多角数

多角数（たかくすう、）とは、正多角形の形に点を並べたときにそこに含まれる点の総数にあたる自然数である。多角形数ともいう。

 例 
例えば、10 個の点は
{|
| align="center" | 16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
|}
このように正三角形の形に並べることができるので 10 は三角数である。また、16 個の点は
{|
| align="center" | 16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
|}
このように正方形の形に並べることができ、16 は四角数（平方数）である。

三角数、四角数、六角数の例を以下に示す。

三角数
{|
! 1 !! !! 3 !! !! 6 !! !! 10
|- align="center" valign="top"
|16px|*
|
|16px|*16px|*16px|*
|
|16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
|
|16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
|}

四角数
{|
! 1 !! !! 4 !! !! 9 !! !! 16
|- align="center" valign="top"
|16px|*
|
|16px|*16px|*16px|*16px|*
|
|16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
|
|16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
|}

六角数
{|
! 1 !! !! 6 !! !! 15 !! !! 28
|- align="center" valign="middle"
|16px|*
|
|16px|*16px|*16px|*15px| 16px|*16px|*16px|*
|
|16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*15px| 16px|*16px|*15px| 16px|*15px| 16px|*16px|*16px|*15px| 16px|*16px|*16px|*16px|*
|
|16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*15px| 16px|*16px|*16px|*15px| 16px|*15px| 16px|*16px|*15px| 16px|*15px| 16px|*15px| 16px|*16px|*16px|*15px| 16px|*15px| 16px|*16px|*16px|*16px|*15px| 16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
|}

五角数以上では、点を回転対称には並べないことに注意。

 一般化 
0 番目の多角数は全て、形式的に 0 とみなすことができる。

n 番目の p 角数を Pp,n とすると上の図から

となり、したがって Pp,n は等差数列の和

となる。

この式から、2 番目の p 角数は p であり、3 番目の p 角数は 3(p − 1) であることなどが分かる。

なおここで、形式的に「二角数」(p = 2) を考えると、

となり、自然数列そのものになる。これは、点を直線状に並べることに相当する。ただし古代ギリシャの数学者が直線数と呼んでいたのは、矩形に並べられることができないことからである。

 性質 
 任意の自然数は、高々 p 個の p 角数の和で表せる。これを多角数定理という。
 1 番目の多角数は 1、2 番目の p 角数は p である。したがって、2 以外の自然数はなんらかの多角数である。
 3 番目以降の多角数は、合成数である。
 n 番目の p 角数は、n が偶数で p が奇数のときに限り、n の倍数でない。
 n 番目の p 角数と n + 1 番目の p 角数の差は、(p − 2) n + 1 である。
 n 番目の p 角数と n 番目の p + 1 角数の差は、p によらず n だけで決まり、n − 1 番目の三角数に等しい。（次の表を縦に読むと等差数列になっている。）

 数表 
+ オンライン整数列大辞典に掲載されている多角数（三十角数まで） 名前  一般式  n = 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  オンライン整数列大辞典  リスト 三角数 (n2 + n)/2  1  3  6  10  15  21  28  36  45  55  66  78  91    Table of n. a(n) for n = 0.. 四角数  n2  1  4  9  16  25  36  49  64  81  100  121  144  169     Table of n, a(n) for n = 0.. 五角数  (3n2 − n)/2  1  5  12  22  35  51  70  92  117  145  176  210  247     Table of n, a(n) for n = 0.. 六角数  2n2 − n  1  6  15  28  45  66  91  120  153  190  231  276  325     Table of n, a(n) for n = 0.. 七角数 (5n2 − 3n)/2  1  7  18  34  55  81  112  148  189  235  286  342  403     Table of n, a(n) for n = 0.. 八角数  3n2 − 2n  1  8  21  40  65  96  133  176  225  280  341  408  481     Table of n, a(n) for n = 0.. 九角数 (7n2 − 5n)/2  1  9  24  46  75  111  154  204  261  325  396  474  559     Table of n, a(n) for n = 0.. 十角数 4n2 − 3n  1  10  27  52  85  126  175  232  297  370  451  540  637     Table of n, a(n) for n = 0.. 十一角数  (9n2 − 7n)/2  1  11  30  58  95  141  196  260  333  415  506  606  715     Table of n, a(n) for n = 0.. 十二角数  5n2 − 4n  1  12  33  64  105  156  217  288  369  460  561  672  793     Table of n, a(n) for n = 0.. 十三角数  (11n2 − 9n)/2  1  13  36  70  115  171  238  316  405  505  616  738  871     Table of n, a(n) for n = 0.. 十四角数  6n2 − 5n  1  14  39  76  125  186  259  344  441  550  671  804  949     Table of n, a(n) for n = 0.. 十五角数  (13n2 − 11n)/2  1  15  42  82  135  201  280  372  477  595  726  870  1027     Table of n, a(n) for n = 0.. 十六角数  7n2 − 6n  1  16  45  88  145  216  301  400  513  640  781  936  1105     Table of n, a(n) for n = 0.. 十七角数  (15n2 − 13n)/2  1  17  48  94  155  231  322  428  549  685  836  1002  1183     Table of n, a(n) for n = 0.. 十八角数  8n2 − 7n  1  18  51  100  165  246  343  456  585  730  891  1068  1261     Table of n, a(n) for n = 0.. 十九角数  (17n2 − 15n)/2  1  19  54  106  175  261  364  484  621  775  946  1134  1339     Table of n, a(n) for n = 0.. 二十角数  9n2 − 8n  1  20  57  112  185  276  385  512  657  820  1001  1200  1417     Table of n, a(n) for n = 0.. 二十一角数  (19n2 − 17n)/2  1  21  60  118  195  291  406  540  693  865  1056  1266  1495     Table of n, a(n) for n = 0.. 二十二角数  10n2 − 9n  1  22  63  124  205  306  427  568  729  910  1111  1332  1573     Table of n, a(n) for n = 0.. 二十三角数  (21n2 − 19n)/2  1  23  66  130  215  321  448  596  765  955  1166  1398  1651     Table of n, a(n) for n = 0.. 二十四角数  11n2 − 10n  1  24  69  136  225  336  469  624  801  1000  1221  1464  1729     Table of n, a(n) for n = 0.. 二十五角数  (23n2 − 21n)/2  1  25  72  142  235  351  490  652  837  1045  1276  1530  1807     Table of n, a(n) for n = 0.. 二十六角数  12n2 − 11n  1  26  75  148  245  366  511  680  873  1090  1331  1596  1885     Table of n, a(n) for n = 0.. 二十七角数  (25n2 − 23n)/2  1  27  78  154  255  381  532  708  909  1135  1386  1662  1963     Table of n, a(n) for n = 0.. 二十八角数  13n2 − 12n  1  28  81  160  265  396  553  736  945  1180  1441  1728  2041     Table of n, a(n) for n = 0.. 二十九角数  (27n2 − 25n)/2  1  29  84  166  275  411  574  764  981  1225  1496  1794  2119     Table of n, a(n) for n = 0.. 三十角数  14n2 − 13n  1  30  87  172  285  426  595  792  1017  1270  1551  1860  2197     Table of n, a(n) for n = 0..

 関連項目 
 図形数
 正多角形
 中心つき多角数
 六芒星数

 外部リンク 

 PolygonalNumbers virtuescience 多角数表

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