収束半径

収束半径(しゅうそくはんけい、radius of convergence) とは、冪級数が収束する定義域を与える非負量（実数あるいは∞）である。

次の冪級数を考える。

ただし、中心  や係数  は複素数（特に実数）とする。次の条件が成立するとき、  をこの級数の収束半径という。

であるとき、級数は収束し、

であるとき、級数は発散する。

もし、級数が全ての複素数  に関して収束するならば、収束半径は ∞ となる。

 収束半径の値 
収束半径は、級数の各項にコーシーの冪根判定法を適用することで求めることができる。もし、

（は上極限を表す）であれば、収束半径は  である。  であれば、収束半径は無限であり、複素数平面上に特異点は存在せず、  が整関数であることを意味する。

ただ、大抵の場合はダランベールの収束判定法で事足りる。ある自然数  が存在し、  となるすべての自然数  について  となるとき、極限

が存在するならば、収束半径は  である。この極限は、上記の  より計算しやすい。しかし、代わりに  に関する公式を使わねばならないような場合には、  は収束しない。

また、具体的に係数  が求まらない場合は優級数を用いて評価する方法もある。複素関数の場合には、複素数  を中心としたテイラー展開の収束半径は、その点から最も近い特異点（微分できない点）までの距離に等しいことが知られている。逆に複素数平面上に級数が収束する領域を円で表すと、その収束円周上には必ず特異点が存在することになる。特異点が存在しない場合は、収束半径は無限大である。

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