四つ子素数

四つ子素数（よつごそすう、）とは、4個の素数の組で、 のタイプのもののことをいう。ここで、 および  はいずれも双子素数であり、 はいとこ素数であり、 および  はいずれもセクシー素数であり、 および  はいずれも三つ子素数である。

四つ子素数を小さい順に並べると、

となる。最小のもの以外は、（ は  以上の整数）の形になる。したがって最小のものを除き、四つ子素数の一の位の数は小さい順に  となり、十の位以上の桁の数字は全て共通となる。

四つ子素数が無数に存在するのかどうかは2016年9月現在未解決である。

四つ子素数の逆数和は収束し、

である。

2019年2月現在発見されている四つ子素数  で最大の  は、10132桁の  である。

 最初の38組の四つ子素数 
   {5, 7, 11, 13},               {11, 13, 17, 19},             {101, 103, 107, 109}, 
   {191, 193, 197, 199},         {821, 823, 827, 829},         {1481, 1483, 1487, 1489},
   {1871, 1873, 1877, 1879},     {2081, 2083, 2087, 2089},     {3251, 3253, 3257, 3259},
   {3461, 3463, 3467, 3469},     {5651, 5653, 5657, 5659},     {9431, 9433, 9437, 9439},
   {13001, 13003, 13007, 13009}, {15641, 15643, 15647, 15649}, {15731, 15733, 15737, 15739},
   {16061, 16063, 16067, 16069}, {18041, 18043, 18047, 18049}, {18911, 18913, 18917, 18919},
   {19421, 19423, 19427, 19429}, {21011, 21013, 21017, 21019}, {22271, 22273, 22277, 22279},
   {25301, 25303, 25307, 25309}, {31721, 31723, 31727, 31729}, {34841, 34843, 34847, 34849},
   {43781, 43783, 43787, 43789}, {51341, 51343, 51347, 51349}, {55331, 55333, 55337, 55339},
   {62981, 62983, 62987, 62989}, {67211, 67213, 67217, 67219}, {69491, 69493, 69497, 69499},
   {72221, 72223, 72227, 72229}, {77261, 77263, 77267, 77269}, {79691, 79693, 79697, 79699},
   {81041, 81043, 81047, 81049}, {82721, 82723, 82727, 82729}, {88811, 88813, 88817, 88819},
   {97841, 97843, 97847, 97849}, {99131, 99133, 99137, 99139},...

最初の数は、2番目の数は、3番目の数は、4番目の数はを、中央の数はを参照。

 五つ子素数、六つ子素数 
四つ子素数  について、 または  がさらに素数であれば、それらを加えた5つ組を五つ子素数（いつつごそすう、prime quintuplet）という。特に  と  の両方が素数であれば、その6つ組を六つ子素数（むつごそすう、prime sextuplet）という。

五つ子素数、六つ子素数が無数に存在するかどうかはわかっていない。

 五つ子素数の例 
 型OEIS A022006
 {5, 7, 11, 13, 17},  {11, 13, 17, 19, 23}, 　{101, 103, 107, 109, 113}, 
 {1481, 1483, 1487, 1489, 1493},      {16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, 
 {19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {21011, 21013, 21017, 21019, 21023}, 
 {22271, 22273, 22277, 22279, 22283}, {43781, 43783, 43787, 43789, 43793},...
 型OEIS A022007
 {7, 11, 13, 17, 19}, {97, 101, 103, 107, 109}, {1867, 1871, 1873, 1877, 1879},
 {3457, 3461, 3463, 3467, 3469},      {5647, 5651, 5653, 5657, 5659}, 
 {15727, 15731, 15733, 15737, 15739}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069}, 
 {19417, 19421, 19423, 19427, 19429}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789},...

 六つ子素数の例 
 {7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073},
 {19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433},             {43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793},
 {1091257, 1091261, 1091263, 1091267, 1091269, 1091273}, {1615837, 1615841, 1615843, 1615847, 1615849, 1615853},
 {1954357, 1954361, 1954363, 1954367, 1954369, 1954373}, {2822707, 2822711, 2822713, 2822717, 2822719, 2822723},...

 その他の形と「七つ子」以上 
 および  は必ず 3 の倍数であるため、これらを含んだ「五つ子」は  の形の  しか存在しない。

また、,  はいずれも 5 の倍数になるため、双子素数3つからなる  の形の「六つ子」は、 しか存在しない。

さらに ,  はいずれも 3 の倍数になるため、六つ子素数の両端±4の範囲には素数はない。,  の「七つ子」、 の「八つ子」を除いて、差が4以内で連なる七つ子以上の素数の組は存在しない。

 脚注 

 関連事項 
双子素数
三つ子素数
いとこ素数
セクシー素数
Prime k-tuple

 外部リンク 


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