一次方程式

数学における一次方程式（いちじほうていしき、）は、一次多項式の解を求めるものである。

 一変数の場合 
,  は実数の定数とするとき、
  または 

なる形をとる。後者の形の場合は、 ≠ 0 ならば（−1 =  が存在するから）一意的に解けて  = − がその解である。 = 0 のとき、 ≠ 0 ならば不能、 = 0 ならば不定である。


 二変数の場合 

一般形は

で、これは {（, ）|  +  +  = 0} なる集合、つまり平面上の直線を表すと考えられる。直線が座標軸と平行でない場合、


なる形で扱うことができる。これはふつう、 を自由変数とし  を  の従属変数とみるとき、一次関数と呼ぶ。


 三変数および更に多変数の場合 

三変数の場合

はユークリッド空間 3 における平面（空間平面）を表す。これは、ベクトル  := (, , ) に直交し、平面上の一点 0 が与えられれば

なる形に書きなおせる（平面の場合の「点・傾き標準形」の一般化）。ただし、左辺はベクトルの点乗積である。このベクトル方程式は一般の -次元で考えれば、 内の超平面（余次元 1 のアフィン部分空間）を表す。すなわち -変数の一次方程式

は超平面の方程式である。一次形式

は線型汎函数で、「点・傾き標準形」は

の形に書くこともできる。

 更なる一般化 
一次方程式の理論は係数や解を（実数や複素数のような数に限らず）一般の（非可換）体としてもそのまま成り立つ。特に、係数が（非可換）体  であるような一次方程式が拡大体 {{sfrac||}} で解を持つならば、既に  において解を持ち、 における一般解がそのまま  における一般解になる。

 が行列、 がベクトル値の変数、 を定ベクトルとするとき、一次方程式

は  が正則ならば解くことができて  = −1 となる。

より一般に、集合  に作用素の集合  が与えられているとき、-値の変数  に対して作用 τ ∈  および定元  ∈  を与えれば、方程式

は意味を持ち、τ の逆作用素 τ−1が存在すれば  = τ−1 となる。特に  が群  で  が-加群  のとき、

なども意味を持つ。

 関連項目 
 線型性

 外部リンク 


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