総乗

総乗（そうじょう）とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。

 定義 
結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a, a, …, a の総乗を

などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。

有限集合 E に対し、E の濃度を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (x) 」とすることができる。この列の総乗を

などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1 を持つとき、空集合を添え字集合とする列（空な列）の総乗は 1 であるとする。（空積も参照）

 積が非結合的な場合 
積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a × a × … × a という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。

このとき、 と書くことにすると、

の意味になる。このようなものはあまり応用がない。

 無限乗積 
総和と同様に、可算無限列  の総乗

を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。

 定義 
実数や複素数からなる可算列  の無限乗積を定義する。無限乗積  が収束するとは2条件
 ある番号 m から先では常に x ≠ 0 (n > m)つまり、有限個の例外を除いて数列の値はゼロでない。
 部分積 p := x … x (n > m) がゼロでない値 P に n → ∞ の極限で収束する
が成り立つことをいう神保道夫、複素関数入門、岩波書店。。無限乗積  が収束するとき、その値を

と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、lim x = 1 が成り立つ。

また数列  に対して無限乗積

が収束するとき、無限乗積  は絶対収束するという。無限乗積  が絶対収束するのは無限級数  が絶対収束するとき、かつそのときに限る。

 例 
三角関数の無限乗積展開

ウォリス積Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Wallis Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.htmlA proof of the Wallis product formula, Takuya Ooura

オイラー乗積

ガンマ関数時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版。Weisstein, Eric W. "Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

(はオイラーの定数である)。

qポッホハマー記号
Wolfram Mathworld: q-Pochhammer SymbolAndrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.。

qガンマ関数Weisstein, Eric W. "q-Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/q-GammaFunction.html

行列を使ってqガンマ関数を定義することもできるSalem, A. (2012). On a -gamma and a -beta matrix functions. Linear and Multilinear Algebra, 60(6), 683-696.。

 注 

 参考文献 


 関連項目 
総和
因数定理
階乗
超階乗

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