ジョンソンの立体

ジョンソンの立体（ジョンソンのりったい、Johnson solid）、またはザルガラーの多面体（ザルガラーのためんたい、Zalgaller polyhedron）とは、整面凸多面体（せいめんとつためんたい、regular-faced convex polyhedron）のうち、正多面体、半正多面体、アルキメデスの角柱、アルキメデスの反角柱以外のもの。

整面凸多面体とは、全ての面が正多角形で全ての辺の長さが等しい凸多面体である。なお、「ザルガラーの多面体」は整面凸多面体の意味で使うこともある。

ジョンソンの立体は全部で92種類ある。正多面体以外のデルタ多面体、ミラーの立体も含む。

正多面体・半正多面体のリストアップは比較的簡単だが、ジョンソンの立体のリストアップは簡単ではない。1966年、アメリカの数学者ノーマン・ジョンソン(Norman Johnson)が全92種を記した一覧表を発表し、それぞれに番号と名前を与えたが、これで全てだとの証明はされなかった。3年後の1969年、ヴィクター・アブラモヴィッチ・ザルガラー(Victor Abramovich Zalgaller)がコンピュータを駆使して、この一覧表が完全であることを証明した。

性質
面の種類は、1種類のもの（5種のデルタ多面体のみ）と複数種類のものとがある。

面の種類は、正三角形、正方形、正五角形、正六角形、正八角形、正十角形の6種類のみである。この性質は半正多面体にも共通する。これらの面は、正多面体が持つ3種類の面と、それらの辺の数を倍にしたものである。

正六角形、正八角形、正十角形の中では、最大1種類しか使われない。また、正 2n 角形（n ≥ 3）が使われているときは、正 n 角形も使われている。これらの性質は、半正多面体では成り立たない。

 一覧 
番号と英語の名称はジョンソンによる。日本語訳にはいくらか揺れがあるので注意されたい。n 番目のジョンソンの立体を Jn と書く。

1-6（6種）: 角錐、台塔、丸塔
7-17（11種）: 角錐柱、角錐反柱、双角錐
18-48（31種）: 台塔と丸塔の変形
49-57（9種）: 側錐角柱
58-64（7種）: 正多面体の変形
65-83（19種）: 半正多面体の変形
84-92（9種）: その他

対称性はシェーンフリース記号で書かれている。ほかの記号法についてはList of spherical symmetry groups（3次元点群の一覧）に詳しい。

