カイ二乗分布

カイ二乗分布（カイにじょうぶんぷ、カイじじょうぶんぷ）、またはχ分布は確率分布の一種で、推計統計学で最も広く利用されるものである。ヘルメルトにより発見されHelmert, F. R. (1875): Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 20, 300-303, .、ピアソンにより命名されたPearson, K. (1900): On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it Can Reasonably Be Supposed to have Arisen from Random Sampling, Philosophical Magazine 5, 50, 157-175, .。

独立に標準正規分布に従う  個の確率変数  をとる。このとき、統計量

の従う分布のことを自由度  のカイ二乗分布と呼ぶ。

普通はこれを

と書く。カイ二乗分布は  という1個の母数をもつ。これは  の自由度に等しい正の整数である（場合によっては非整数自由度のカイ二乗分布も用いられる）。カイ二乗分布はガンマ分布の特殊な場合に当たる。

カイ二乗分布はカイ二乗検定と総称される多くの検定法のほか、などにも利用される。

 性質 
カイ二乗分布の確率密度関数は  に対し

また  に対し  という形をとる。ここで  はガンマ関数である。

分布関数は

（ただし  は不完全ガンマ関数）である。

（ただし  と  はカイ二乗分布に従う独立な確率変数）とすると、、つまり自由度で割って比をとるとF分布に従う。

（自由度2）ならば、 は期待値  の指数分布に従う。

自由度  のカイ二乗分布に従う確率変数の期待値は  で、分散は  である。中央値は近似的に

となる。

カイ二乗分布は再生性を持つ。すなわち、 ならば、 となる。

 正規分布による近似 
 として、 が無限大に近づくと  の分布は正規分布に近づくが、近づき方はゆっくりしている（歪度 、尖度 ）ため、 自体より速く正規分布に近づく次の2つの方法が普通用いられる。
 は近似的に平均 、分散  の正規分布に従う（ロナルド・フィッシャー）。
 は近似的に平均 、分散  の正規分布に従う（ウィルソンとヒルファティ、1931年）。

 出典 

 関連項目 
確率分布
確率密度関数
カイ二乗検定
非心カイ二乗分布
ガンマ関数
ガンマ分布
推計統計学

Category:確率分布
Category:数学に関する記事