正多角形

幾何学やそれに関係する数学の諸分野における正多角形（せいたかくけい、）とは、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形のことを指す。

正多角形は凸正多角形又は星型正多角形となる。

以下、本記事では「正多角形」を説明の都合上、「正  角形」と表するこがある、このとき、である。また、正多角形の一辺の長さを  とする。

正  角形の  の値を  に飛ばしたとき、正  角形は、周長・面積が一定の場合は円に、辺長が一定の場合は長さが  の直線に近似する。

 定義 
正多角形とは、多角形の内、等角多角形かつ等辺多角形であるものを指す。

 ユークリッド幾何学 
class=skin-invert-image|thumb|緑色の線分は、正  角形を合同な二等辺三角形に  等分したときの高さ

 一般的な特性 
以下に表す性質は、凸正多角形や星型正多角形等の全ての正多角形で成り立つ。

 図形の対称性 
正  角形の回転対称群は、ユークリッド平面上の原点中心の回転変換のうち、正  角形を自分自身に写す操作全体からなる集合である。この群は、回転角がで表される、位数  の有限巡回群に同型であり、構造が中心角ラジアンの回転写像を生成元とする単項生成群として定義される二次元直交群の離散的な有限部分群として実現される。また、群論的な観点からは、任意の巡回群は剰余群と同型であり、その抽象構造は完全に一致する。

つまり、正 n 角形は、 n の取る値がどのような値でも、常に線対称で対称軸は n 本である。また n 回対称性を持つ。よって、 n の取る値が偶数のときは点対称でもある。

 図形の相似性 
 の取る値が同一の正多角形同士は全て互いに相似である。

 内接円と外接円 
正多角形の全ての頂点はその正多角形の外接円の円周上にある。つまり、正多角形は円内接多角形である。また、全ての辺の中点はその正多角形の内接円の円周上にある。つまり、正多角形は円外接多角形である。

 内心・外心・重心 
正  角形の内心・外心・重心の位置は等しい。また、  の取る値が偶数のとき、最長の対角線同士の交点と一致する。

  が自然数の場合 

 性質 

 辺の平行 
正  角形は、  の取る値が奇数のとき、どの辺同士も平行ではないが、

 の取る値が偶数のとき、組の対辺は平行である。

 その他 
角の数が最小であるのは正三角形である。三角形では、辺の長さが全て等しいか、または角の大きさが全て等しい三角形は正三角形になる。しかし他の多角形では辺の長さが全て等しく、かつ角の大きさも全て等しくなければ正多角形とはならない。例えば四角形では辺の長さがすべて等しいものは菱形、角の大きさがすべて等しいものは長方形であり、正四角形（正方形）とは限らない。菱形かつ長方形である四角形が正方形となる。

 内角の大きさ 

 内角の大きさを表す公式 
正  角形の各内角の大きさは
（度数法）
（弧度法）
となる。

 公式の証明 
上記の式が成り立つことを証明する。

 証明1 
「多角形の外角の和がである」という外角の和の定理を利用する、正  角形は  個の等しい大きさの外角を持つため、正  角形の一つの外角の大きさは、よって、一つの正  角形の内角の大きさは



となる。

 証明2 
まず、三角形の内角の和がであることを示す。

△において頂点を通り、辺と平行な直線を引く、そして、錯角からとが分かる。これにより、が分かり、、なため、と分かる。

正  角形は個の三角形に分割でき、一つの三角形の内角の和はのため、正  角形の内角の和は、となる、正  角形は  個の等しい大きさの内角を持つため、正  角形の一つの内角の大きさは

となる。

 面積 

 面積を表す公式 
正  角形の面積は

である。

 公式の証明 
まず、正  角形の外心と各頂点を線分で結び、合同な  個の二等辺三角形に分割する。できた二等辺三角形は、中心角の大きさがラジアンで、底辺の長さが  である。また、高さ   とする。分割した後、正  角形の外心から、各辺に向かって垂直二等分線を引く、すると、辺と角が二等分され、合同な個の直角三角形が分割する。できた直角三角形は、中心角の大きさがラジアンで、底辺の長さがである。三角比のを用いると、の定義「」より、はラジアンで対辺の長さは、隣辺の長さは高さ  のため、

