平方完成

平方完成（へいほうかんせい、）とは、二次式（二次関数）を式変形して  の形を作り、一次の項を見かけ上なくすことである。この式変形は全ての二次式に可能で、一意に決まる。

 の  を除けば、つまり  と変換すれば

の形に帰着される。このことより、以下のことが導出できる：
 二次方程式の解を求める（→二次方程式の解の公式）
 二次関数のグラフの頂点の座標を求める
 微分積分学で、冪指数に一次の項を含むガウス積分の計算
 ラプラス変換の計算
また、平方完成の考え方を応用して解く手法も見られる（#類似の手法）。

 概観 
二次式  において、一次の項「」があるのとないのでは、応用上の取り扱いが大きく異なる。

変数  が  の形になる代わりに一次の項がなくなれば、 の違いだけで済むことができる。

ここでは、二次の係数（最高次係数）が  の場合とそうでない場合に分けてみる。

二次の係数（最高次係数）が  の場合

の一次の項「」をなくして  を  の形にする。

より、一次の係数を比較すると

これにより、 の平方完成は次の式になる：

二次の係数（最高次係数）が  でない場合

の一次の項「」をなくして  を  にする。

二次の係数が  の場合で得られた等式

を利用する。
, Section Formula for the Vertex of a Quadratic Function, page 133–134,  figure 2.4.8
つまり、一次以上の項を二次の係数  で括ることにより、二次の係数が  の場合を利用している。

 二次形式の平方完成 
1変数の二次式の平方完成を踏まえて、一般の  変数二次式に対しても、平方完成ができる。例えば二変数なら

である。これは二次形式

の形で書ける。

一般の  変数二次式は、 を対称行列として

で書ける。

 が対称でないときは  と  の式が

とやや一般になるが同じ式で書ける。

 幾何学的解釈 
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二次方程式

を平方完成により解くことを考える。この過程を、面積図で表すと次のようになる。

 は一辺が  の正方形の面積、 は縦横が  の長方形の面積に等しい。面積  の長方形を2等分割して、長さ  の辺で正方形と貼り合わせる。すると、正方形の角が欠けた形になる。

欠けている角に一辺が  の正方形を補うと、全体が正方形になる。したがって、両辺に  を加えると、平方  が完成する。

 類似の手法 
平方完成とは、 の形の式に第三項  を加えて完全平方式を作る操作である。 が先に与えられていても、中間項  または  を加えることにより完全平方式を得ることができる。

 相反式の平方完成 
正の実数  に対して、自身とその逆数の和は

このように平方完成すると、正の数とその逆数の和は常に  以上であることが示される。

 複二次式の因数分解 
複二次式

を因数分解することを考える。この式は  と見ることができるから、中間項  を考え、

と因数分解できる。

 二次方程式の解 

 二次関数のグラフ 

二次関数  の -座標平面におけるグラフは、平方完成することによりその様子がよく分かる。

関数式  を平方完成して

これのグラフは、放物線  を 軸方向に 、軸方向に  平行移動したものであると分かる。特に、頂点（停留点）があり、その座標は

であることが分かる。軸の方程式は

である。
 の場合、 で最小値  をとる。
 の場合、 で最大値  をとる。

 応用 
 積分 
不定積分

の被積分関数に平方完成を適用すれば、より基本的な積分

または

に帰着できる（は積分定数）。

 複素数 
 を複素数とするとき、

（ は複素数、 は実数）
（ はそれぞれ  の複素共役）
は常に実数である。このことは、複素数に対する恒等式  を用いて、式を以下のように変形すると分かる：

別の例として、 を実数とするとき、

は、 のとき、複素数の絶対値の平方を用いて書くことができる。実際に、 と置けば

となる。

 冪等行列 
正方行列  が冪等とは  が成り立つことである。

は、 ならば冪等行列である。平方完成により

 が実行列なら、これは -平面において中心 、半径  の円の方程式である。角度  を用いて書けば、

と媒介変数表示できる。

 参考文献 

Algebra 1, Glencoe, , pp.539-544
Algebra 2, Saxon, , pp.214-214, 241-242, 256-257, 398-401

 外部リンク 





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 平方完成のやり方といくつかの発展形 - 高校数学の美しい物語

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