メンガーのスポンジ

メンガーのスポンジとは1926年. English translation reprinted in にカール・メンガーにより発見された自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元（ハウスドルフ次元、相似次元）は （）次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。
メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。また、メンガーのスポンジは無限個の穴を開けるため正確には3次元空間では見ることができない。それは表に見える6つの面がシェルピンスキーのカーペットによって構成されていて面積が0となるからである。

 面積 
メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度目の穴を空けると、その表面積は増加する。

穴を空ける回数をとすると、その表面積はと表すことができ、これは無限回繰り返した時、無限大に発散する。

 体積 
メンガーのスポンジの次元は3より小さい（2.7268...次元）ため、3次元的な大きさである体積は 0 である。

実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積はずつ減少するため、穴を空ける回数をとすると最終的に体積はとなりに収束する。

厳密な定義
メンガースポンジの厳密な定義は以下である:

ここで は単位立方体で、

 脚注 

 注釈 

 出典 

 関連項目 
 フラクタル、フラクタル幾何
 コッホ曲線
 アポロニウスのギャスケット
 シェルピンスキーのギャスケット
 シェルピンスキーのカーペット
 立方体

Category:フラクタル
Category:数学に関する記事
Category:数学のエポニム