ゾーン多面体

ゾーン多面体（ゾーンためんたい、）とは、三次元の凸多面体において、向かいあった辺同士が全て平行になっている偶数多角形のみで構成されている立体である。平行な辺を共有する隣り合う面を辿っていくと立体を一周する帯（ゾーン）が見て取れることが、この名前の由来である。コクセターはゾーン多面体の理論はロシアの偉大な結晶学者による、と述べている。

主なものでは、

正多面体（プラトンの立体）からは、

 立方体

半正多面体（アルキメデスの立体）からは、

 切頂八面体

斜方切頂立方八面体
斜方切頂二十・十二面体
正2n角柱（底面が偶数多角形のもの）
があげられる。そのほか、
切稜立方体
や各種菱形多面体もゾーン多面体である。渡辺泰成と別宮利昭は、正多面体や半正多面体、あるいはそれらの複合多面体をもとに、重心から頂点への基本ベクトルを用いて16次元立方体の三次元投影図形までの各種ゾーン多面体を構成した。Y. Watanabe, T. Betsumiya Derivation of Some Equilateral Zonohedra and Star Zonohedra, Research of pattern formation(1994)

 平行多面体 
平行多面体 (Parallelohedra) とは、ゾーン多面体のうち単独で平行移動のみによる空間充填が可能な立体のことであり、以下の5種類しかないことをロシアの結晶学者E.S.フェドロフが1885年に証明した。thumb|平行多面体５種による空間充填|700px|right

1933年にロシアの数学者ドロネーはより簡単なアプローチでこれを証明した。コクセターはH.S.ホワイトの投影図法に基づいて、１つの交点に交わる直線は３本以下で、１本の直線上の交点の数は３以下という条件を導き、フェドロフの５種類に証明を与えた。
平行六面体
平行六角柱
菱形十二面体
長菱形十二面体
切頂八面体

 黄金ゾーン多面体 
表面に対角線比が黄金比の菱形のみをもつ等面菱形多面体は次の5種類であり、コクセターはこれを黄金等稜ゾーン多面体と呼んだ。

 尖った菱形六面体
 平たい菱形六面体

 菱形十二面体第2種
 菱形二十面体
 菱形三十面体

以上の5種類の菱形多面体のみで空間を非周期的に充填することができる。その二次元投影図はペンローズ・タイルと呼ばれ、3種類がある。

 第二黄金ゾーン多面体 
対角線比が第二黄金比1:2.618の菱形と白銀比1:1.414の菱形の2種類をもつ菱形多面体には、

面の数が6,12,20,30,42,56,72,90のものがあり、それぞれは三次元から十次元までの立方体の三次元投影図形の外殻となってる。

 ポーラーゾーン多面体 
コクセターは、任意の偶数正角柱あるいは奇数正反角柱の重心と天面の各頂点、重心と底面の各頂点を結ぶベクトルの組を両極として、菱形面のみから構成されるゾーン多面体をポーラーゾーン多面体と呼んだ。角柱の天地面を正ｎ角形とすると、一つの極の周りをｎ枚の等しい菱形のセットが取り巻き、つぎに別のｎ枚の菱形のセットが取り巻くというようにして、合計n-1セットの菱形の側面が反対の極に至るまで埋めることになる。この族のホワイト・コクセターダイヤグラムは、n角形の各辺を両方に延長した直線による星形を示す。

このポーラーゾーン多面体の場合の極を2ｎ角形面に置き換えると、角柱の側面を２枚の2ｍ(ｍ≦ｎ)角形と複数の菱形で取り囲んだプリズムゾーン多面体とでも呼ぶべき一連のゾーン多面体の族となる。菱形面の枚数は、側面の２ｍ角形が天地面の２ｎ角形と頂点を共有する場合は２ｍｎ枚、側面の２ｍ角形が天地面の２ｎ角形と辺を共有する場合は２(ｍ－１)(ｎ－１)枚である。　ホワイト・コクセターダイヤグラムは、前者はm本の扇とn本の扇による交差を、後者はm本の扇とn本の扇が１本の直線を共有する交差を示す。

 ゾーン多面体と高次元立方体 
三次元空間のゾーン多面体は、高次元の立方体を三次元空間に投影して得られる図形のうちの特定のものの外殻と一致する。このことを最初に論じたのは、コクセターの『正多胞体』である。その中で彼は、1934年に敷物商・ドンチャン(Paul S. Donchan) が発表した四次元多胞体の三次元投影模型から着想を得たことを模型の写真とともに紹介している。　またコクセターは、ゾーン多面体のゾーンの数を数えるための実用的な方法は、任意の頂点から反対側の頂点（対蹠点）へ移動するために必要な最小の辺数を数えることであることを示した(1962年)。

ホワイトとコクセターのダイヤグラムでは、ゾーンを直線であらわし、p本の直線が交わる交点は２p角形面を示す。q本の線分及び半直線で仕切られる領域はq価の頂点を表す。そのさい同一直線上にある２つの半直線は１つの線分と同価とみなす。以下の表には、６次までのすべてのゾーン多面体の類型を示し、７次以降は代表的なもののみを示した。

