分散関係

分散関係（ぶんさんかんけい、）は、波において、角周波数（角振動数）と波数の間の関係。特に角周波数  を波数  の関数で表した式のことを言う。量子力学においては、波動関数の波数は粒子の運動量に、周波数はエネルギーに相当するので、運動量とエネルギーの間の関係式を粒子の分散関係と呼ぶことも多い。

 概要 
任意の波動はフーリエ変換により「特定の波数  のみを持つ単色波  の集まり」に分解できる。このとき、波数  と角周波数  が、系の性質に応じて満たす関係

を、分散関係 、または分散式  という。波数と角周波数の対応関係が複数存在する場合もあり、それぞれの関係を波のモードと呼ぶことがある。

ここで「分散」とは波が伝わるときに波形が変化することをいう。

波動の性質を示すいくつかの重要な指標が分散関係から導かれる。

また、量子力学においてはエネルギーと周波数は比例する（）ため、系のエネルギー固有値と波数の関係も分散関係と呼ばれる。

 分散の有無 
波数と角周波数が比例関係にない場合、成分ごとに位相速度が異なるため伝播の際に波形の変化を伴う。その系は分散的もしくは分散系であるという。

一方、波数と角周波数が比例関係

で表されるとき、分散はない。

分散がない任意の波において、波を構成する各成分は

となり、すべての成分が波数に依らず一定速度  で進むため、それらによって構成される波は波形を変えずに伝播する。たとえば、室温の空気を伝わる音波はほとんど分散がないため、ある人が発した声はほとんど波形を変えずに聞き手の耳に届く。

 位相速度と群速度 
波の位相部分が一定  で伝わる速度  は、これを時間で微分して、

で与えられる。これを位相速度という。また、一方で様々な波数を持つ波の集まりである波束において、その群速度は、

で与えられる。

分散がない場合には、

であるから、「分散がない」という条件は「位相速度と群速度が一致する」ことと等価である。

通常の波動方程式

に従う波動現象においては、 を考えると、

の関係が満たされており、分散がない波となる。

 光学における分散 

自然光などの白色光をプリズムに通すと、透過した光は虹のように各色ごとに分光される。この現象は光学においては分散と呼ばれる。これは、白色光が角振動数の異なる電磁場から構成されており、媒質となるプリズム中においてそれぞれの屈折率  が角振動数  によって異なることに起因する。このとき、媒質中を伝播する電磁波の位相速度は、角振動数に依存する屈折率  と真空中の光速  を用いて、

と表される。このとき、対応する分散関係は

となる。分散関係という語は、光学におけるこの分散現象に由来する。

 例 
 水面波 
深さが  である水の層において、重力と表面張力を考慮した水面波の分散関係は以下を満たす。

ここで、 は重力加速度、 は表面張力の強さ、 は水の密度である。

 フォノン 
固体におけるフォノンのモデルとして、2 種類の原子から構成される一次元の格子の振動を考える。このとき、この格子系の周期を  とし、2つの原子の質量を 、結合の定数を  とすると、分散関係は

となる。符号が  の場合が音響モードに対応し、 の場合が光学モードに相当する。特に  としたときの長波長極限において、音響モードでは、


光学モードでは 

となる。

 相対論的な電子 
相対論な場の量子論において、電子はディラック方程式で記述される。このとき、電子は以下の分散関係を満たす。

ここで、 は電子質量、 は光速である。

 脚注 

 参考文献 

 関連項目 
 フーリエ変換
 波動
 位相速度
 群速度
 分散
 分光
 光学
 固体物理学
 流体力学

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