パウリ行列

パウリ行列（パウリぎょうれつ、）、パウリのスピン行列（パウリのスピンぎょうれつ、）とは、下に挙げる3つの複素2次正方行列の組のことである猪木、河合（1994）、第7章J.J Sakurai and Jim Napolitano（2010), chapter 3。（シグマ）で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された。

添字は数学では 1, 2, 3 が、物理学では x, y, z が使われる。座標系によっては添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。

上記3つに単位行列  を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。

 基本的な性質 
パウリ行列は次の性質を満たす。

 エルミート性・ユニタリ性 
パウリ行列は

を満たすエルミート行列であり、

を満たすユニタリ行列でもある。

 パウリ行列の積 
パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。

また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。

すなわち  について

が成り立つ。ここでクロネッカーのデルタ  とエディントンのイプシロン  を用いれば、これらをまとめて

と書くことができる。

 交換関係・反交換関係 
パウリ行列の交換関係と反交換関係は一般的に

となる。
交換関係反交換関係

 固有値・固有ベクトル 
それぞれのパウリ行列は、固有値  と  を持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、

である。

 トレース・行列式 
パウリ行列  のトレース (Tr) は  となり、行列式 (det) は  となる。

2次単位行列  を含めた場合、

である。

単位行列を含めたパウリ行列  について、

が成り立つ。よって、複素2次正方行列空間  において、単位行列を含めたパウリ行列は  について、直交する。

 複素行列の展開 
複素2次正方行列空間  において、単位行列を含むパウリ行列は直交基底をなす内積はヒルベルト＝シュミット内積とする。。よって、任意の複素2次行列  は単位行列を含むパウリ行列  の線形結合として、次の形で書ける。

ここで複素係数  は

で与えられる。

また、任意の2次エルミート行列  は単位行列を含むパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数  は実数になる。

部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル（実ベクトル）はと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。

 指数関数 
パウリ行列の性質

から、その行列指数関数はオイラーの公式の類似である関係式

を満たす平井、山下 (2003)、第4章。
さらに実ベクトル  とパウリ行列の組  に対し、

が成り立つ。ただし、 は

で与えられる単位ベクトルである。

 が実ベクトルの場合、 は2次特殊ユニタリ群  の元となる。これはパウリ行列に虚数単位を乗じた  が  に対応するリー代数  の基底であることによる。

 SU(2)の生成子 
パウリ行列は、行列式を  とする 2次ユニタリ行列がなす2次特殊ユニタリ群  に対応するリー代数  の生成子である佐藤 (1992)、第5章。パウリ行列に  を乗じた

は  の基底であり、交換関係

を満たす。 はトレースが  かつ反エルミート

である元  から構成されるが、 はこの性質を満たす。コンパクトで連結な線形リー群である
 の任意の元は、リー環の指数写像によって、

の形で与えることができる。

 スピン角運動量 

量子力学において、パウリ行列はスピン  の角運動量演算子の表現に現れる。角運動量演算子  は交換関係

を満たす。ただし、 はディラック定数である。エディントンのイプシロン  を用いれば、この関係式は

と表すことができる。ここで、

を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。 の交換関係はゼロではないため、同時に対角化できないが、この表現は  を選び対角化している。 の固有値は  であり、スピン  の状態を記述する。

 ガンマ行列の表現 

パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列  () は反交換関係

を満たすものとして定義される。ただし、 は単位元であり、 は4次元時空のミンコフスキー計量  である。このとき、2次単位行列  とパウリ行列により、4次正方行列

を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する4次正方行列表現である。

 順時固有ローレンツ群とSL(2,C) 
パウリ行列は順時固有ローレンツ群  とその普遍被覆群である2次特殊線形群  を対応づけるのに用いられる佐藤 (1992)、第8章平井、山下 (2003)、第5章。ローレンツ群  は一般線形群  の元  で4次元時空のミンコフスキー計量  に対し、 を満たし、ミンコフスキー内積を保つものから成る。

一方、順時固有ローレンツ群  はローレンツ群の連結な正規部分群であり、00成分と行列式の符号についての条件から

として、定義される相対論での慣習に従い、添え字は 0, 1, 2, 3 をとるものとする。。ここで4元ベクトル  に対し、パウリ行列  により、2次正方行列

を導入する。その行列式は

であり、ミンコフスキー内積  を与える。ここで  の元  により、変換

を定義すると、

であり、ミンコフスキー内積を保ち、順時固有ローレンツ変換  を与える。さらに、 は同じローレンツ変換  を与えることから、これは  から  への2対1の準同型写像を与える。その核は  であり、群の同型対応

が成り立つ。

 四元数の表現 
パウリ行列により、四元数の2次正方行列表現を与えることができる。

を導入すると、関係式

を満たす。これは四元数の基底元  が満たす関係式

と対応する。四元数環  から複素行列環  への線形写像

は和と積と保ち、四元数の2次正方行列表現を与える。この像は

であり、 と  は 多元環として同型である。

 脚注 

 参考文献 
 猪木慶治、川合光『量子力学I』 講談社 (1994) ISBN 978-4061532090
 佐藤光『物理数学特論 群と物理（パリティ物理学コース）』丸善 (1992) ISBN 978-4621037874
 平井武、山下博『表現論入門セミナー ―具体例から最先端にむかって』遊星社 (2003) ISBN 978-4795268982
 J.J Sakurai and Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics (2nd edition), Addison Wesley (2010) ISBN 978-0805382914

 関連項目 
ヴォルフガング・パウリ
ガンマ行列
四元数

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