+ゾーン多面体投影図辺数平行な辺のグループ数対応する高次元立方体の次数ホワイト・コクセターダイヤグラム 面数頂点数平行六面体180x180ピクセル124本組×33180x180ピクセル四角形６枚3価８六角柱180x180ピクセル184本組×3
6本組×14180x180ピクセル六角形２枚
四角形６枚3価12菱形十二面体180x180ピクセル246本組×44180x180ピクセル四角形１２枚3価８
４価６八角柱180x180ピクセル244本組×4
8本組×15180x180ピクセル八角形２枚
四角形８枚3価１６長菱形十二面体180x180ピクセル284本組×1
6本組×45180x180ピクセル六角形４枚
四角形８枚3価１６
4価２菱形二十面体180x180ピクセル408本組×55180x180ピクセル四角形２０枚3価１０
4価１０

5価２菱形十二面四・六角柱180x180ピクセル346本組×3
8本組×25180x180ピクセル六角形２枚
四角形１４枚3価１２
4価８十角柱180x180ピクセル304本組×5
10本組×16180x180ピクセル十角形２枚
四角形１０枚3価２０菱形十二面八・六角柱180x180ピクセル384本組×1
6本組×3

8本組×26180x180ピクセル八角形２枚
六角形２枚

四角形１２枚3価２０
4価４菱形十六面八・四角柱180x180ピクセル446本組×4
10本組×26180x180ピクセル八角形２枚
四角形１８枚3価１６
4価１０菱形十八面六・六角柱180x180ピクセル488本組×66180x180ピクセル六角形４枚
四角形１８枚3価１６
4価１２菱形二十四面六角柱180x180ピクセル548本組×3
10本組×36180x180ピクセル六角形２枚
四角形２４枚3価１８
4価６

5価６切頂八面体180x180ピクセル366本組×66180x180ピクセル六角形８枚
四角形６枚3価２４極菱形三十面体180x180ピクセル6010本組×66180x180ピクセル四角形３０枚3価１２
4価１８

６価２ホワイト菱形三十面体Ｂ180x180ピクセル6010本組×66180x180ピクセル四角形３０枚3価１２
4価１６

5価４ホワイト菱形三十面体C180x180ピクセル6010本組×66180x180ピクセル四角形３０枚3価１４
4価１２

5価６菱形三十面体180x180ピクセル6010本組×66180x180ピクセル四角形３０枚3価２０
5価１２長菱形三十面体180x180ピクセル728本組×1
10本組×4

12本組×27180x180ピクセル六角形４枚
四角形３０枚3価２４

4価８

5価８切稜立方体180x180ピクセル486本組×4
8本組×37180x180ピクセル六角形１２枚
四角形６枚3価３２長切稜立方体180x180ピクセル606本組×2
8本組×68180x180ピクセル八角形２枚
六角形１２枚

四角形８枚３価４０長々菱形三十面体180x180ピクセル848本組×2
10本組×2

12本組×48180x180ピクセル八角形２枚
六角形４枚

四角形３２枚3価２８

4価１６

5価４大菱形立方八面体180x180ピクセル728本組×99180x180ピクセル八角形６枚
六角形８枚

四角形１２枚３価４８大菱形四十二面体180x180ピクセル968本組×3
12本組×69180x180ピクセル八角形６枚
四角形３６枚3価３２

4価２４小菱形切頂八面体180x180ピクセル12012本組×1010180x180ピクセル六角形２０枚
四角形３０枚3価４８

4価２４菱形九十面体180x180ピクセル18018本組×1010180x180ピクセル四角形９０枚3価６０

５価１２

６価２０菱形五十面十二・十二角柱180x180ピクセル1244本組×1
12本組×1011180x180ピクセル十二角形４枚
四角形５０枚3価４０

4価３２菱形百二面体180x180ピクセル21618本組×1212180x180ピクセル八角形６枚
四角形９６枚3価７２

4価２４

６価２０菱形百三十二面体180x180ピクセル

180x180ピクセル26422本組×1212180x180ピクセル

180x180ピクセル四角形１３２枚３価５６

４価４８

５価２４

８価６

3価４８

4価５４

５価２４

６価８大菱形切頂八面体180x180ピクセル144８本組×3
12本組ｘ1013180x180ピクセル八角形１８枚
六角形８枚

四角形２４枚３価９６極菱形百八十二面体180x180ピクセル36426本組×1314180x180ピクセル四角形１８２枚3価２８

4価１５４

１４価２大菱形二十・十二面体180x180ピクセル18012本組×1515180x180ピクセル十角形１２枚
六角形２０枚

四角形３０枚３価１２０大菱形九十面体180x180ピクセル24010本組×6
18本組×1016180x180ピクセル八角形３０枚
四角形６０枚3価１４０

５価１２

 脚注 

 関連項目 
図形
多面体

 外部リンク 


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