エルミート形式

数学の線型代数学におけるエルミート積 (Hermitian product), エルミート半双線型形式 (Hermitian Sesqui­linear form) あるいは単にエルミート形式（エルミートけいしき、）は、シャルル・エルミートに名を因む特別な種類の半双線型形式で、対称双線型形式の複素版にあたる。

複素線型空間  とその上のエルミート形式  との組 , あるいは同じことだが対応する「二次形式」 との組  をエルミート空間（あるいはエルミート二次空間）と呼ぶ。 

 定義 
 は複素数体  上のベクトル空間とすると、エルミート半双線型形式とは、写像  で以下を満たすものを言う:  および  は任意として
 偏線型性: 
 偏半線型性: 
 エルミート対称性: 
ここに、上付きの横棒  は複素共軛をとる演算を表す。

 注
 引数の一方が線型で他方が半線型となるが、線型と半線型は上記と逆に仮定する流儀もある。
 条件 1, 2 はこの写像が半双線型となることを言うものであるが、実は条件 3 の仮定のもと 1 から 2, あるいは 2 から 1 が導かれるから、一方の条件は不要である。ここでは明確化のために両者を掲げてある。

エルミート半双線型形式は複素数体  上で意味を成す概念である（実数体  上では任意のエルミート半双線型形式が対称双線型形式になる）。複素線型空間（あるいは複素ヒルベルト空間）上の内積（エルミート内積）は非退化正定値のエルミート半双線型形式である。

より一般に、環上の加群  に対して、係数環  上定義される任意の対合的  に関する半双線型形式  がエルミートであるとは、 を満たすことを言う。さらに、 は係数環の中心元として、-エルミートであるとは  となるときに言う。

 エルミート二次形式 
エルミート半双線型形式に対しても極化恒等式が適用できる。従って、エルミート半双線型形式は対角成分における値  のみによって他の全ての値も決定される。この「二次形式」 が常に実数値であることに注意せよ。実は与えられた半双線型形式がエルミートであることと、対応する二次形式が実数値であることとは同値になる。

 標準形式 
複素数ベクトル空間  における

を標準エルミート形式あるいは標準エルミート内積と呼ぶ。

 関連項目 
 エルミート行列

 参考文献 


 注釈 

 外部リンク 






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