重根 (多項式)

重根（じゅうこん、）とは、1変数多項式  の根のうち重複度が2以上のもののことをいう。

 概要 
1 変数多項式  が、定数 , , , …, を用いて

の形に因数分解され、, , …,  の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を  の重根という。

方程式  の解は一般に

つまり xy-座標系において  と x 軸との交点の x 座標である。 が1変数多項式のとき、 が  で x 軸に接するなら、は  の重根となる。

したがって  は  における微分も 0 となり、  が  の重根であることと

であることは同値である。

 定義 
体 K 上の多項式  と K の元 に対し、 が成立するとき、すなわち 2 以上の自然数  と多項式  で

を満たすものが存在するとき、 を  の重根という。特に  が  を根に持たないならば、 を根  の重複度（ちょうふくど、multiplicity）という。

 判別式 

多項式  の根を , , …,  とし、その全体から作られる最簡交代式（差積）の平方

を多項式  あるいは方程式  の判別式（はんべつしき、discriminant）という。

これは「代数方程式が重根を持つかどうか」 を判別するための式である。すなわち、判別式が  であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の係数によって必ず記述できるからである。

これは、
 差積の平方が根に関する対称式となること
 対称式が基本対称式で表すことができること
 根の基本対称式が方程式の係数によって記述されること（根と係数の関係）
によって保証される。

たとえば、二次方程式 （） の根を ,  とすると、根と係数の関係により

が成り立ち、判別式すなわち差積の二乗は

となる。より であるので、実用上は分母を掃った  を判別式として用いることが多い。

 関連項目 
 零点

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