パップス＝ギュルダンの定理

パップス・ギュルダンの定理（）は、回転体の表面積と体積に関する相互に関連のある定理である日本では第二定理のみを指すことも多い。。パップスの重心定理 (Pappus' centroid theorem)、パップスの定理中線定理の別名として使われることが多い。 (Pappus' theorem)、ギュルダンの定理 (Guldinus theorem) とも呼ばれる。アレキサンドリアのパップスによって4世紀に発見され、後にパウル・ギュルダンによって独立に発見された。

第一定理
平面上にある有界な曲線  の長さを  とし、 と同じ平面上にあり  と共有点を持たない軸  の周りで  を一回転させた回転面の面積を  とする。回転させる曲線  の重心  から回転軸  までの距離を  としたとき、

が成り立つ。この式は、
(回転体の表面積 ) = (曲線  の重心  が回転により描く軌跡の長さ) × (曲線  の長さ ) 
と解釈することができる。

第二定理
平面上にある図形  の面積を  とし、 と同じ平面上にあり  を通らない軸  の周りで  を一回転させた回転体の体積を  とする。回転させる図形  の重心  から回転軸  までの距離を  としたとき、

が成り立つ。この式は、
(回転体の体積 ) = (図形  の重心  が回転により描く軌跡の長さ) × (図形  の面積 )
と解釈することができる。

脚注

外部リンク

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