等差数列

数学におけるまたはとは、隣接する各項の差が等しい数列である。隣接する項の差をという。

例えば、 は初項 , 公差  の等差数列である。同様に、 は公差  の等差数列である。

等差数列の初項を  とし、その公差を  とすれば、第 項  は

であり、一般に

と書ける。

等差数列の和は算術級数 () という。等差数列の無限和（無限算術級数）は発散級数である。

 総和 
2 +5 +8 +11 +14 =4014+11+8+5 +2 =4016 +16 +16 +16 +16 =80
和  の計算。もとの数列を逆順にした数列を用意して、もとの数列と項ごとに加えると、得られる数列は同じ1つの値を繰り返す（その値はもとの数列の初項と末項の和）。ゆえに、 が求める和の2倍に等しい。

有限の等差数列の和を算術級数と言う。公差  の等差数列の第  項まで  の総和は、

と表される。この種の式は、フィボナッチの『算盤の書』（"Liber Abaci"; 1202年, ch. II.12）に登場する。
算術級数の公式は、算術級数  の各項を初項  で書き換えたものと、末尾の項  で書き換えたもの和から  を求めることで得られる：

右辺では公差  を含む項が消去されて初項と末項の和だけが残る。結局  となる。両辺を  で割れば

を得る。そして算術級数の平均値  は、明らかに  である。499年に、インド数学・古典期の数学者であり天文学者であるアーリヤバタは、 (section 2.18) でこのような方法を与えている。

 総乗 
初項  で、公差  の等差数列に対して、初項から 第  項までの総乗
 （ は上昇階乗冪）はガンマ関数  を用いて

というによって計算できる（ただし、 が負の整数や  となる場合は、式は意味を持たない）。 に注意すれば、上記の式は、 から  までの積  および正の整数  から  までの積  を一般化するものであることが分かる。

 共通項 
任意の両側無限等差数列が2つ与えられたとき、それらに共通に現れる項を（項の前後関係は変えずに）並べて与えられる数列（数列の「交わり」）は、空数列であるか別の新たな等差数列であるかのどちらかである（中国の剰余定理から示せる）。両側無限等差数列からなる族に対し、どの2つの数列の交わりも空でないならば、その族の全ての数列に共通する項が存在する。すなわち、そのような無限等差数列の族はである. See in particular Section 2.5, "Helly Property", pp. 393–394.。しかし、無限個の無限等差数列の交わりをとれば、無限数列ではなくただ一つの数となり得る。

 注釈・出典 

注釈

出典

 参考文献 


 関連項目 
 線型差分方程式
 等差×等比数列
 一般化算術数列：算術数列の構成を複数の差を用いて行ったもの
 調和数列


 Utonality
 等比数列
 算術級数定理

 外部リンク 









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