歪度

確率論および統計学において、歪度（わいど、skewness）は、分布の非対称性を示す指標である。日本産業規格では、ゆがみ、ひずみ（歪み）を確率密度関数または確率関数 f (x)  のグラフが左右対称でないこと、ゆがみの程度を平均値まわりの 3 次モーメント µ3 と標準偏差 σ の 3 乗との比 µ3/σ3 と定義している。

分布の尖り（とがり）具合を示す指標である尖度左右対称ならば歪度は 0 である。同様に正規分布ならば尖度は 0（別の定義によれば 3）である。しかし、明らかに歪度が 0 であるからといって左右対称ではないし、尖度が 0（別の定義によれば 3）であるからといって正規分布でもない。とともに用いる。歪みをもち、尖度が大きい金融データなどではこれらの指標を頻繁に用いる。

 標準化 
確率分布の分布特性を示すためには、通常は期待値および分散が用いられる。さらに、分布型の差を示す指標の一つに 3 次モーメント（3 乗の期待値）と 4 次モーメント（4 乗の期待値）とがある。これらのモーメントは、平均値と分散の影響を除くように標準化される。［平均値は、位置尺度には依存しないが、スケール尺度（たとえば分散）に依存する。］

確率変数 X の期待値が μ、分散が σ2 のとき、標準化確率変数  は期待値 0、分散 1 となり、平均と分散の影響は除去される。

Z の 3 次モーメント ) は歪度  と呼ばれる。とくに標準正規確率変数の分布に歪みはなく、0 を中心として左右対称であるから歪度は 0 である。歪度の符号によって、正の歪みをもつ分布、負の歪みをもつ分布といわれる。

Z の 4 次モーメント  は尖度 β2 と呼ばれる。分散が σ2 である正規分布ならば、平均値まわりの 4 次モーメント  は  であり、標準正規確率変数では  である。正負を基準にして、 の分布は急尖的分布と呼ばれ、正規分布よりも両裾が厚い分布になる。一方、 の分布は緩尖的分布と呼ばれ、正規分布よりも両裾が薄い分布になる。

たとえば対数正規分布に従う確率変数の歪度は正であり、尖度は常に 3 より大きい。

 推定 
一般に、平均まわりの k 次モーメント  は、k 次の標本モーメントによって推定することができる。したがって、歪度と尖度は、原系列を標準化すれば 3 次の標本モーメント  および 4 次の標本モーメント  で推定できる。母分布が正規分布であるか否かを調べるためには、歪度と尖度が標準化された正規確率変数の値 0 と 3 に似るか否かを調べればよい（ジャック–ベラ検定）。ボウマン=シェントンBowman, Kimiko O. and Shenton, LR. Biometrika, 1975.は、正規性検定の指標Jarque-Bera

が、帰無仮説が正規分布である下で自由度が 2 のカイ二乗分布に漸近的に従うことを示した。

 注釈 

 出典 

 参考文献 





 関連項目 
 平均
 分散
 尖度
 ジャック–ベラ検定 - 歪度と尖度を用いた分布の正規性の検定手法

 外部リンク 
 Free Statistics Software (Calculator) - データ列から、尖度と歪度に関する各種統計値を算出する。

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