ラマヌジャン・スコーレムの定理

ラマヌジャン・スコーレムの定理（ラマヌジャン・スコーレムのていり、）またはラマヌジャン・ナーゲルの定理（ラマヌジャン・ナーゲルのていり、）はディオファントス方程式の一つの解に関する定理で、次の不定方程式
 2n − 7 = x2
の自然数解が存在するのは n = 3, 4, 5, 7, 15 のときだけであるというもの。(n, x) = (3, 1), (4, 3), (5, 5), (7, 11), (15, 181) である。

シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予想し、ナーゲル (Trygve Nagell) が1948年に（元の証明はノルウェー語で発表されたが、1961年に英語版の論文が発表された）、トアルフ・スコーレムが1959年に証明した。

 一般化 
一般に 与えられた正の整数 D に対して

は有限個の解しかもたない。ロジェ・アペリー は 7 以外の正の整数 D に対して、この方程式は多くても2つの正の整数解しかもたないことを示したがApery (1960)、Beukersは2つの正の整数解をもつのは

の場合に限ることを示し、さらに n < 435 + 10 log |D| / log 2 （これは D が負の場合にも成り立つ）となることを示したBeukers (1981)。

 Lebesgue–Nagell 方程式 
一般に、任意の整数 A, D に対して、不定方程式

の整数解 x, y, n の個数は有限個で、原理的に計算可能であるShorey, van der Poorten, Tijdeman, Schinzel (1976), Shorey, Tijdeman (1986) など。M. Lebesgue （アンリ・ルベーグとは別人）は1850年に

の整数解は x = 0, y = 1 しかないことを示した。これにちなんで上記の形の方程式を Lebesgue–Nagell 方程式とよぶ。フェルマーの最終定理の証明にも用いられたモジュラー性の理論を用いて Bugeaud, Mignotte, Siksek はこの不定方程式を A = 1, 1 ≤ D ≤ 100 に対して解いたBugeaud, Mignotte, Siksek (2006)。特に元のラマヌジャン・ナーゲルの方程式の直接の拡張である方程式

の自然数解は x = 1, 3, 5, 11, 181 のみである。

脚注

 参考文献 









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