という関係式が成り立ちます。ここから、高さ  を求めると、

となり、より、

となる。そして、三角形の面積公式「底辺高さ」より、

となる。

 内接・外接 
多角形  に対して、頂点が  の辺上にあり、なおかつ  の内部にあるとき、多角形は多角形  に内接するという。また、 の頂点が辺上にあり、Fの外部にある多角形は多角形  に外接するという。
（例）：⬡において、辺AB,CD,EFの中点を頂点とする△PQRは⬡ABCDEFに内接する図形である。
以上のことを踏まえた上で、一辺の長さが  である正角形  において、 に内接する正角形で、面積が最小であるものの面積 、 に外接する正角形で、面積が最大であるものの面積  はそれぞれ、

と表される。

半径が一定の円に内接する正角形は、 とするとその円に近づくので、十分大きい  について「周長÷外接円の直径」を計算すると円周率の近似値が得られる。これは、初期の円周率の求め方で、円周率の歴史上の始まりに位置する。これはいわば「正∞角形は円である」ということである。

 対角線の長さ 
正角形の対角線の長さの種類は

だけある（ はガウス記号）。一辺の長さを  とすると、番目に短い対角線の長さは

である。 のとき辺の長さ、 のとき最短の対角線の長さを表す。

 コンパスと定規を用いて描けるもの 

 を素数とする。正角形のうち、作図可能なものは、頂点の個数  がフェルマー素数 (3, 5, 17, 257, 65537) である場合のみであり、それぞれ正三角形、正五角形、正十七角形、正二百五十七角形、正六万五千五百三十七角形である。頂点の個数が素数でないものについては、その数を素因数分解した時に奇数の因数がフェルマー素数のみでかつ、同じものが存在しない場合、または奇数の因数が存在しない（2の冪）場合のみ作図することが可能である。
例：正方形は、奇数の因数がないので (4=2×2) 作図することができる。正六角形や正十五角形は、奇数の因数がフェルマー素数のみなので (6=2×3, 15=3×5) 作図することができる。正九角形は、奇数の因数はフェルマー素数のみだが同じ数の重複があるので (9=3×3) 作図できない。

正十七角形の作図可能性は、1796年3月30日にカール・フリードリヒ・ガウスが発見した。さらにガウスは1801年に出版したDisquisitiones Arithmeticae（『ガウス整数論』）の第365条、第366条において、作図できる正多角形の必要十分条件も示している。

 作図可能性の比較 
正多角形（正四十角形まで）が作図可能かどうかを以下に示す。なお、○は作図可能、×は作図不可能を示す。
正多角形定規とコンパスによる作図折紙による作図ネウシス作図(Neusis)備考正三角形○○○正方形○○○正五角形○○○正六角形○○○正七角形×○○ピアポント素数も参照のこと。正八角形○○○正九角形×○○正十角形○○○正十一角形×××→○On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass折り紙は1回ずつ折る方法だが、3重折りを許せば折り紙で作図可能。2重折りで作図可能。正十二角形○○○正十三角形×○○正十四角形×○○正十五角形○○○正十六角形○○○正十七角形○○○フェルマー素数も参照のこと。正十八角形×○○正十九角形×○○正二十角形○○○正二十一角形×○○正二十二角形×××→○正二十三角形×××○○○正二十五角形××未解決問題正二十六角形×○○正二十七角形×○○正二十八角形×○○正二十九角形×××正三十角形○○○正三十一角形××未解決問題正三十二角形○○○正三十三角形×××→○正三十四角形○○○正三十五角形×○○正三十六角形×○○正三十七角形×○○正三十八角形×○○正三十九角形×○○正四十角形○○○
正p角形（p は3以上の素数）、正(2n + 1)角形の作図に必要な値 cos() は、n次方程式の解として求められる。
n2n+1方程式の次数方程式の次数（素因数分解）定規とコンパス作図折り紙作図1正3角形1次方程式1次方程式○○2正5角形2次方程式2次方程式○○3正7角形3次方程式3次方程式×○5正11角形5次方程式5次方程式××6正13角形6次方程式(2×3)次方程式×○8正17角形8次方程式(2×2×2)次方程式○○

  が有理数（自然数を除く）の場合 

 楕円幾何学 

最も角が少ないのは正二角形である。二角形は必ず正二角形になる。

この幾何学上の正三角形は、内角の和は180°より大きく、ユークリッド幾何学上のルーローの三角形と同じ図形である。

 双曲幾何学 

最も角が少ないのは正三角形であり、内角の和は180°より小さい。

 脚注 

 関連項目 

 2次元 
 正二角形
 正三角形
 正四角形
 正五角形
 正六角形
 正七角形
 正八角形
 正九角形
 正十角形
 正十一角形
 星型正多角形
 正多面体
 正多胞体
 多角数
 円分多項式
 1の冪根
 オイラーのφ関数
 ピアポント素数


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