直角三角形

とは、2つの辺が直角をなす三角形である。記号⊿ を使って表すことがある。

直角三角形においては、直角である内角は、他の2つの内角よりも大きくなる。直角三角形の直角以外の2つの角を、直角三角形の鋭角と呼ぶ。直角三角形の2つの鋭角の和は、直角に等しい。

直角三角形の直角の対辺を斜辺と言い、残りの2辺を、直角をはさむ2辺または単に隣辺と言う。

直角三角形の3辺の間には、長さについて三平方の定理の関係がある。

直角の頂点を直角頂と呼ぶ。直角頂は垂心に等しい。

 直角三角形の角 
直角三角形の定義は 1つの内角が直角（90°）であることであるが、内角の和は 180°であるから、直角である内角はその1つだけである。直角でない2つの内角はどちらも鋭角（90°未満の角）であり、それらの和は直角に等しい。

 直角三角形の斜辺 
直角三角形の斜辺の中点は、3頂点まで等しい距離にある（外心）。このことと三角不等式から、直角三角形の斜辺は、3辺のうち最も長いことが導かれる。

直角三角形の斜辺の長さは、外接円の直径に等しく、また、直角をはさむ2辺の長さの和から、内接円の直径を引いた差に等しい。

合同な2つの直角三角形から、斜辺だけ重ねると、長方形ができる。直角三角形は面積  の長方形を1本の対角線で区切って2等分した図形なので、面積は  である。

また、合同な2つの直角三角形を、隣辺の1つずつだけ重ねると二等辺三角形ができる。2つの合同な三角形を1辺ずつだけ重ねて別の三角形ができるのはこの場合に限られる。

 直角三角形の面積 
直角三角形の面積は、直角をはさむ2辺の長さの積の  に等しい。



直角三角形の斜辺を一辺とする正方形の面積と、直角をはさむ2辺をそれぞれ一辺とする正方形 2個の面積の和は等しい。すなわち、斜辺の長さを 、直角をはさむ2辺の長さをそれぞれ  とすると、それらの2乗について以下の等式が成り立つ：

この定理は三平方の定理として知られている。

三平方の定理は逆も成り立つ。すなわち、上記の等式を満たす三角形は直角三角形に限られる。

合同条件
直角三角形にも合同条件がある。
サムネイル|合同条件の図解サムネイル|合同条件の図解
斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しい。(右図で、AC=DF,θ=δのとき)
斜辺の他の1辺がそれぞれ等しい。(右図で、AC=DF,AB=DEのとき)

 三角関数 
三角関数を幾何学的に定義するには、直角三角形を利用する。鋭角  に対する斜辺 、隣辺 、対辺  により

で定義する。

 三角定規 
三角定規は直角三角形であり、2つの鋭角が 30°, 60°の半正三角形（正三角形を半分にしたもの）と底角がともに 45°である直角二等辺三角形の2枚が1組となっているのが一般的である。半正三角形の長い方の隣辺と、直角二等辺三角形の斜辺の長さは同じ場合が多い。これらを使って平行線や垂線を容易に作図できる。

 三辺の長さが整数になる直角三角形 

直角三角形の3辺の長さになる3整数の組をピタゴラス数という。ピタゴラス数は ,  はどの2つも互いに素、 は自然数) の形になり、下の式で表される：

（ は順不同） 
ここで  は自然数で
  は互いに素

  と  の奇偶は異なる（一方が奇数で他方が偶数）
を満たす。

自然数  が上記の3条件を満たせば、重複なく全てのピタゴラス数を導出できる。上記の3条件を満たす自然数  は無数にあるため、 は（つまりピタゴラス数は本質的に）無数にある。

 名称の変遷 
明治初期の日本では、直角三角形は「勾股弦の形久米邦武 編『米欧回覧実記・5』田中彰 校注、岩波書店（岩波文庫）1996年、247頁」と呼ばれていた。この名の起源は漢の『九章算術』「勾股」章にまで遡ることができる。なお、『九章算術』は現代の中国はもちろんのこと、日本の和算にも引き継がれている。また「勾股弦」の語は現在の日本の伝統建築の規矩術規矩術指金使いの基本、勾殳玄の図、解勾股弦 大工さんが作ったホームページでも用いられている。（斜辺を「玄」、隣辺を「勾」、「殳」と表す。）

 脚注 

 外部リンク 


Category:三角形
Category:数学に関する記事