指数 (初等整数論)

初等整数論における指数（しすう、index）は、解析学における指数関数・対数関数の概念の類似物である。標数と呼ばれることもある。

 定義 
互いに素な正の整数 n と整数 a に対して ak ≡ 1 (mod n) なる合同式が成り立つような最小の正の整数 k を、n を法とする a の位数（いすう、multiplicative order of a modulo n）と呼び、 ordn (a) や On(a) などと記す。

φ(n) を n のオイラー数とするとき、ordn(g) = φ(n) となる整数 g が存在するならば、g の属する法 n の剰余類 g mod n を n を法とする原始根（げんしこん、primitive root modulo n）と呼ぶ。すなわち n を法とする原始根とは、n を法とする既約剰余類全体が乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元のことである。

原始根が存在するのは n が  2, 4, pk, 2pk
(p は奇素数  kは自然数) の場合に限られる。

g mod n が法 n に関する原始根であるならば、原始根の定義により任意のa mod n ∈ (Z / n Z)× に対して

なる整数 e が φ(n) を法として唯一つ定まる。このときこの e mod φ(n) を、原始根 g mod n を底（てい、base）とする a mod n の指数とよび、Indg(a) と記す。

紛れのおそれが無いならば、これらの定義に現れる剰余類（に関する記述）をその代表元となる整数（に関する記述）であるかのように記す。

 性質 
以下、g を整数 n を法とする原始根として任意に選んで固定しておく。また、a や b は n とは互いに素であるとする。
 定義：

 a ≡ b (mod n) であることと Indg(a) ≡ Indg(b) (mod φ(n)) であることとは同値である。

 Indg(1) ≡ 0 (mod φ(n))
 Indg(g) ≡ 1 (mod φ(n))
 Indg(ab) ≡ Indg(a) + Indg(b) (mod φ(n))
 Indg(ak) ≡ k * Indg(a) (mod φ(n))

 参考文献 


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