 Jn 名称 展開図 投影図 頂点 辺 面 正 n 角形面 対称性 その他の性質 3  4  5  6  8  10 1 正四角錐(square pyramid) 80px 80px 5 8 5 4 1 C4v 2 正五角錐(pentagonal pyramid) 80px 80px 6 10 6 5 1 C5v 3 正三角台塔(triangular cupola) 80px 80px 9 15 8 4 3 1 C3v 4 正四角台塔(square cupola) 80px 80px 12 20 10 4 5 1 C4v 5 正五角台塔(pentagonal cupola) 80px 80px 15 25 12 5 5 1 1 C5v 6 正五角丸塔(pentagonal rotunda) 80px 80px 20 35 17 10 6 1 C5v 7 正三角錐柱(elongated triangular pyramid) 80px 80px 7 12 7 4 3 C3v 8 正四角錐柱(elongated square pyramid) 80px 80px 9 16 9 4 5 C4v 9 正五角錐柱(elongated pentagonal pyramid) 80px 80px 11 20 11 5 5 1 C5v 10 正四角錐反柱(gyroelongated square pyramid) 80px 80px 9 20 13 12 1 C4v 11 正五角錐反柱(gyroelongated pentagonal pyramid) 80px 80px 11 25 16 15 1 C5v 12 双三角錐(triangular dipyramid)デルタ六面体 80px 80px 5 9 6 6 D3h デルタ多面体 13 双五角錐(pentagonal dipyramid)デルタ十面体 80px 80px 7 15 10 10 D5h デルタ多面体 14 双三角錐柱(elongated triangular dipyramid) 80px 80px 8 15 9 6 3 D3h 15 双四角錐柱(elongated square dipyramid) 80px 80px 10 20 12 8 4 D4h 16 双五角錐柱(elongated pentagonal dipyramid) 80px 80px 12 25 15 10 5 D5h 17 双四角錐反柱(gyroelongated square dipyramid)デルタ十六面体 80px 80px 10 24 16 16 D4d デルタ多面体 18 正三角台塔柱(elongated triangular cupola) 80px 80px 15 27 14 4 9 1 C3v 19 正四角台塔柱(elongated square cupola) 80px 80px 20 36 18 4 13 1 C4v 20 正五角台塔柱(elongated pentagonal cupola) 80px 80px 25 45 22 5 15 1 1 C5v 21 正五角丸塔柱(elongated pentagonal rotunda) 80px 80px 30 55 27 10 10 6 1 C5v 22 正三角台塔反柱(gyroelongated triangular cupola) 80px 80px 15 33 20 16 3 1 C3v 23 正四角台塔反柱(gyroelongated square cupola) 80px 80px 20 44 26 20 5 1 C4v 24 正五角台塔反柱(gyroelongated pentagonal cupola) 80px 80px 25 55 32 25 5 1 1 C5v 25 正五角丸塔反柱(gyroelongated pentagonal rotunda) 80px 80px 30 65 37 30 6 1 C5v 26 異相双三角柱(gyrobifastigium)双側正三角柱 80px 80px 8 14 8 4 4 D2d 27 同相双三角台塔(triangular orthobicupola) 80px 80px 12 24 14 8 6 D3h 28 同相双四角台塔(square orthobicupola) 80px 80px 16 32 18 8 10 D4h 29 異相双四角台塔(square gyrobicupola) 80px 80px 16 32 18 8 10 D4d 30 同相双五角台塔(pentagonal orthobicupola) 80px 80px 20 40 22 10 10 2 D5h 31 異相双五角台塔(pentagonal gyrobicupola) 80px 80px 20 40 22 10 10 2 D5d 32 同相五角台塔丸塔(pentagonal orthocupolarotunda) 80px 80px 25 50 27 15 5 7 C5v 33 異相五角台塔丸塔(pentagonal gyrocupolarotunda) 80px 80px 25 50 27 15 5 7 C5v 34 同相双五角丸塔(pentagonal orthobirotunda) 80px 80px 30 60 32 20 12 D5h 35 同相双三角台塔柱(elongated triangular orthobicupola) 80px 80px 18 36 20 8 12 D3h 36 異相双三角台塔柱(elongated triangular gyrobicupola) 80px 80px 18 36 20 8 12 D3d 37 異相双四角台塔柱(elongated square gyrobicupola)ミラーの立体 80px 80px 24 48 26 8 18 D4d 全ての頂点形状が合同 38 同相双五角台塔柱(elongated pentagonal orthobicupola) 80px 80px 30 60 32 10 20 2 D5h 39 異相双五角台塔柱(elongated pentagonal gyrobicupola) 80px 80px 30 60 32 10 20 2 D5d 40 同相五角台塔丸塔柱(elongated pentagonal orthocupolarotunda) 80px 80px 35 70 37 15 15 7 C5v 41 異相五角台塔丸塔柱(elongated pentagonal gyrocupolarotunda) 80px 80px 35 70 37 15 15 7 C5v 42 同相双五角丸塔柱(elongated pentagonal orthobirotunda) 80px 80px 40 80 42 20 10 12 D5h 43 異相双五角丸塔柱(elongated pentagonal gyrobirotunda) 80px 80px 40 80 42 20 10 12 D5d 44 双三角台塔反柱(gyroelongated triangular bicupola) 80px 80px 18 42 26 20 6 D3 キラル 45 双四角台塔反柱(gyroelongated square bicupola) 80px 80px 24 56 34 24 10 D4 キラル 46 双五角台塔反柱(gyroelongated pentagonal bicupola) 80px 80px 30 70 42 30 10 2 D5 キラル 47 五角台塔丸塔反柱(gyroelongated pentagonal cupolarotunda) 80px 80px 35 80 47 35 5 7 C5 キラル 48 双五角丸塔反柱(gyroelongated pentagonal birotunda) 80px 80px 40 90 52 40 12 D5 キラル 49 側錐三角柱(augmented triangular prism) 80px 80px 7 13 8 6 2 C2v 50 二側錐三角柱(biaugmented triangular prism) 80px 80px 8 17 11 10 1 C2v 51 三側錐三角柱(triaugmented triangular prism)デルタ十四面体 80px 80px 9 21 14 14 