一様多面体

一様多面体（いちようためんたい）とは、全ての構成面が正多角形で、かつ頂点の形状が全て合同な立体のことである。5種類の正多面体、4種類の星型正多面体、13種類の半正多面体、その他の53種類の一様多面体で総計75種類であることが、H.S.M.コクセターらによって確認され、後にJ.スキリングによって証明された。正角柱、反角柱、ミラーの立体などもこの条件を満たすが、一様多面体には含めないことが多い。

 一様多面体の一覧 

 正多面体 
 画像 名前 ワイソフ記号 頂点形状 60px 正四面体 3 | 2 3 50px3, 3, 3 60px 正六面体 3 | 2 4  50px4, 4, 4 60px 正八面体 4 | 2 3 50px3, 3, 3, 3 60px 正十二面体 3 | 2 5 50px5, 5, 5 60px 正二十面体 5 | 2 3 50px3, 3, 3, 3, 3

 半正多面体 
 画像 名前 ワイソフ記号 頂点形状 60px 切頂四面体 2 3 | 3 50px3, 6, 6 60px 切頂六面体 2 3 | 4 50px3, 8, 8 60px 切頂八面体 2 4 | 3 50px4, 6, 6 60px 切頂十二面体 2 3 | 5 50px3, 10, 10 60px 切頂二十面体 2 5 | 3 50px5, 6, 6 60px 立方八面体 2 | 3 4 50px3, 4, 3, 4 60px 二十・十二面体 2 | 3 5 50px3, 5, 3, 5 60px 斜方立方八面体 3 4 | 2 50px3, 4, 4, 4 60px 斜方二十・十二面体 3 5 | 2 50x50ピクセル3, 4, 5, 4 60px 斜方切頂立方八面体 2 3 4 | 50px4, 6, 8 60px 斜方切頂二十・十二面体 2 3 5 | 56x56ピクセル4, 6, 10 60px 変形立方体 | 2 3 4 50px3, 3, 3, 3, 4 60px 変形十二面体 | 2 3 5 50px3, 3, 3, 3, 5

 星型正多面体 
 画像 名前 ワイソフ記号 頂点形状 60px 小星型十二面体 5 | 2 5/2 50px(5/2)5 60px 大十二面体 5/2 | 2 5 50px(5,5,5,5,5)/2 60px 大星型十二面体 3 | 2 5/2 50px(5/2)3 60px 大二十面体 5/2 | 2 3 50px(3,3,3,3,3)/2

