近傍系

数学の位相空間論周辺分野において、点の近傍系（きんぼうけい、）あるいは近傍フィルター（きんぼうフィルター、）とは、その点の近傍全体の成す集合族をいう。

 定義 
 近傍系と開近傍系 
(X, O) が位相空間で、x ∈ X であるとき、x の近傍全体の集合を x の近傍系といい、x の開近傍全体の集合を x の開近傍系という。x の近傍系を記号 V(x) で、x の開近傍系を記号 Vo(x) でそれぞれ表すと、以下のように書くことができる（ただし、int(V) は V の内部である）。

 基本近傍系 
(X, O) が位相空間で、x ∈ X で、V(x) が x の近傍系で、B(x) ⊂ V(x) であるとき、B(x) が x の基本近傍系であるとは、

が成り立つことである。例えば、x の近傍系 V(x) や x の開近傍系 Vo(x) はいずれも x の基本近傍系である。

逆に、最初に基本近傍系 B(x) を公理的に定義し、それから（開集合族や）近傍系 V(x) を定義することもできる。それには

とすればよいStephen Willard, General Topology (1970) Addison-Wesley Publishing (See Chapter 2, Section 4)。

 近傍系の公理 
近傍系は以下のように公理的に特徴づけられる。X ≠ ∅ で、X の各点 x に対して 2X の空でない部分集合 V(x) がそれぞれ与えられていて、次の 4 つの条件が成り立つならば、集合 X 上に V(x) を近傍系とする位相（開集合族）が唯一つ定まる。




言葉で書くと次のようになる。
 V が x の近傍ならば、V&subseteq;U&subseteq;X なる集合 U も x の近傍である。
 x の近傍を有限個とると、その共通部分も x の近傍である。
 x の近傍は x 自身を元にもつ。
 U を x の近傍とする。 U 上の点 y で、 U が y の近傍でもあるようなものの全体を U の内部といい int(U) で表す。 このとき、 x の別の近傍 V で V&subseteq;int(U) であるようなものが存在する。実はこのような V で最大のものが存在して int(U) に等しい。

 例 
 密着空間 X において、任意の点 x の近傍系は空間全体のみからなる： 。
 (X, O) が位相空間で、B が O の開基で、x ∈ X であるならば、集合は x の基本近傍系である。このことから、定理「位相空間 (X, O) が第2可算公理を満たすならば、(X, O) は第1可算公理も満たす。」が導かれる。
 距離空間の任意の点 x に対して、x を中心とする半径 1/n の開球体の列は可算な基本近傍系をなす。ゆえに、任意の距離空間は第一可算である。
 空間 E 上の測度全体の成す空間に弱位相を入れたとき、測度 ν における基本近傍系はで与えられる。ただし、fi は E 上の実数値連続有界函数である。

 性質 
半ノルム空間、つまり半ノルムの誘導する位相を備えたベクトル空間において、任意の近傍系  は原点 0 における近傍系  を

と平行移動することによって得られる。これはベクトルの加法が半ノルムの誘導する位相に関して分離連続であるという仮定から従う。従って、この空間の位相は原点における近傍系のみから決定される。より一般に、位相が平行移動不変距離や擬距離から定まる場合にも同様のことが成り立つ。

空でない集合 A の任意の近傍系は A の近傍フィルターと呼ばれるフィルターを成す。

 脚注 

 参考文献 


 関連項目 
 近傍 (位相空間論)
 開基 (位相空間論)
 局所凸位相線型空間
 フィルター (数学)

 外部リンク 



Category:位相空間論
Category:数学に関する記事