円周角

円周角（えんしゅうかく）とは、ユークリッド幾何学において、ある円周上の一点から、この点を含まない円周上の異なる二点へそれぞれ線分を引くとき、その二つの線分のなす角のことである。

円周角  (rad) は 0<  <π を満たす。

円周角の定理

円周角の定理とは、中心角と同じ弧に対する円周角の関係を示す定理である。
同じ弧に対する円周角の大きさは、どこにあっても一定であり、その大きさは対応する中心角の半分になる。ただし、円周角が中心の反対側にある場合には、その円周角は中心角の半分の補角となる。

円周角が長円弧上にある場合について証明する（右図）。長円弧の両端の点をA, B、円周角がある点をCとする。円の中心をMとする。点Mと点Cを通る直線と、線分ABの交点を、点Dとする。線分AMと線分ACは、共に円の半径なので、三角形AMCは二等辺三角形である。そのため角ACMと角CAMは等しい。さらに三角形の内角の和が180°であることと、角AMDが角AMCの補角であることから、角AMDは角ACDの2倍となる。同様に、角BMDは角BCDの2倍となる。そのため、角AMB（中心角）は角ACB（円周角）の2倍となる。

この関係は、点Cが円周上のどこにあっても成り立つので、同じABについての円周角は常に等しくなる。

歴史
バビロニア数学
紀元前20世紀から紀元前17世紀頃に行われていたバビロニア数学で、円周角が直角の場合についての円周角の定理が知られていたde Laet, Siegfried J. (1996). History of Humanity: Scientific and Cultural Development. UNESCO, Volume 3, p. 14. 。

 タレスの定理 

円周角が直角の場合についての円周角の定理は、上記の通りバビロニア人によって発見されたと思われるが、それは紀元前5世紀ごろには忘れられており、著名な数学者タレスやピタゴラスの発見だと思われていた。

特に、紀元前7世紀から紀元前6世紀の人物タレスについては、3世紀の歴史家ディオゲネス・ラエルティオスが著書の中で「1世紀の歴史家の著作に『タレスは円の中に直角三角形を描いた最初の人物である』と書かれている」と言及したことが知られている。

しかし現在では、ギリシアでこの手の理論が発達するのは紀元前4世紀以降であり、「タレスが発見した」というのは当時の推測に過ぎないと考えられている。

ユークリッド原論

紀元前4世紀頃の著作と考えられているユークリッド原論の第3巻の命題20では、次のように述べられている PROPOSITION 20。

点ABCを通る円の中心をEとしたとき、角BECは角BACの2倍となる。

また、命題21では次のように述べられている。

円周上の点ABDEについて、角BADと角BEDは等しい。円の中心をFとする。まず線分BAEDが半円よりも大きくなる時、角BFDは角BADの2倍である。同様に角BFDは角BEDの2倍である。従って角BADは角BEDに等しい。次にBAEDが半円よりも小さい時、AFを通る線分と円の交点をCとする。四角形BAECは半円より大きいため角BACは角BECと等しい。同様に四角形CAEDは半円より大きいので、角CADと角CEDは等しい。従って角BADは角BEDに等しい。

また、命題31では次のように述べられている。

円周上の点ABCDについて、中心をEとする。線分BCで円を切ると半円となる場合、角BACは直角となり、角ABCは直角より小さくなり、角ADCは直角より大きくなければならない。線分EAはEBと等しいので、角EABは角EBAと等しい。また、線分EAはECと等しいので、角EACは角ECAと等しい。従って角BACは角ABCとACBの合計となる。一方三角形ABCの外角FACは、角ABCとACBの合計に等しい。従って角BACは角FACと等しい。従って、それぞれ直角である。従って、角BACは直角である。

アルハゼンの定理

11世紀にイスラーム圏で活躍した数学者イブン・ハイサム（ラテン名アルハゼン）は、円の外にある点Eと、円周上にあり、三角形ABEが円の中心Qを含むような点A, Bについて、線分AEと円の交点をC、線分BEと円の交点をD、線分ADとBCの交点をＰとした時、角AEB=角ADB-角CBDであることを発見した。

著名人による言及
詩人ダンテが14世紀に書いた叙事詩『神曲』の天国編第13歌には、「もしも半円の中に直角を持たない三角形を描けるのであれば」という、タレスの定理を前提とした節がある ‘’Non si est dare primum motum ess’’。

 脚注 

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