数学上の未解決問題

数学上の未解決問題（すうがくじょうのみかいけつもんだい、）とは、未だ解決されていない数学上の問題である。未解決問題の定義を「未だ証明が得られていない命題」という立場を取るのであれば、そういった問題は数学界に果てしなく存在するが、ここでは、リーマン予想のようにその証明結果が数学全域と関わりを持つような命題、P≠NP予想のようにその結論が現代科学、技術のあり方に甚大な影響を及ぼす可能性があるような命題、問いかけの単純明快さ故に数多くの数学者達が証明を試みてきたような有名な命題のみを列挙する。

 ミレニアム問題 

以下7つの問題はミレニアム懸賞問題と呼ばれ、クレイ数学研究所によってそれぞれ100万ドルの懸賞金が懸けられている。
 P≠NP予想
 ホッジ予想
 ポアンカレ予想（グリゴリー・ペレルマンによって解決済み）
 リーマン予想
 ヤン-ミルズ方程式と質量ギャップ問題
 ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
 バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想（BSD予想）

 主な未解決問題 
 「―は無数に存在するか」系 

 双子素数は無数に存在するか。
三つ子素数は無数に存在するか。
四つ子素数は無数に存在するか。
 メルセンヌ素数は無数に存在するか。(メルセンヌ予想)
 等価の問題として、偶数の完全数は無数に存在するか。
 一般に、倍積完全数は無数に存在するか。
階乗素数は無数に存在するか。
素数階乗素数は無数に存在するか。
 正則素数は無数に存在するか。
 カレン素数は無数に存在するか。
 プロス素数は無数に存在するか。
 ソフィー・ジェルマン素数は無数に存在するか。
 回文素数は無数に存在するか。
 レピュニット素数は無数に存在するか。
 ハッピー素数は無数に存在するか。
 フィボナッチ素数は無数に存在するか。
リュカ素数は無数に存在するか。
ペル素数は無数に存在するか。
の形の素数は無数に存在するか。（ブニャコフスキー予想）
正の約数の総和が素数になる自然数は無数に存在するか。
 調和数は無数に存在するか。
 友愛数は無数に存在するか。
 婚約数は無数に存在するか。
 社交数は無数に存在するか。
 ルース＝アーロン・ペアは無数に存在するか。
 素数（合成数）であるフェルマー数は無数個（有限個）存在するか。

 「―は存在するか（否か）」系 

 奇数の完全数は存在するか。
 一般に、1以外の奇数の倍積完全数は存在するか。
 準完全数は存在するか。
 2の冪(1, 2, 4, 8, 16, ...)以外に概完全数は存在するか。
 偶数と奇数の組の友愛数は存在するか。
 互いに素な友愛数は存在するか。
 偶数同士、奇数同士の婚約数は存在するか。
 3個組の社交数は存在するか。
 7個組の社交数は存在するか。
10個組の社交数は存在するか。
 1以外の奇数の調和数は存在するか。
 奇数の不思議数は存在するか。
 合成数のフォーチュン数は存在するか。
 と の間に必ず素数は存在するか。（ルジャンドル予想）
がともに素数である  は3以外に存在するか。
 ウォルステンホルム素数は16843と2124679以外に存在するか。
 ウィルソン素数は5, 13, 563以外に存在するか。
 ブラウン数は(4,5), (5,11), (7,71)以外に存在するか。
 十進数のリクレル数は存在するか。
 6個以下の6乗数の和で表すことができる6乗数は存在するか。
 ゴールマハティヒ予想 - 2つ以上の基数において3桁以上のレピュニットとして表される自然数は31と8191以外に存在するか。

 「―は全て――か」系 

隣り合う素数の正の平方根の差は全て1未満であるか。（アンドリカの予想）
 5番目以上のフェルマー数は全て合成数か。
フェルマー数は全て平方因子を持たないのか。
 無理数かつ代数的数である数は全て正規数か。

