レピュニット

レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。この名前は repeated unitを省略した単語であり、アルバート・ベイラーが1964年の論文で命名した。

10進法における  桁のレピュニットは  の形に表される。 = 2, 19, 23, 317, 1031, ... () のときに、 は素数となる。2進法における  桁のレピュニットはメルセンヌ数  である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数（またはレプユニット素数、）という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

 レピュニットの性質 
m が n を割り切るならば、Rm は Rn を割り切る。よって、n が合成数ならば、Rn は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 だけである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 だけであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a)。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるので、すべてズッカーマン数である。

Rn は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 30 のときも含む）は全てハーシャッド数である。

 nの値と必ず含まれる約数
 偶数 - 11
 4の倍数 - 11・101
 6の倍数 - 3・7・11・13・37
 3の倍数 - 3・37
 5の倍数 - 41・271
 7の倍数 - 239・4649
 17の倍数 - 2071723・5363222357
 など

 901型の例 
前述のとおり、R2n は11つまりR2 で割り切れる。同様に、2×n桁のR2n は、n桁のRn で割り切れる。さらに、nが奇数のとき、Rn は11で割り切れないから、R2 と Rn は互いに素となる。よって、R2nは、R2 × Rn で割り切れて、その商は、n桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、n−1 桁の数 9090…91 である。

これらの関係を表にまとめると、次のようになる。

{| class="wikitable sortable" style="line-height:1.4; text-align:right;"
|-
! n（奇数） !! 2 × n !!R2n!! R2nの値（2×n桁） !!!!R2 × Rn!! R2 × Rnの値（n+1桁）!! !!R2n ÷ R2 ÷ Rnの値（n−1桁） !!R2n ÷ R2 ÷ Rnの素因数分解
|-
|3 || 6 || R6 ||111111|| rowspan=5|＝ || R2 × R3 || 1221 || rowspan=5|× ||91 || 7・13
|-
|5||10|| R10 ||1111111111|| R2 × R5 || 122221 || 9091 || 素数
|-
|7|| 14|| R14 ||11111111111111|| R2 × R7 || 12222221 || 909091 || 素数
|-
|9||18|| R18 ||111111111111111111|| R2 × R9 || 1222222221 || 90909091 || 7・13・19・52579
|-
|11||22|| R22 ||1111111111111111111111|| R2 × R11 || 122222222221 || 9090909091 || 11・23・4093・8779

|}n が偶数のときのR2n、その他 についての例は次のとおり。

 R12 = 11222211 × 9901
 R20 = 1222210000122221 × 9091
 R24 = 112233332211 × 990000999901 = 1111222222221111 × 99990001
 R28 = 1222222100000012222221 × 909091
 R36 = 111111222222222222111111× 999999000001
 R39 = 123333333333321 × 900900900900990990990991
 など

 R6 = 11 × (9091 + 1010)
 R8 = 11 × (909091 + 101010)
 R10 = 11 × (90909091 + 10101010)

电算游戏（六）“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客1111…1という数（レピュニット）の素因数分解を納得する - アジマティクスAufgaben und Lösungen 1. Runde 2016

 1と0だけで表す例 
 n  (10n/2 − 1) / 9  Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.  10n/2 + 1 R2  1  1 × 11  11 R4  11  11 × 101  101 R6  3・37  111 × 1001  7・11・13  R8  11・101  1111 × 10001  73・137  R10  41・271  11111 × 100001  11・9091

 n    R2   1 × 11  1 × 11 R3 # 1 × 111   R4 $ 1 × 1111  11 × 101 R5 % 1 × 11111  R6 & 1 × 111111  111 × 1001# 11 × 10101   R7 * 1 × 1111111   R8 $ 11 × 1010101  1111 × 10001 R9 # 111 × 1001001   R10 % 11 × 101010101  11111 × 100001R12 & 11 × 10101010101  111111 × 1000001$ 111 × 1001001001  # 1111 × 100010001   R14 * 11 × 1010101010101  1111111 × 10000001

 n   R6  1 × 111 × 1001  91・11 R12  11 × 10101 × 1000001  9901・101 R18  111 × 1001001 × 1000000001  999001・1001 R24  1111 × 100010001 × 1000000000001  99990001・10001

 n   R4  11 × 101  R8  101 × 110011   R12  1001 × 111000111  1221001221 × 91 R16  10001 × 111100001111   R20  100001 × 111110000011111  1222210000122221 × 9091 R24  1000001 × 111111000000111111  1221001221001221001221 × 91

