ヤン＝ミルズ理論

ヤン＝ミルズ理論（ヤン＝ミルズりろん、）は、1954年に楊振寧とロバート・ミルズによって提唱された非可換ゲージ場の理論のことであるYang and Mills (1954)。

なお、その少し前にヴォルフガング・パウリStraumann, N: "On Pauli's invention of non-Abelian Kaluza-Klein Theory in 1953" e-print arXiv.gr=qc/0012054See Abraham Pais' account of this period as well as L. Susskind's "Superstrings, Physics World on the first non-Abelian gauge theory" where Susskind wrote that Yang-Mills was "rediscovered" only because Pauli had chosen not to publishと内山龍雄も同理論を完成していたと言われているが、様々な事情により発表が遅れ、先取権はヤン＝ミルズにあるとされる。

 概要 
この理論は元々、ワイルらによって研究が進められていた可換対称性に基づくゲージ理論を、非可換対称性にまで発展させた理論である。
非可換ゲージ理論の代表的なものであり、他の非可換ゲージ理論としてはチャーン＝サイモンズ理論などがある。

この理論は最初、陽子と中性子のアイソスピンSU(2)対称性に着目して構築された模型である。これ自体は実験と合わなかったが、現在でも自発的に破れた弱アイソスピンとハイパーチャージのSU(2)×U(1)対称性に受け継がれているといえる（ワインバーグ＝サラム理論）。
このように対称性が破れる模型もヤン＝ミルズ理論に含む場合もある。

現在の典型的なヤン＝ミルズ理論はカラーSU(3)対称性に基づく量子色力学である。
また、検証されていない理論として、SU(5)やSO(10)対称性に基づく大統一理論などがある。
超対称性を持つように拡張される場合もあり、超対称ヤン＝ミルズ理論（、SYM）と呼ばれる。各種超対称性理論の基礎として、また超弦理論との関係などから、現在盛んに研究されている。
理論模型としては、ゲージ場だけで物質場を含まない模型は純粋なヤン＝ミルズ理論（）と呼ばれる。

また、現実に（仮に近似的だとしても）ヤン＝ミルズ理論が存在する以上、現実を説明する素粒子仮説は、適当な状況設定の下でヤン＝ミルズ理論を再現するように作られる事が多い。ヤン＝ミルズ理論を内包している理論に、カルツァ＝クライン理論や超弦理論がある。

 内容 
ヤン＝ミルズ理論は、非可換リー群をゲージ対称性に持つゲージ理論である。

パラメータ  で特徴付けられるリー群

を考える。
ここで、T はリー群の生成子である。
群の非可換性を反映して生成子のリー代数は

となる。f は群の構造定数である。

 ゲージ変換 
局所化されたパラメータ  で特徴付けられるゲージ変換の下で、リー群の表現の添え字 i をもつ場  は

と変換される。
パラメータの一次を考えると

となる。
ここで生成子  は、ゲージ変換の下での場  の属する表現での行列表現である。ゲージ変換の下での場の変換性を決める生成子の表現はチャージと呼ばれる。

gは理論の結合定数で、ゲージ結合定数と呼ばれる。この理論の大きな特徴として、共変微分やヤン＝ミルズ項に含まれる全ての結合定数が等しい事が挙げられる（結合定数の普遍性）。この普遍性は標準模型においても検証されており、素粒子物理がゲージ理論で記述される事の強い傍証となっている。

 共変微分 
ヤン＝ミルズ理論において、ラグランジアンに含まれる場の微分  は共変微分

へと置き換えられる。ここで  はゲージ場である。
ゲージ場はゲージ変換の下でパラメータの一次で

と変換される。
従って共変微分は

と変換し、場と同じ変換性をもつ。
これにより、様々な場からゲージ対称性を満足する項を作る事が出来る微分とはその定義からも分かる通り、本質的に空間上の二点の値に依存する。従って、各点ごとに独立なゲージパラメタを持つ局所ゲージ変換の上で不変な項を作る事は、通常の微分からでは不可能である。その変化分を相殺するために、共変微分及びゲージ場が必要とされる。つまり、局所ゲージ不変性を要請する事と、ゲージ場の存在を要請する事とは同じ事である。field-strengthは、ゲージ場だけから作られるゲージ共変なテンソルとして一意に定まる。微分幾何学の言葉では、ゲージ場は接続、ゲージ場の強度は曲率となる。。
種々の場はゲージ場と共変微分を通してのみ相互作用をする。相互作用の形はゲージ変換の下での変換性で決まり、このような相互作用の形は最小結合（）の理論と呼ばれる。

 ヤン＝ミルズ項 
ヤン＝ミルズ理論では、ラグランジアンにヤン＝ミルズ項

（各添え字について和を取る）を持つ。 F はゲージ場の強度（）
である。
非自明な交換関係に伴って、構造定数に関係する項が現れるのが特徴である。

 繰り込み群と結合定数 
繰り込み群の考え方から、着目するエネルギースケールによって結合定数が変化するという描像を得る事が出来る。 個のフレーバーを持つゲージ群の表現  に属するフェルミオンを含むヤン＝ミルズ理論の1ループベータ関数は、

となる。ただし、 は  によって定義される随伴表現における2次のカシミア演算子、 は表現  における生成子の行列表現の規格化定数  である。

量子色力学においては、 で、である。
これは、フェルミオンのフレーバーが少ない場合のヤン＝ミルズ理論が、高エネルギーでは相互作用が弱くなる(漸近的自由性)、と読むことが出来る。

 脚注 

 参考文献 
 論文


 書籍

佐藤勝彦『アインシュタインが考えた宇宙』実業之日本社、2005年
川合光『はじめての超ひも理論』講談社現代新書、2005年

 関連項目 
 標準模型
 ゲージ理論
 場の量子論
 N=4 超対称ヤン・ミルズ理論
 ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題

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