多角数定理

とは「すべての自然数は高々  個の  角数の和である」という数論の定理である。

特に  の場合を（ガウスの）三角数定理、 の場合を（ラグランジュの）四平方定理という。

多角数定理は1638年にフェルマーによって定式化された。三角数定理は1796年にガウスによって、四平方定理は1772年にラグランジュによってそれぞれ証明された。一般の多角数定理の証明は1813年にコーシーによって与えられている。

 多角数 
k 番目の m 角数とは、次の公式

で与えられる数のことである。直観的には、たとえば石を、一辺に k 個ある正 m 角形の形に敷き詰めて並べることができるとき、石の総数が k 番目の m 角数になっている。

これは古代ギリシャ人たちが名づけた名前であって、素数はどのような図形にも並べることができないことから、直線数とも呼ばれていた。

例えば、三角数とは 1, 3, 6, 10, 15, … のことである。また四角数は平方数の列 1, 4, 9, 16, … に他ならない。1番目の m 角数は 1 であり、2番目の m 角数は m である。

 精密化 
N = 2m - 1 を表すには Pm(2) + (m - 1)Pm(1) とするより他にないから、m 個未満の m 角数の和では表されない自然数がある。N = 9n + 8 は二個の三角数の和で表されない（法 9 の計算で自明）から、三個未満の三角数の和で表されない自然数は無数にある。N = 8n + 7 は三個の四角数の和で表されない（法 8 の計算で自明）から、四個未満の四角数の和で表されない自然数は無数にある。しかし、五角数以上について、m 個未満の m 角数で表されない自然数は有限個である。m ≥ 6 のとき、十分に大きな自然数 N ≥ 108(m - 2) は m - 1 個の m 角数の和で表される。また、m ≥ 5 が奇数のとき、十分に大きな自然数  は四個の m 角数の和で表される。また、m ≥ 6 が偶数のとき、十分に大きな奇数の自然数  は四個の m 角数の和で表される。

 証明 
 三角数 
三平方和定理により

と表されるから

となる x, y, z が存在する。したがって、全ての自然数は高々三個の三角数の和に表される。

 四角数 
四角数の場合については、ラグランジュの四平方定理と等価である。

 五角数以上 
十分大きな N に対してのみ証明する。m ≥ 5, N ≥ 108(m - 2) とすれば

であるから

となる二個の奇数 2d ± 1 が存在する。
N ≡ b + r (mod m - 2) となるように

を選び、

とする。a, b は共に奇数であるから、4a - b2 ≡ 4 - 1 ≡ 3 (mod 8) であり、三平方和定理により、

となる三個の奇数 x ≥ y ≥ z′≥ 0 が存在する。b + x + y - z ≡ 0 (mod 4) となるように z = ± z′の符号を決め、

とすれば

となる。ただし

とする。0 ≤ r ≤ m - 4 であるから、wn ≥ 0 であれば N ≥ 108(m - 2) が高々 m 個の m 角数で表されることになる。以下において wn ≥ 0 であることを証明する。

であるから

である。同時に

であるから

である。4a - b2 = x2 + y2 + z2 を固定して x + y + z が最大となるのは x = y = z のときであるから

w4 は整数であるから

x ≥ y ≥ |z| により

である。

 平方数と三角数の和 
三平方和定理により、8N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから

となる x, y, z が存在する。法 8 で考え、y, z は共に偶数か共に奇数である。したがって、全ての自然数は高々一個の三角数と二個の平方数の和で表される。同じく三平方和定理により、4N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから

となる x, y, z が存在する。したがって、全ての自然数は高々二個の三角数と一個の平方数の和で表される。

2008年4月23日、Oh, Sunらは「すべての正整数は、平方数と奇数の平方数と三角数との和として表せる」ことを示したと発表した。

 注釈 

 出典 

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