等比数列

等比数列（とうひすうれつ）または幾何数列（きかすうれつ、）は、隣り合う2つの項の比が項番号によらず等しい数列をいう。各項に共通するその一定の比のことを公比（こうひ、）という。

例えば初項が , 公比が  の等比数列の最初の数項を列挙すると  となる。ある数列について、隣り合う項の比（この場合、）が常に等しいならその数列は等比数列である。

等比数列  について、（定義より公比は  でないため）公比  は任意の  番目の項とその次の項の比  から得られる（特に  の場合は公差が  の等差数列でもある）。等比数列の各項は初項  と公比  を用いて具体的に以下のように表せる。

 を初項とすれば、 番目の項  は以下のように表せる。

これが等比数列の一般項である。


等比数列を漸化式で表すと、

となる。

公比  が負の場合は符号が一項ずつ入れ替わる。 と置き換えると、

となり、各項は  が奇数なら初項と異符号になり、偶数なら初項と同符号となる。
公比が負の数列として、例えば　　なる公比  の等比数列を考えると、その一般項は

となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。

形式的に等比数列の一般項の対数をとると

となり、数列  は初項  、公差  の等差数列になる。

等比数列の連続する3項を小さい順から , ,  とすると、常に  が成り立つ。

 等比数列の和 
等比数列の初項から第  項までの和は以下の式で定義される。

 の場合、 を掛けると、

となるので、等比数列の和は以下のように変形できる。

ただし、 の場合は

である。第  項から第  項までの和は


等比数列の級数（総和）を等比級数または幾何級数と呼ぶ。例えば初項 , 公比  の等比級数は以下のように書ける：

等比級数は初項が 0 （）の場合や公比の絶対値が 1 より小さい（）場合に収束する。逆に、初項が 0 でなく（）公比の絶対値が 1 以上（）の場合には等比級数は発散する。

無限級数は数列の第  項までの部分和の極限として定義される。等比級数が収束することは、以下の部分和の極限が収束することから確かめられる。


例えば公比  で初項が  の等比級数は  に収束する：

 出典 

 注釈 

 参考文献 

 関連項目 

 級数
 数列
 超幾何級数
 等差数列
 ねずみ算

 外部リンク 

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