弾性エネルギー

弾性エネルギー（だんせいエネルギー、）とは、ばねやゴムなどの弾性体の変形に伴うエネルギーである。位置エネルギーの一種である。

 一次元の線形弾性体 
フックの法則に従うばね係数  のばねの伸びが  であるときの弾性エネルギーは

で与えられる。

 導出 
一端が壁に固定されたフックの法則に従うばね係数  のばねに接続された物体を考える。ばねの伸びが  のとき、ばねが物体に及ぼす力は  である。
ばねの伸びが  だけ変化するとき、ばねに接続された物体は  だけ移動する。
ばねの伸びの変化が充分に小さい場合には、ばねが及ぼす力は殆ど変化しないとみなすことができる。このとき、ばねが物体に行う仕事は

である。
一方、ばねが物体に仕事を行うとき、ばねから物体にエネルギーが移動する。ばねの他端は壁に固定されているので、外部からのエネルギーの流入はない。従って、ばねが行う仕事の分だけばねが蓄えている弾性エネルギーが減少する。弾性エネルギーを 、その変化量を  とすれば

である。

これら二つの式から

が得られる。ばねの伸びが無限小の極限  で、微分係数が

となる。これを積分すれば

が導かれる。ここで  は積分定数であり、これは伸びが 、すなわちばねが自然な長さにあるときの弾性エネルギーを意味する。通常は  と定める。

 弾性エネルギーと応力 
先のばねの例において、ばねの伸び  を弾性体の歪み  へ、物体がばねに及ぼす力  を、弾性体の応力  へと置き換えれば、応力が偏微分係数

として表され、弾性エネルギーはこの積分として

で与えられる。弾性エネルギーは弾性体の変形の関数として定まるエネルギーであり、先の一次元線形弾性体の例では、ばねの伸び  の関数として与えられている。応力と歪みは一般にテンソルであり、テンソル添え字を  で表している。

応力を歪みの関数として与える関係式は構成方程式であり、弾性エネルギーと構成方程式は一方が分かれば、他方が偏微分あるいは積分として得られる関係にある。理論モデルとしてはどちらを先に与えても等価であるが、実験的には構成方程式が先に決定され、その積分として弾性エネルギーを導かれる場合が多い。

 弾性エネルギーの例 
弾性エネルギーは例として伸びている「ゴム」や「ばね」などのことを言う。弓が元に戻ろうとする力で飛ぶ矢など。

 熱力学との関係 
弾性エネルギーは、弾性体の性質の力学的な側面だけを考えているが、弾性体の性質は温度によっても変化する。その最たる例として、温度変化による変形である熱膨張が挙げられる。弾性エネルギーは変形の関数であるが、温度と変形の関数として定まるエネルギーが自由エネルギーである。自由エネルギーの偏微分としては状態方程式が得られる。

 関連項目 
 弾性 - 構成方程式
 仕事
 力学的エネルギー

Category:力学
Category:エネルギー

simple:Elastic energy
sv:Elastisk energi