ハイネ・カントールの定理

ハイネ・カントールの定理（）とは、次のような定理である。

M をコンパクトな距離空間、N を距離空間とする。このとき、任意の連続関数 f  : M → N は一様連続である。

 微分積分学における言明 
微分積分学では次のように表現される。

定理　有界閉区間 I 上の連続関数 f : I  → R は一様連続である。

証明
実数  を任意に取る。連続性より、各  に対して  は  を含む  の開集合である。ここで  は開球を表す。 となるような  たちの全体は  の開被覆を成す。 はコンパクトだから有限部分被覆  が取れる。 と置く。いま  について  と仮定する。ある  に対して  である。よって三角不等式より  である。ここから  が分かる。すなわち  である。三角不等式から  が分かる。

 関連項目 
エドゥアルト・ハイネ
ゲオルク・カントール

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