D3h デルタ多面体 52 側錐五角柱(augmented pentagonal prism) 80px 80px 11 19 10 4 4 2 C2v 53 二側錐五角柱(biaugmented pentagonal prism) 80px 80px 12 23 13 8 3 2 C2v 54 側錐六角柱(augmented hexagonal prism) 80px 80px 13 22 11 4 5 2 C2v 55 双側錐六角柱(parabiaugmented hexagonal prism) 80px 80px 14 26 14 8 4 2 D2h 56 二側錐六角柱(metabiaugmented hexagonal prism) 80px 80px 14 26 14 8 4 2 C2v 57 三側錐六角柱(triaugmented hexagonal prism) 80px 80px 15 30 17 12 3 2 D3h 58 側錐十二面体(augmented dodecahedron) 80px 80px 21 35 16 5 11 C5v 59 双側錐十二面体(parabiaugmented dodecahedron) 80px 80px 22 40 20 10 10 D5d 60 二側錐十二面体(metabiaugmented dodecahedron) 80px 80px 22 40 20 10 10 C2v 61 三側錐十二面体(triaugmented dodecahedron) 80px 80px 23 45 24 15 9 C3v 62 二側錐欠損二十面体(metabidiminished icosahedron) 80px 80px 10 20 12 10 2 C2v 63 三側錐欠損二十面体(tridiminished icosahedron) 80px 80px 9 15 8 5 3 C3v 64 側錐三側錐欠損二十面体(augmented tridiminished icosahedron) 80px 80px 10 18 10 7 3 C3v 65 側台塔切頂四面体(augmented truncated tetrahedron) 80px 80px 15 27 14 8 3 3 C3v 66 側台塔切頂立方体(augmented truncated cube) 80px 80px 28 48 22 12 5 5 C4v 67 双側台塔切頂立方体(biaugmented truncated cube) 80px 80px 32 60 30 16 10 4 D4h 68 側台塔切頂十二面体(augmented truncated dodecahedron) 80px 80px 65 105 42 25 5 1 11 C5v 69 双側台塔切頂十二面体(parabiaugmented truncated dodecahedron) 80px 80px 70 120 52 30 10 2 10 D5d 70 二側台塔切頂十二面体(metabiaugmented truncated dodecahedron) 80px 80px 70 120 52 30 10 2 10 C2v 71 三側台塔切頂十二面体(triaugmented truncated dodecahedron) 80px 80px 75 135 62 35 15 3 9 C3v 72 側台塔回転斜方二十・十二面体(gyrate rhombicosidodecahedron) 80px 80px 60 120 62 20 30 12 C5v 73 双側台塔回転斜方二十・十二面体(parabigyrate rhombicosidodecahedron) 80px 80px 60 120 62 20 30 12 D5d 74 二側台塔回転斜方二十・十二面体(metabigyrate rhombicosidodecahedron) 80px 80px 60 120 62 20 30 12 C2v 75 三側台塔回転斜方二十・十二面体(trigyrate rhombicosidodecahedron) 80px 80px 60 120 62 20 30 12 C3v 76 側台塔欠損斜方二十・十二面体(diminished rhombicosidodecahedron) 80px 80px 55 105 52 15 25 11 1 C5v 77 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体(paragyrate diminished rhombicosidodecahedron) 80px 80px 55 105 52 15 25 11 1 C5v 78 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体(metagyrate diminished rhombicosidodecahedron) 80px 80px 55 105 52 15 25 11 1 Cs 79 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体(bigyrate diminished rhombicosidodecahedron) 80px 80px 55 105 52 15 25 11 1 Cs 80 双側台塔欠損斜方二十・十二面体(parabidiminished rhombicosidodecahedron) 80px 80px 50 90 42 10 20 10 2 D5d 81 二側台塔欠損斜方二十・十二面体(metabidiminished rhombicosidodecahedron) 80px 80px 50 90 42 10 20 10 2 C2v 82 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体(gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron) 80px 80px 50 90 42 10 20 10 2 Cs 83 三側台塔欠損斜方二十・十二面体(tridiminished rhombicosidodecahedron) 80px 80px 45 75 32 5 15 9 3 C3v 84 変形双五角錐(snub disphenoid)デルタ十二面体 80px 80px 8 18 12 12 D2d デルタ多面体 85 変形四角反柱(snub square antiprism) 80px 80px 16 40 26 24 2 D4d 86 球形屋根(sphenocorona) 80px 80px 10 22 14 12 2 C2v 87 側錐球形屋根(augmented sphenocorona) 80px 80px 11 26 17 16 1 Cs 88 長球形屋根(sphenomegacorona) 80px 80px 12 28 18 16 2 C2v 89 広底長球形屋根(hebesphenomegacorona) 80px 80px 14 33 21 18 3 C2v 90 五角錐球形屋根(disphenocingulum) 80px 80px 16 38 24 20 4 D2d 91 双三日月双丸塔(bilunabirotunda) 80px 80px 14 26 14 8 2 4 D2h 92 (triangular hebesphenorotunda) 80px 80px 18 36 20 13 3 3 1 C3v

 関連文献 
 小林光夫, 鈴木卓治, 「正多角形を面にもつすべての凸多面体の頂点座標の計算」, 電気通信大学紀要, Vol.5 (No.2), 147-184 (1992). https://uec.repo.nii.ac.jp/records/8171

 外部リンク 
 正多面体、準正多面体、ザルガラー多面体、mxico
 ザルガラー多面体の名前 - 小林・鈴木による日本語訳を掲載している。
 ジョンソン立体の分類
 立体２（☆ザルガラー多面体のところ） - 番号に前後あり。


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しよんそんのりつたい
Category:数学のエポニム