双曲線

双曲線（そうきょくせん、）とは、2次元ユークリッド空間 ℝ2 上で定義され、ある2点 F, F' からの距離の「差が一定」であるような曲線の総称である。

この2点 F, F' は焦点と呼ばれる。2点 F, F' を通る直線と2点 F, F' の垂直二等分線は主軸と呼ばれる。

双曲線の方程式

 一般形 
2次元直交座標系において、双曲線の2焦点の座標をそれぞれ , 、焦点からの距離の差の絶対値を  とする。このとき双曲線の方程式は、次のように表される。これを一般形という。

この方程式は、うまく式変形することにより、必ず

　　（ただし  は実数）

という形に表すことができる。証明は以下の通り。

 標準形 
+ 双曲線の標準形 標準形   漸近線   焦点   頂点   準線   離心率  
双曲線は、主軸を座標軸とする直角座標系において、次の方程式により表すことができる。これを標準形という。

この場合、焦点の座標は

と書ける。このとき、2焦点 F, F' から双曲線上の点 P への距離の差 |PF − PF'| は 2 となる。原点を双曲線の中心といい、2点(±, 0) を双曲線の頂点という。

双曲線上の点 P と焦点 F との距離 PF と点 P から準線  までの距離の比は一定であり、比の値は離心率  に等しい。

また、双曲線には2つの漸近線が存在しており、漸近線の方程式は

である。

特に、漸近線が直交している、すなわち  =  であるとき、この双曲線を特に直角双曲線という。

反比例のグラフ  も双曲線の一種である。これは、直角双曲線： を原点の回りに  だけ回転させた双曲線に等しい。

 媒介変数表示 
双曲線は、双曲線関数を用いて媒介変数表示することができる。

また双曲線から左側の頂点  を除けば有理関数を用いて媒介変数表示することもできる。

ただし  とする。右側の連結成分は  に、左下の連結成分は  に、左上の連結成分は  に対応する。これは二点  と  を通る直線  と双曲線との交点のひとつとして得られる。

円錐曲線としての双曲線

双曲線は、直円錐を直円錐の頂点を通らず、上下両方の直円錐に交わる平面で切断したときの、切断面の境界である。

離心率が  であるような円錐曲線を C とする。このとき、 ＞ 1 であれば、 C は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が  = − , 焦点の一つが F(, 0) となったとする。双曲線の任意の点 P(, ) に対し、方程式

が成立するが、 となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理することにより、

さらに  に関して平方完成させることにより、

これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに平行移動： , Y =  を行って適当に整理することによって、(*) の形になる。

 脚注 

 参考文献 

 関連項目 

円錐曲線 - 楕円 - 放物線
彗星
双曲面
天体力学
レムニスケート

 外部リンク 

双曲線の定義・標準形・焦点・漸近線、双曲線の方程式の決定
双曲線の知識まとめ（焦点・漸近線・方程式・媒介変数表示・接線公式）
双曲線の方程式
デカルトの双曲線作図器１

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