常微分方程式

常微分方程式（じょうびぶんほうていしき、）とは、微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数  の未知関数  に対して、（既知の）関数  を用いて

という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。 は未知関数  の  階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。

ここで  は

を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式と呼ばれる。

また、多くの  階常微分方程式は次のような形に書くことができる。

常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。

 線型常微分方程式 

常微分方程式が

の形に表されるとき線型であるという。ただし、 および  は を変数とする既知の関数である。 の方程式は特に斉次 () な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は非斉次 () な方程式と呼ばれる。

 非線型常微分方程式 
線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式やパンルヴェ方程式などがある。一方、求積法で解ける形の非線型方程式も数多く知られている長島 隆廣　『常微分方程式80余例とその厳密解』　近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6. 国立国会図書館蔵書, 請求記号：MA117-H55（東京　本館書庫）。長島 隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または， https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358。
以下に例を挙げておく 長島 隆廣 『数学セミナー』，日本評論社，1986年5月号，第25巻，第5号，通巻294号，pp.94-95。。

 1階非線型常微分方程式





ここに、 は実数であり、 は既知関数である。
　  は実数，ただし，， は既知関数。


　 ， は既知関数。


　 ，， は，いずれも既知関数。


 2階非線型常微分方程式 

上記の  と  は既知関数とする。

　  は実数，ただし，， は既知関数。

　  () は既知関数。


　　α, γ,  は実数．ただし，。


　　 は既知関数。 は実数．ただし，。


 連立常微分方程式 
連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、
1 つの独立変数  と複数の未知関数  およびその導関数により構成される複数の方程式の組である。例えば、比較的簡単な例として、 の 2 つの未知関数を  とする。それらの一階の導関数を  として、

は一つの連立常微分方程式である。ただし、 は既知関数である。

一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と  個の未知関数およびその  階の導関数を含み、複数個の常微分方程式の組になる。



ここで  は、未知関数  の  階の導関数である ()。
なお、連立常微分方程式を常微分方程式系（）と呼ぶこともある。
これら  個の常微分方程式すべてを満足する関数の組  をその解という。

具体的な例を一つ示す。独立変数  の未知関数を  とし、 を定数とすると、




は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、求積法で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている長島 隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター，1982年5月発行，国立国会図書館・請求記号 MA117-111，全国書誌番号 82049441。
一例を挙げておく長島 隆廣 『数学セミナー』，日本評論社，1988年3月号，第27巻，第3号，通巻316号，p.98。。

 は独立変数であり、 は  を変数とする未知関数である。また、 を既知関数とする。

 出典 

関連文献
和書
 藤原松三郎：「常微分方程式論」、岩波書店 (1930年)．
 藤原松三郎「常微分方程式論」岩波書店 (1930年) の現代仮名遣い版
 吉江琢児：「微分方程式論」、共立出版 (1947年).
 フォーサイス(著)、粟野保、末岡清市、石津武彦(共訳)：「微分方程式」上巻、朝倉書店 (1947年).
 福原満州雄：「微分方程式 上」、朝倉書店 (初版：1951年3月10日)。復刊版はISBN 4-254-11691-8 (2004年12月1日)。
 福原満州雄：「微分方程式 下」、朝倉書店（初版：1952年6月25日）。復刊版はISBN 4-254-11692-6 (2004年12月1日)。
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洋書
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 関連項目 

媒介変数
変数分離
求積法
複雑系
方程式
パンルヴェ方程式
リッカチ方程式
フックス型微分方程式
ガウスの微分方程式
ベッセル関数
ルジャンドルの微分方程式
微分方程式
線型微分方程式
複素微分方程式
偏微分方程式

数値計算
NAG数値計算ライブラリ
硬い方程式
常微分方程式の数値解法
ルンゲ・クッタ法
線型多段法
狙い撃ち法

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