 その他の一様多面体 
 画像 名前 ワイソフ記号 頂点形状 60px 八面半八面体 3/2 3 | 3 50px6, 3/2, 6, 3 60px 四面半六面体 3/2 3 | 2 50px4, 3/2, 4, 3 60px 小立方立方八面体 3/2 4 | 4 50px8, 3/2, 8, 4 60px 大立方立方八面体 3 4 | 4/3 50px8/3, 3, 8/3, 4 60px 立方半八面体 4/3 4 | 3 50px6, 4/3, 6, 4 60px 立方切頂立方八面体 (立方八面切頂立方八面体) 4/3 3 4 | 50px8/3, 6, 8 60px 一様大斜方立方八面体 (擬斜方立方八面体) 3/2 4 | 2 50px4, 3/2, 4, 4 60px 小斜方六面体 2 4 (3/2 4/2) | 50px4, 8, 4/3, 8 60px 星型切頂六面体 (擬切頂六面体) 2 3 | 4/3 50px8/3, 8/3, 3 60px 大切頂立方八面体 (擬切頂立方八面体) 4/3 2 3 | 50px8/3, 4, 6 60px 大斜方六面体 2 4/3 (3/2 4/2) | 50px4, 8/3, 4/3, 8/5 60px 小二重三角二十・十二面体 3 | 5/2 3 50px(5/2, 3)3 60px 小二十・二十・十二面体 5/2 3 | 3 50px6, 5/2, 6, 3 60px 小変形二十・二十・十二面体 | 5/2 3 3 50px35, 5/2 60px 小十二・二十・十二面体 3/2 5 | 5 50px10, 3/2, 10, 5 60px 十二・十二面体 2 | 5/2 5 50px(5/2, 5)2 60px 切頂大十二面体 2 5/2 | 5 50px10, 10, 5/2 60px 斜方十二・十二面体 5/2 5 | 2 50px4, 5/2, 4, 5 60px 小斜方十二面体 2 5 (3/2 5/2) | 50px10, 4, 10/9, 4/3 60px 変形十二・十二面体 | 2 5/2 5 50px3, 3, 5/2, 3, 5 60px 二重三角十二・十二面体 (二重三角十二面体) 3 | 5/3 5 50px(5/3, 5)3 60px 大二重三角十二・二十・十二面体 3 5 | 5/3 50px10/3, 3, 10/3, 5 60px 小二重三角十二・二十・十二面体 5/3 3 | 5 50px10, 5/3, 10, 3 60px 二十・十二・十二面体 5/3 5 | 3 50px6, 5/3, 6, 5 60px 二十面切頂十二・十二面体 (二十・十二面切頂二十・十二面体) 5/3 3 5 | 50px10/3, 6, 10 60px 変形二十・十二・十二面体 | 5/3 3 5 50px3, 3, 3, 5/3, 3 , 5 60px 大二重三角二十・十二面体 3/2 | 3 5 50px(5, 3, 5, 3, 5, 3)/2 60px 大二十・二十・十二面体 3/2 5 | 3 50px6, 3/2, 6, 5 60px 小二十面半十二面体 3/2 3 | 5 50px10, 3/2, 10, 3 60px 小十二・二十面体 3 5 (3/2 5/4) | 50px10, 6, 10/9, 6/5 60px 小十二面半十二面体 5/4 5 | 5 50px10, 5/4, 10, 5 60px 大二十・十二面体 2 | 5/2 3 50px(5/2, 3)2 60px 切頂大二十面体 2 5/2 | 3 50px6, 6, 5/2 60px 斜方二十面体  2 3 (5/4 5/2) | 50px6, 4, 6/5, 4/3 60px 大変形二十・十二面体 | 2 5/2 3 50px34, 5/2 60px 小星型切頂十二面体 (擬切頂小星型十二面体) 2 5 | 5/3 50px10/3, 10/3, 5 60px 切頂十二・十二面体 (擬切頂十二・十二面体) 5/3 2 5 | 50px10/3, 4, 10 60px 逆変形十二・十二面体 | 5/3 2 5 50px3, 5/3, 3, 3, 5 60px 大十二・二十・十二面体 5/2 3 | 5/3 50px10/3, 5/2, 10/3, 3 60px 小十二面半二十面体 5/3 5/2 | 3 50px6, 5/3, 6, 5/2 60px 大十二・二十面体 3 5/3 (3/2 5/2) | 50px6, 10/3, 6/5, 10/7 60px 大変形十二・二十・十二面体 | 5/3 5/2 3 50px33, 5/3, 3, 5/2 60px 大十二面半二十面体 5/4 5 | 3 50px6, 5/4, 6, 5 60px 大星型切頂十二面体 (擬切頂大星型十二面体) 2 3 | 5/3 50px10/3, 10/3, 3 60px 一様大斜方二十・十二面体 (擬斜方二十・十二面体) 5/3 3 | 2 50px4, 5/3, 4, 3 60px 大切頂二十・十二面体 (大擬切頂二十・十二面体) 5/3 2 3 | 50px10/3, 4, 6 60px 大逆変形二十・十二面体 | 5/3 2 3 50px34, 5/3 60px 大十二面半十二面体 5/3 5/2 | 5/3 50px10/3, 5/3, 10/3, 5/2 60px 大二十面半十二面体 3/2 3 | 5/3 50px10/3, 3/2, 10/3, 3 60px 小反屈変形二十・二十・十二面体 (小逆反屈変形二十・二十・十二面体) | 3/2 3/2 5/2 50px(35, 5/3)/2 60px 大斜方十二面体 2 5/3 (3/2 5/4) | 50px4, 10/3, 4/3, 10/7 60px 大反屈変形二十・十二面体 (大逆反屈変形二十・十二面体) | 3/2 5/3 2 50px(34, 5/2)/2 60px 大二重斜方二十・十二面体 | 3/2 5/3 3 5/2 50px(4, 5/3, 4, 3, 4, 5/2, 4, 3/2)/2

 条件は満たすが一様多面体に含まない多面体 
以下は頂点形状が合同であるが、頂点に関する推移性を満たさないため、通常は一様多面体とみなさない。
ミラーの立体 (擬斜方立方八面体)
擬大斜方立方八面体
一様大斜方立方八面体の上半分を、斜方立方八面体からミラーの立体を作るときのように45度ひねった立体
以下の5つは無限系列として一様多面体に含めることがある（英語版Wikipediaではこの立場を取っている）。
正角柱
星型正多角柱
反角柱
星型反角柱
星型交差反角柱

 関連項目 
多面体
ワイソフ記号
双対多面体
複合体
星型多面体
対称性
大二重変形二重斜方十二面体

* いちようためんたい
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