極値

数学の実解析において、実数値関数の極値（きょくち、）とは、関数の局所的な最小値および局所的な最大値の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。

 定義 
 次元ユークリッド空間  の開集合  上で定義された実数値関数  をとる。
関数  を定義域  に属する点  のある  近傍に制限すると値  がその最小値であるとき、値  を関数  の極小値（）といい、点  を関数  の極小点（）という。この条件は論理式を用いると

と表せる。同様に関数  を定義域  に属する点  のある  近傍に制限すると値  がその最大値であるとき値  を関数  の極大値（）といい、点  を関数  の極大点（）という。

極小値と極大値を総称して極値（）といい、極小点と極大点を総称して極値点という。

上の条件に現れる  を  へ置き換えたとき、値  を関数  の狭義の極小値（）という。同様に狭義の極大値（）も定義される。またこれらを総称して狭義の極値という。（ただし狭義の極値を単に極値と呼ぶこともあるので、実際に用いられている定義をよく確認する必要がある。）

 必要条件 
 次元ユークリッド空間  の開集合  上で定義された実数値関数  をとり、これが微分可能であるとする。

定義域  に属する点  における関数  の勾配 

が  であるとき、点  を関数  の停留点（）あるいは臨界点（）といい、値  を停留値（）あるいは臨界値（）という。

点  が関数  の極値点であるためには、点  が関数  の停留点であることが必要である。

 十分条件 
 次元ユークリッド空間  の開集合  上で定義された実数値関数  をとり、これが2回連続微分可能であるとする。

関数  の停留点  におけるヘッセ行列

が正の定符号（）であるならば関数  は点  において狭義の極小値をとる。またヘッセ行列  が負の定符号（）であるならば関数  は点  において狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数  は点  において極値をとらない（このとき点  は関数  の鞍点と呼ばれる）。

この方法により、ヘッセ行列  が特異行列で停留点  が退化している場合を除けば、極値判定ができる。

 注釈 

 出典 

 関連項目 
 ラグランジュの未定乗数法

 参考文献 

書評 

 外部リンク 





Category:解析学
Category:数学に関する記事