斜交座標系

斜交座標系（しゃこうざひょうけい、）とは、斜めに交わった数直線を軸とする座標系である。直交座標系の拡張としてとらえられる。

 2次元平面における斜交座標系 
2本の数直線  が共通の原点をもち、なす角 （ただし ）で交わっているとき、その座標系は軸、軸からなる斜交座標となる。
座標平面上の全ての点は、その点から軸、軸に関して平行線をひくことにより、 と一意に表すことができる。
逆に座標  が与えられれば、の位置は一意に決定される。

なお、2本の軸のなす角  のときとして、斜交座標系は直交座標系を含む。

 直交座標系との座標変換 
軸、軸からなる斜交座標系と共通の原点を持つ軸、軸からなる直交座標系について、軸、軸が軸となす角をそれぞれ  とする。
斜交座標系で  と表されている点を直交座標  に座標変換する公式は以下である：

直交座標系はこの表記では  の場合である．

 内積 

直交座標系の場合は、2つのベクトル  の内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる：

あるいは次のようにも表現できる：

このとき、添字が上についている量（ など）を反変成分、下についている量（ など）を共変成分という。各座標軸の方向を向く単位ベクトル（共変基底ベクトル）を とすれば、反変成分を用いて

と書くことができる。また、反変基底ベクトルとして
 ：軸（または）に垂直で長さが  のベクトル
 ：軸（または）に垂直で長さが  のベクトル
とすれば、共変成分を用いて

と書くことができる。

上記の議論は を入れ替えても同様に成り立つ。

 計量テンソル 
式()の右辺に表れた行列

は計量テンソルとよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。
斜交座標系では計量テンソル  は

となる。また反変成分と共変成分の変換は

とシンプルに表すことができる．

 多次元の場合 

以上で2次元の場合を説明したが、斜交座標系はより一般の次元においても同様に考えられる。

 脚注 

 注釈 

 出典 

 関連項目 
直交座標系
極座標系

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