論理演算

論理演算（ろんりえんざん、logical operation）は、論理式において、論理演算子などで表現される論理関数（ブール関数）を評価し（正確には、関数適用を評価したとえば、三角関数の sin などといった関数それ自体が「関数」であり、sin(3.14) などのように関数と実引数とを結びつけること and・or 結びつけたものを「関数適用」と言う。）、変数（変項）さらには論理式全体の値を求める演算である。

非古典論理など他にも多くの論理の体系があるが、ここでは古典論理のうちの命題論理、特にそれを形式化したブール論理に話を絞る。従って対象がとる値は真理値の2値のみに限られる。また、その真理値の集合（真理値集合）と演算（演算子）はブール代数を構成する。

コンピュータのプロセッサやプログラミング言語で多用されるものに、ブーリアン型を対象とした通常の論理演算の他に、ワード等のビット毎に論理演算を行なう演算があり、ビット演算という。

なお、証明論的には、公理と推論規則に従って論理式を変形（書き換え）する演算がある（証明論#証明計算の種類）。

 演算の種類 
ここでは1出力の関数のみを扱う。2出力以上の関数は、（実装はともかく）論理的には1出力の関数を並べるだけであり自明と言ってよいであろう。以下では、真理値の記号は {0, 1} とする。

 1入力 
1入力1出力のブール関数は以下の4通りのみ。最後の入力の反転（NOT）以外はごく直感的。
 入力がなんであれ、常に 0 を出力する
 入力がなんであれ、常に 1 を出力する
 入力がなんであれ、入力と同じ値をそのまま出力する
 入力が 0 であれば 1 を、入力が 1 であれば 0 を出力する。すなわち入力の反転（「否定」とも言う）を出力する (NOTあるいはinversion、以下では ¬ の記号を使う)

 2入力 
2つの入力 P、Q に対し、以下の16通りが全てである。

この節、および以降に続く節では、和に ∨、積に ∧ の記号を使う。


定理
以上の演算に対して成り立っている定理として、以下のようなものがある。（証明論的には（「命題論理の証明論」）、以下の等式のいくつかに相当する公理 and・or 推論規則が採用される）
べき等則

交換則

結合則

分配則

吸収則

ド・モルガンの法則

その他

 その他 
その他の話題

 完全性 

（詳細は英語版記事 :en:Functional completeness を参照のこと）以上の演算のうち、ごく少数の種類の演算の組み合わせによって、任意の演算を「実装」することができる。そのような演算の組の性質を functional completeness という。∨ と ∧ だけでは完全ではなく、必ず ¬ も必要である。一方 ¬ があれば、∨ と ∧ はどちらか一方でも良い。さらに興味深いものとして、¬ と ∨ あるいは ∧ の組合せである、否定論理積（NAND）や否定論理和（NOR）は、それ一つだけで完全である。なお、→ の記号が使われることが多い「ならば」（imply、論理包含）は微妙な点があり（たとえば、演算子だけでなく定数入力を必要とする）、英語版Wikipediaの Implicational propositional calculus の記事（:en:Implicational propositional calculus）では「virtual completeness」と表現している。

 注 

関連項目
カルノー図
ド・モルガンの法則
真理値
マスク (情報工学)
数学 - 数理論理学
論理学
論理回路
ブール関数 - ブール代数
ベン図 - オイラー図
ブーリアン演算
プログラミング言語
数学記号の表#論理記号

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