直交関数列

数学において直交関数列（ちょっこうかんすうれつ、）とは互いに直交する関数列の事である。

 定義 
区間  上で定義された複素数値関数 ,  に対し

は、積分が有限値として存在するならば、内積となる。

 上の複素値関数の列  が、この内積に対し、互いに直交し、

であるとき、直交関数列であるという。

特に直交関数列のうち、ノルムが 、すなわち

であるものものを正規直交関数列という。

また、実数値関数の列  とある関数  に対し、 が直交関数列をなし、

であるとき、この関数列を重み（荷重） の直交関数列という。

 例 

 三角関数形 
余弦関数系
1と余弦関数による列{1, cosx, cos2x, cos3x,…}は区間 [0, π] で直交関数系を成す。

正弦関数系
正弦関数による列 {sinx, sin2x, sin3x,…} は区間 [0, π] で直交関数系を成す。

三角関数系
{1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…} は [-π, π] で直交関数系を成す。

 直交多項式 

 エルミート多項式 
関係式



で定義されるエルミート多項式は区間 (−∞, ∞) 上の重み e−x2/2 の直交関数系であり、



を満たす。

 ルジャンドル多項式 
関係式



で定義されるルジャンドル多項式は区間 [−1, 1] 上の直交関数系であり、



を満たす。

 ラゲール多項式 
関係式



で定義されるラゲール多項式は区間 [0, ∞) 上の重み e−x の直交関数系を成し、



を満たす。

 チェビシェフ多項式 
関係式



で定義されるチェビシェフ多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x2)−1/2 の直交関数系を成し、



を満たす。

 ゲーゲンバウアー多項式 
関係式



で定義されるゲーゲンバウアー多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x2)α − 1/2 の直交関数系を成し、



を満たす。

 完備関数列 
直交関数列で、

となるもののことを言う。

 例 
 （三角関数列）

 関連項目 
フーリエ級数
ルジャンドル多項式
エルミート多項式

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