をカバリエ投影という．カバリエ投影は垂直面（直立面）の形状の表示に主眼を置いている．... 直立斜投影 ... とも"  より引用。"3.2.7 ... cavalier axonometry    oblique axonometry in which the projection plane is parallel to one of the coordinate planes" ISO 10209:2022 より引用。。直立斜投影 とも。 

投影では対象を3次元の直交座標系に置きこの空間を2次元の投影面へ写す。斜投影において座標軸がつくる平面（x-y 座標面、y-z 座標面、z-x 座標面）のいずれかが投影面と平行なとき、これをカバリエ投影という。慣例的には直交座標系の軸に沿わせる形で対象を配置するため、カバリエ投影は「対象の主たる面が投影面と平行になるよう対象を配置した斜投影」とも言える。 

カバリエ投影は平行投影の一種でありかつ対象の主たる面を投影面と平行にするため、カバリエ投影は対象の主たる面が実形を保つという特性をもつ。

またカバリエ投影は斜投影の一種でありかつ対象の主たる面を投影面と平行にするため、カバリエ投影は対象の正面と側面を同時に投影図へ反映しやすい特性をもつ。このため複面投影する必要性が薄く、カバリエ投影は基本的に単一の投影面のみを用いる（= 基本的に斜軸測投影である）。分野によってはアクソノメトリックであることを要件に入れてカバリエ投影（）を定義付けている"カバリエ投影    投影面が，座標面の一つと平行になるように，単一の投影面 (projection plane) 上に投影する方法。... cavalier axonometry"  より引用。。

分野によっては慣例的に「第三の軸も投影図上で実長を保つ」という制約をカバリエ投影に課す場合がある（カバリエ図とも）"カバリエ投影 ... 慣習上，第三の軸方向の投影も同じ尺度にする (monometric projection)。"  より引用。"カバリエ図 ... 投影線が投影面に対し45°の傾きをもつ斜投影図. 三軸ともに実長を表す．〔JIS〕"  より引用。。この場合必然的に投影線の傾きが45°に制約される初等幾何により容易に示せる：

投影面から垂線となる線分を伸ばして第三軸とし、軸・投影線・像からなる三角形を考える。軸は垂線であるためこの三角形は直角三角形であり、かつ実長維持の制約により軸と像が等長の二等辺三角形になるため、この三角形は必ず直角二等辺三角形になる。ゆえに投影面と軸の角度は常に45°になる ∎。

 キャビネット投影 
は主軸の傾角と比率を45°、比率を0.5としたカバリエ投影である"カビネ投影（図） cabinet projection    カバリエ投影において主軸の傾角と比率を45°，比率を0.5としたときの投影図をいう．カビネ投象（図），キャビネ投影，キャビネット投影ともいう．"  より引用。。カビネ投影とも。

cavalier axonometry と同じく、分野によってはアクソノメトリックであることを要件に入れてキャビネット投影（）を定義付けている"3.2.7    cabinet axonometry ... oblique axonometry in which the projection plane is parallel to one of the coordinate planes" ISO 10209:2022 より引用。"キャビネット投影    投影面が，座標面の一つと平行になるように，単一の投影面上に斜投影する方法。... 慣習上，第三の軸方向の投影尺度を1/2にとる。    cabinet axonometry"  より引用。。

 投影図 
投影図（とうえいず、, ）は3次元立体を2次元平面へ写すことで得られる表現・図である"投影図 ... 投影法によって描いた図。... projection view"  より引用。"投影図 projection; projection drawing"  より引用。2024-07-18 閲覧.。

 投影図の分類 
投影図は対象と視点の位置関係から以下のように分類できる：

 正面図（しょうめんず、）: 対象の正面に視点が正対"正面図    対象物の正面とした方向からの投影図 ... front view"  より引用。。立面図（りつめんず、）とも"立面図 ... 鉛直面への投影図 ... elevation ... 正面図 ... 立面図ともいう"。
 上面図（じょうめんず、）:  対象の上面に視点が正対"対象物の上面とした方向からの投影図 ... 上面図 (top view)"  より引用。。平面図（へいめんず、）とも"平面図 ... 対象物の上面とした方向からの投影図又は水平断面図 ... plan"  より引用。。
 側面図（そくめんず、）: 対象の側面に視点が正対"側面図 ... 対象物の側面とした方向からの投影図 ... side view"  より引用。
 下面図（かめんず、）: 対象の下面に視点が正対"下面図 ... 対象物の下面とした方向からの投影図 ... bottom view"  より引用。
 背面図（はいめんず、）: 対象の背面に視点が正対"背面図 ... 対象物の背面とした方向からの投影図 ... rear view"  より引用。

対象の見え方が最も明瞭になるよう自由に視点を決めた投影図を主投影図（しゅとうえいず、）という"主投影図    対象物の形・機能の特徴を最も明瞭に表すように選んだ投影図。    principal view"  より引用。。

 ウィンドウ 
投影におけるウィンドウ（）は投影面のうち投影図として切り出される領域である"ウィンドウ    投影面上の投影範囲"  より引用。"投影面にはウィンドゥが設定される．ウィンドゥはいわば投影面に開けられたのぞき窓である．"  より引用。。窓（まど）とも。

写真や図面は投影面をウィンドウで切り出したものといえる。絵画における額縁やアニメのレイアウトにおけるメインフレームで囲まれた領域に相当する。コンピュータグラフィックスにおけるとも関係が深い"ウィンドゥ内の2次元図形データは，表示装置固有のデバイス座標系 （とくにディスプレイ面の場合はスクリーン座標系ともいう）の指定した領域すなわちビユーポートに変換され表示される．"  より引用。。ウィンドウが切り出した空間の広さを表現する指標のひとつに画角がある（透視投影で大きな意味をもつ）"画角(視野角)     • ウィンドウ(投影範囲)の大きさを決める角度"  より引用。。

 投影図法 
投影図法（とうえいずほう、）は3次元立体を2次元平面へ写す規則・手法・作図手順である"投影図法 projection drawing method ... 投影法 projection [projecting] drawing method"  より引用。2024-07-18 閲覧.。投影法とも"投影法    三次元の対象物を二次元画像に変換するために用いる規則。... projection method"  より引用。。

投影図法は各投影に合わせて様々存在する。また、いくつかの図法に共通する作図のための概念が存在する。

 脚注 

 注釈 

 出典 

 参考文献 


  製図－製図用語



 関連項目 
 投影法
 投影法 (地図)
 遠近法
 単面投影 / 複面投影
 用器画法
 製図
 図面
 建築
 射影幾何学
 画法幾何学

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Category:設計
Category:建築
Category:射影幾何学