符号付数値表現

符号付数値表現（ふごうつきすうちひょうげん）の記事では、コンピュータシステムにおける数の表現（コンピュータの数値表現）において、負の範囲も含んで（正の数と負の数の記事も参照）数を表現する方法を解説する。

コンピュータで負の数を表す方法は、用途などにあわせいくつかある。ここでは、二進記数法を拡張して負の数を表す方法を四種類説明する（#符号-仮数部、#1の補数、#2の補数、#エクセス N）。ほとんどの場合、最近のコンピュータでは2の補数表現を使うが、他の表現が全く使われないわけではない（おそらく、最も使われている2の補数以外の表現は、浮動小数点の表現内に含まれるエクセス1023であろう）。



+ 8 ビット 符号・絶対値ビットパターン符号・絶対値表現符号無し表現 00000000  0 0 00000001 1 1 … … … 01111111 127 127 10000000 −0 128 … … … 11111111 −127 255

は通常の位取り記数法で行うよう、正および負の数を表す符号（+ および −）として1つのビットを使い（）、残りのビットでその数の絶対値を表す符号付きの数の表現方法である。符号・絶対値表現において、符号ビットの値が 0 なら符号は +、1 なら符号は − が付くものと見なされる。符号ビットは通常最上位ビット（MSB）に割り当てられ、下位のビット列で絶対値を表す（例：8ビット符号・絶対値表現において十進数  は二進数 、 は  で表される）。

8ビットで数値を表す場合、符号は1ビット、絶対値は7ビットで表現される。この場合、絶対値の範囲は  から  まで（十進法で  から  まで）である。したがって、8ビットの符号・絶対値表現で表せる数の範囲は  から  である。

符号・絶対値表現において、0 を表す方法は  (+0) と  (−0) の2通りある。

初期の二進コンピュータ（例えばIBM 7090）はこの表現方法を採用していたものもある。また、多くの十進コンピュータは符号・絶対値表現を用いている。

 1の補数 

+ 8 ビット 1の補数ビットパターン1の補数表現符号無し表現 00000000     0    0 00000001     1    1   ...      ...  ... 01111101   125  125 01111110   126  126 01111111   127  127 10000000  −127  128 10000001  −126  129 10000010  −125  130   ...      ...  ... 11111110    −1  254 11111111    −0  255
二進数における1の補数表現は、負の数の表現に絶対値のビット単位のNOTを適用することで得られる。符号-仮数部 表現のように、1の補数でも 0 には二種類の表現がある(00000000 (+0), 11111111 (−0))。

例えば、00101011 (43) の1の補数は、11010100 (−43) である。1バイト幅で1の補数で表せる数値の範囲は −12710 から +12710 となる。

この体系でふたつの数の足し算をするには、まず通常の二進数の加算を行い、演算の結果出てきたキャリー（桁あふれ）を戻して加算する必要がある。なぜそうなるのかを知るために、−1 (11111110) と +2 (00000010) を加算してみよう。二進数の加算を行うと 00000000 となってしまい、正しい答えではない。これにあふれた桁（キャリー）を加算すると正しい答え (00000001)が出てくるのである。

この数値表現体系は古いコンピュータでは一般的だった。PDP-1とかUNIVAC 1100/2200 seriesなど多くのシステムが1の補数を使っていた。

なお、「1の補数」表現とは、英語では "ones' complement" 、すなわちoneの複数形onesの所有格であり、「2の補数」が "two's complement"、すなわちtwoの単数形の所有格であるのと異なる。これは、1の補数が実際には 1 がずらっと並んだものから元の数を引くことで符号を反転させるためである。2の補数では単一の2のべき乗から元の数を引いて符号を反転させる。<ref>ドナルド・クヌース The Art of Computer Programming, Volume 2: 4.1節</ref>

IPv4のヘッダーチェックサムは1の補数を使っている。

指数-仮数部表現で負数の仮数部をビット毎に反転させると、1の補数表現に変換される。

2の補数 

+ 8 ビット 2の補数ビットパターン2の補数表現符号無し表現 00000000     0    0 00000001     1    1   ...      ...  ... 01111110   126  126 01111111   127  127 10000000  −128  128 10000001  −127  129 10000010  −126  130   ...      ...  ... 11111110    −2  254 11111111    −1  255

0が二種類の表現を持つという問題、キャリーを戻して加算しなければならない問題は、2の補数という体系を使うことで回避できる。2の補数では、負の数は（符号なしの感覚で言うと）1の補数より1だけ大きいビットパターンで表される。

例えば、8ビットの整数では値は右表のようになる。2の補数では、ゼロ(00000000)は一種類しかない。ある値の符号を反転した値を得るには、（元の数値が正か負かに関係なく）全ビットを反転させてから 1 を足す。2の補数での加算は符号無しの数値と同じである（ただし、オーバーフローの検出方法は異なる）。右表を見ればわかるとおり、127 と −128 の加算は、符号無しの 127 と 128 を加算するのと同じである。

ある数の2の補数を簡単に得る方法は以下の通りである。
 例 1 例 2 1. 右端から見ていき、最初の '1' を探す 0101001 0101100 2. その '1' より左側のビット列を反転させる 1010111 1010100


+ 8 ビット エクセス127ビット列エクセス127表現としての解釈符号なし表現としての解釈 00000000     −127    0 00000001     −126    1   ...      ...  ... 01111111   0  127 10000000  +1  128   ...      ...  ... 11111111    +128  255
エクセスN は、事前に定めた正の整数N をバイアス値（偏り）として用いる表現。ある整数は、元の値よりN だけ大きい符号なし整数として表現される。例えば、値 0 は N として表され、値 −N は 0 として表される。N'' として、2m −1 がよく用いられる。バイアス表現、下駄ばき表現、またはオフセット・バイナリ (offset binary) とも呼ばれる。

この表現は、浮動小数点数の指数部でよく用いられている。IEEE浮動小数点標準では、単精度（32ビット）の指数部は8ビットのエクセス127として定義されている。倍精度（64ビット）では11ビットのエクセス1023である。

 比較表 
以下の表は 4 ビットでの各表現方法で、最大 +8 から −8 までの整数を表現したものの比較表である。

+ 4ビット整数表現 十進 符号無し 符号-仮数部 1の補数 2の補数 エクセス7 +8 1000 N/A N/A N/A 1111 +7 0111 0111 0111 0111 1110 +6 0110 0110 0110 0110 1101 +5 0101 0101 0101 0101 1100 +4 0100 0100 0100 0100 1011 +3 0011 0011 0011 0011 1010 +2 0010 0010 0010 0010 1001 +1 0001 0001 0001 0001 1000 (+)0 0000 0000 0000 0000 0111 (−)0 N/A 1000 1111 N/A N/A −1 N/A 1001 1110 1111 0110 −2 N/A 1010 1101 1110 0101 −3 N/A 1011 1100 1101 0100 −4 N/A 1100 1011 1100 0011 −5 N/A 1101 1010 1011 0010 −6 N/A 1110 1001 1010 0001 −7 N/A 1111 1000 1001 0000 −8 N/A N/A N/A 1000 N/A

 出典 

 参考文献 




 関連項目 
 整数型
 3増し符号
 コンピュータの数値表現
 負のゼロ

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