対数積分

数学において、対数積分（たいすうせきぶん、） とは、全ての正の実数  において次の自然対数  を含む定積分によって定義される特殊関数である。

ただし関数  は  において特異点を持つため、上記における  の積分は、次のようにコーシーの主値として解釈される。

性質
 におけるこの関数の発展挙動は、

ここではランダウの記号の一種である。参照。

対数積分は素数の密度を推定するために使われることが多く、素数定理などで次の式として登場する。

ここで  は  以下の素数の個数を示す素数計数関数である。 は次の式で定義される補正対数積分関数であり、オイラーの対数積分とも呼ばれる。

あるいは

である。（こちらの関数を  と定めることもあるので記号の定義に注意が必要である。）は積分領域の特異点を回避するという優位点があり、また  よりも を非常に良く近似する。

より良くを近似するものとして

等がある。

関数  と指数積分  との間には、 を満たす全ての正の整数について次の関係が成立する。

関連項目

 素数定理 
 指数積分 
 リーマン予想

外部リンク


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