積分方程式

積分方程式（せきぶんほうていしき、Integral equation）は、数学において、未知の関数が積分の中に現れるような方程式であるWeisstein, Eric W. "Integral Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/IntegralEquation.htmlIntegral equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Integral_equation&oldid=30324Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: :en:Academic Press, 1985.Mikhlin, S. G. Integral Equations and Their Applications to Certain Problems in Mechanics, Mathematical Physics and Technology, 2nd rev. ed. New York: Macmillan, 1964.Porter, D. and Stirling, D. S. G. Integral Equations: A Practical Treatment, from Spectral Theory to Applications. Cambridge, England: :en:Cambridge University Press, 1990.Corduneanu, C. Integral Equations and Applications. Cambridge, England: :en:Cambridge University Press, 1991.。積分方程式と微分方程式には密接な関係があり、そのどちらでも問題を定式化することができる場合もある。

積分方程式は次の3種類の分類方法がある。この分類によれば、8種類の積分方程式が存在する。

 積分の上限および下限が固定の場合、フレドホルム積分方程式と呼ばれる。また、積分の上限・下限の片方が変数の場合、ヴォルテラ積分方程式と呼ばれるBurton, T. A. (2005). Volterra integral and differential equations. Elsevier.Gripenberg, G., Londen, S. O., & Staffans, O. (1990). Volterra integral and functional equations. :en:Cambridge University Press.。
 未知の関数が積分の中にのみ現れる場合、第一種積分方程式と呼ばれ、未知の関数が積分の中にも外にも現れる場合、第二種積分方程式と呼ばれる。
 既知の関数 f （下記参照）が恒等的に 0 の場合、同次積分方程式と呼ばれ、f が 0 でない場合、非同次積分方程式と呼ばれる。

4種類の積分方程式（同次・非同次方程式をまとめた）の例として以下のように書ける。
ただし  は未知の関数、f は既知の関数、K は既知の2変数関数で積分核と呼ばれる。λ は未知の係数で、線型代数学における固有値と同じ役割をする。

第一種フレドホルム積分方程式：

第二種フレドホルム積分方程式：

第一種ヴォルテラ積分方程式：

第二種ヴォルテラ積分方程式：

積分方程式は多くの応用において重要である。積分方程式に出会う問題としては、弦や膜、棒における放射エネルギー変換や振動などが挙げられる。振動問題は微分方程式によって解かれることもある。

 固有値問題の一般化としての積分方程式 
ある種の斉次線型積分方程式は、固有値問題の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、 を行列、 を固有ベクトル、 を対応する固有値として、

と書くことができる。

添字 、 を連続変数 、 で置き換えて連続極限を取ると、 に関する総和は  に関する積分、行列  とベクトル  はそれぞれ積分核  と固有関数  に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式

が得られる。

一般に、 は超関数であってもよい。超関数  が  でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。

 出典 

 参考文献 
 和書 

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 洋書 
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 非線型積分方程式 
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 線型積分方程式 
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 積分方程式に対する数値解析 
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 Baker, C. T. H.: The Numerical Treatment of Integral Equations, Oxford, England: Clarendon Press (1977).
 R.S. Anderssen: The Application and Numerical Solution of Integral Equations, Sijthoff & Noordhoff (1980)

 関連項目 

ヒルベルト空間
フレドホルム積分方程式
ヴォルテラ積分方程式

 外部リンク 

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