 「―はいくつか」系 

 魔方陣の数はいくつあるか。
 最小のシェルピンスキー数は 78557、最小のリーゼル数は 509203、最小のブリエ数は 3316923598096294713661 かどうか。
 シェルピンスキー数のうち、最小の素数は 271129 か。また、シェルピンスキー数の最初の2個は 78557、271129 か。
 基底5における最小のシェルピンスキー数は 159986、最小のリーゼル数は 346802、最小のブリエ数は 120538009895207932 かどうか。
 何個組までの社交数が存在するか。
 3倍完全数は6個、4倍完全数は36個、5倍完全数は65個、6倍完全数は245個かどうか。
 素数計数関数  が対数積分  より大きくなる最小の  は何か。
 接吻数問題
 グラハム問題

 その他 



 ヒルベルトの23の問題のうち、第8の問題、第12の問題、第16の問題、第23の問題の4題。

 2つのブラックホールが融合する、という現象のモデル化
 P = L かどうか。
 NL = L かどうか。
 フィボナッチ数列の逆数和は超越数かどうか。
 コンウェイの問題
 バシャドスキー・チェコッティ・大栗・ヴァファ予想
 エルデシュ＝シュトラウス予想
 指数時間仮説
 ケーテ予想
 単位正方形の有理距離問題

 分野別未解決問題 
 加法的整数論 

 ゴールドバッハの予想
 コラッツの予想
 ビール予想
 フェルマー＝カタラン予想
 ウェアリングの問題
 ランダー・パーキン・セルフリッジ予想


 スコーレム問題

 代数 


 ヒルベルトの23の問題の15番目
 ヒルベルトの23の問題の16番目 
 アダマール予想 
 ジャコブソン予想
 ケーテ予想

 セール予想 II (Serre's conjecture II)

 ボスト予想

 ゴールマハティヒ予想

 代数幾何 


 バスの予想

 中井予想
 代数的サイクルの標準予想
 テイト予想 (代数幾何学)

 代数的数論 

 類数問題
 スターク予想 

 解析 

 ヤコビアン予想
 レーマーの予想
 （オイラーの定数）, カタランの定数, , これらは代数的無理数（代数的数であり、無理数でもある数）か、超越数か？これらの無理数度の値は何か？
 ヒルベルトの23の問題の13番目

 組合せ論 

 シングマスター予想
 マルコフ数に対する一意性予想

 離散幾何学 

 藤村の三角形問題
 掛谷問題

 ユークリッド幾何学 

  – 全てのジョルダン曲線は内接正方形を有するか？
  – 単位弧長を有する全ての平面曲線を包含できる最小面積の領域は何か？
 ソファ問題
 Shephardの問題（デューラーの予想） – 全ての凸多面体は展開図を有するか？
 トムソン問題

 グラフ理論 

 根上の予想


 群論 

 ガロアの逆問題
 バーンサイド問題
 一般ムーンシャイン予想
 コクセター群の同型問題

 数論 


 一般化されたリーマン予想
 リーマン予想
 ヒルベルトの23の問題の9番目
 ヒルベルトの23の問題の11番目
 ヒルベルトの23の問題の12番目 
 ピライの予想

 モンゴメリー・オドリズコ予想
 ヒルベルト・ポリア予想
 アリコット数列におけるカタラン・ディクソン予想
 ブロカールの問題
 ブニャコフスキー予想
 ベイリンソン予想 ⇒ L-函数の特殊値
 スピロ予想
 ヴォイタ予想
 ゴールマハティヒ予想
 合同数の問題

 3つの立方数の和 
 ABC予想

 近年解かれた問題 

 ソファ問題（2024年）
 アインシュタイン問題（2023年）
 （2017年）
弱いゴールドバッハ予想（2013年) — ハラルド・ヘルフゴットによる証明
 佐藤・テイト予想（2006年）
 ポアンカレ予想（2002年）
 カタラン予想（2002年）
 加藤予想（2001年）
 谷山–志村予想（1999年）
 ケプラー予想（1998年）
 ヒルベルトの23の問題の第18題（1998年）
 フェルマーの最終定理（1994年）
 ビーベルバッハ予想（ド・ブランジュの定理）（1985年）
 四色定理（1977年）
 ヴェイユ予想（1974年）
 連続体仮説（1963年）

 脚注 

 注釈 

 出典 

 関連項目 

 ヒルベルトの23の問題
 スメイルの問題
 数学の歴史

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