回文数

回文数（かいぶんすう、Palindromic number）とは、なんらかの位取り記数法（N進法）で数を記した際、たとえば十進法において14641のように逆から数字を並べても同じ数になる数である。同様の言葉遊びである回文にちなむ名前である。具体的には

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191,…()

である。
回文数は、趣味の数学の分野ではよく研究の対象になる。代表的なものとしては、ある性質を持った回文数を求めることがある。以下のようなものがよく知られている。
回文素数
 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, …
回文平方数A002779 - OEIS
 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, …

バックミンスター・フラーは著書の中で、回文数を「シャハラザード数」とも呼んでいる。これは、『1001夜物語』（1001も回文数である）のヒロインの名にちなんでいる。

 定義 
任意の整数 n > 0 は、b 進法（ただし、b ≧ 2）の位取り記数法により k + 1 桁の数字として以下の式で一意的に表すことができる。

　ただし、任意の i に対し 0 ≦ ai < b, ak ≠ 0 

n が回文数になるのは、任意の i に対して ai = ak−i が成り立つときである。また、0は何進法においても回文数である。

 十進法における回文数 
すべての1桁の数は回文数である（これは記数法に依らない）。十進法では以下の10個である。
 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2桁の回文数は以下の9個である。
 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

3桁の回文数は90個ある。
 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, … 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999

4桁の回文数は90個ある。
 1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999

 主な回文数の個数 
表中の上位桁の個数には下位桁での個数も含む。
最大桁数1桁2桁3桁4桁5桁6桁7桁8桁9桁10桁OEIS総数1019109199109919991099919999109999199999偶数594989489889488988894888988889奇数51060110610111061101111061110111110平方数36131419素数45201137815953平方数を約数として持たない数61267120675平方数を約数として持つ数（μ(n)=0）364178423素数の平方235偶数個の素数の積（μ(n)=1）263556324奇数個の素数の積（μ(n)=−1）5733653522つの素数の積3736502693つの素数の積142658295楔数011242229カーマイケル数01約数の和（σ(n)）も回文数になる61047114688

平方したとき回文数になる非回文数は 26, 264, 307, 836, 2285, 2636, 22865,…である。()
(例. 2642 = 69696)

立方数が回文数になる数は 1, 2, 7, 11, 101, 111, 1001, 2201, 10001,…である。()
(例. 22013 = 10662526601)

 11の倍数 
偶数桁の回文数は、11の倍数である面白くて眠れなくなる数学BEST p.207-209 桜井進〈数学の目で見るシリーズ⑦〉素朴な疑問―小・中の橋渡しの巻 2桁の数はどんな数でも回文数になるのかな？ 教科研究数学 No.202（町田彰一郎）回文数 中学受験プロ講師ブログ61．2002年の問題 Weekend MathematicsA002385 - OEIS。

 リクレルプロセス 

回文数でない数から回文数を作る方法として、桁の順番を逆にした数と自身とを加える（これをリクレルプロセス (Lychrel process) という）ことを繰り返す方法がある回文数、Lychrel数 - INTEGERS。

1回の操作で回文数ができるものには、次のような数がある。33 (12+21) 以降の2桁の回文数、121 (29+92 = 38+83 = 47+74 = 56+65)、303 (102+201) ……。

この方法を何度繰り返しても回文数にならない数をリクレル数 (Lychrel number) という。十進数の中でリクレル数であることが証明されているものは存在せず、そもそも十進数のリクレル数が存在するかどうかは未だ証明がされていないが、いくつかの数はリクレル数であると予想されており、それを「候補リクレル数」という。3桁の数（100 - 999の900個）のうち、候補リクレル数は以下の13個である（）。
 196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986

このうち、最小の196がリクレル数か否かを求める問題を通称「196問題」という。

 十進法以外 
ここまでの節で扱ったものは全て十進法における回文数であるが、十進法以外のN進法でも回文数は発生する。例えば二進法の回文数は

となる。メルセンヌ数やフェルマー数は、二進法における回文数に含まれる。上記の二進法の回文数において対応する十進法の数はを参照。

多くの場合、十進法での回文数は他の記数法においては回文数にはならないし、他の記数法での回文数は十進法では回文数にならない。例えば十進法の16461は、十六進法では404Dとなる。同じく、十進法の1999は「立方数の2倍の一つ前」であるが、六進法では13131となり回文数となる。他の進数と十進数ともに回文数になる具体的な数については以下を参照。

{| class="wikitable" style="text-align: left;"
! N進数 !! 数 !! 整数列大辞典
|-
| 2 || 1,3,5,7,9,33,99,313,585,717,7447,9009,… ||  
|-
| 3 || 1,2,4,8,121,151,212,484,656,757,… || 
|-
| 4 || 1,2,3,5,55,373,393,666,787,939,7997,… || 
|-
| 5 || 1,2,3,4,6,88,252,282,626,676,1221,… ||  
|-
| 6 || 1,2,3,4,5,7,55,111,141,191,343,434,777,868,1441,7667,7777,… ||  
|-
| 7 || 1,2,3,4,5,6,8,121,171,242,292,… || 
|-
| 8 || 1,2,3,4,5,6,7,9,121,292,333,373,414,585,3663,8778,… || 
|-
| 9 || 1,2,3,4,5,6,7,8,191,282,373,464,555,646,656,6886,… || 
|}

任意の整数 n は、 b 進法（ただし、b ≧ n + 1 または b = n − 1）において回文数となる。
 n ≧ 3 の任意の n は、n - 1 進法で"11(n-1)"となり、回文数となる。
 n ≧ 2 の任意の n は、n 進法で"10(n)"となり、回文数とならない。
 n ≧ 1 の任意の n は、b ≧ n + 1 の全ての b 進数において1桁の数となり、回文数となる。
上記を除く、2 ≦ b ≦ n − 2 であるすべての b 進法において n が回文数にならないとき、n を厳密非回文数 (strictly non-palindromic number) と呼ぶ。

十八進法において、7の累乗のいくつかは回文数になる。
 73 =     111
 74 =     777
 76 =   12321
 79 = 1367631

すべての記数法において、回文数は無限に存在する。例えば、
 同じ数字を並べる - 1, 11, 111, 1111, 11111, …
 最初と最後を同じ数字として、それ以外に 0 を並べる - 11, 101, 1001, 10001, …
といったようにして、いくらでも挙げることができる。

 脚注 

 関連項目 

 回文
 ぞろ目
 レピュニット
 西山豊「数学を楽しむ／回分数と196」『理系への数学』2006年10月号, Vol.39, No.10, 58-61. - についての記事

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pl:Palindrom#Palindromy liczbowe