 累乗数 − 累乗数 
World!Of Numbers
 n  Rn×(10n+1)      Number Theory の話題（Repunit Number と Zsigmondy's Theorem）nombre - onze en mathspersistance et repdigits     R2 62 − 52  62 − 52  62 − 52 R3  562 − 552  562 − 552  R4 562 − 452  5562 − 5552  R5  55562 − 55552  R6 5562 − 4452  555562 − 555552  50562 − 50452  6562 − 5652 R7  5555562 − 5555552  R8 55562 − 44452 <small>（省略）  R9 <small>（省略）  5005562 − 5004452 R10<small>（省略） <small>（省略）  656562 − 565652R11 <small>（省略） R12<small>（省略） <small>（省略）  500055562 − 500044452 R13 <small>（省略） R14<small>（省略） <small>（省略）  65656562 − 56565652

 レピュニット素数 
現在、Rn で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R49081 は、1999年9月にハーヴェイ・ダブナーが確率的素数として発見してからポール・アンダーウッドによって素数判定されるまで22年6月を要した。2023年5月に素数であることが証明された R86453 は、2000年10月にリュー・バクスターが確率的素数として発見してからアンドレアス・エンゲによって素数判定されるまで22年7月を要したPrime pages: R(86453)。

2007年3月26日、ハーヴェイ・ダブナーは n=109297の場合が確率的素数であると発表しHarvey Dubner, R109297 に関するアナウンス、Number Theory List、その後n≦200000にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している。同年7月15日、マクシム・ヴォズニーはn=270343の場合が確率的素数であると発表したMaksym Voznyy, R270343 に関するアナウンス、Number Theory List。

2021年4月19日、セルゲイ・バタロフとライアン・プロッパーはn=5794777を、同年5月8日にn=8177207を確率的素数であると発表した。発表時点ではそれぞれが知られている最大の確率的素数であった。

2025年5月29日、楕円曲線素数判定法によりn=109297の場合が素数であることが証明された。

  Rn = (10n − 1) / 9
 No.  n  年  発見者  素数判定  1 2  BC 478  -  素数 2 19  1908-06-27  -  素数 3 23  1933-01-23  -  素数 4 317  1978-05-16  ヒュー・ウィリアムズ 素数 5 1031  1986-10-05  ヒュー・ウィリアムズ、ハーヴェイ・ダブナー 素数 6 49081  1999-09-09  ハーヴェイ・ダブナー 素数 7 86453  2000-10-26  リュー・バクスター 素数 8 109297  2007-03-26  ハーヴェイ・ダブナー 素数 9 270343  2007-07-11  マクシム・ヴォズニー 確率的素数 10 5794777  2021-04-19  セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー 確率的素数 11 8177207  2021-05-08  セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー 確率的素数

()

 レピュニットの素因数分解 
レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている。

基数 10 のレピュニットの R1 から R150 までの素因数分解の一覧を示す。n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

※ 素因数の数（含重複）

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

+ 基数10 のレピュニット Rn (n=1~150) の素因数分解の表 n  ※  素因数分解      1  0  1  2   1  11 (素数)  3  2  3・37  4  2  11・101  5 2  41・271  6 5  3・7・11・13・37  7 2  239・4649  8 4  11・73・101・137  9  4  32・37・333667  10  4  11・41・271・9091  11  2  21649・513239  12  7  3・7・11・13・37・101・9901  13  3  53・79・265371653  14  4  11・239・4649・909091  15  6  3・31・37・41・271・2906161  16  6  11・17・73・101・137・5882353  17  2  2071723・5363222357  18  9  32・7・11・13・19・37・52579・333667  19  1  1111111111111111111 (素数)  20  7  11・41・101・271・3541・9091・27961  21  7  3・37・43・239・1933・4649・10838689  22  7  112・23・4093・8779・21649・513239  23  1  11111111111111111111111 (素数)  24  10  3・7・11・13・37・73・101・137・9901・99990001  25  5  41・271・21401・25601・182521213001  26  6  11・53・79・859・265371653・1058313049  27  7  33・37・757・333667・440334654777631  28  8 11・29・101・239・281・4649・909091・121499449  29  5  3191・16763・43037・62003・77843839397  30  13  3・7・11・13・31・37・41・211・241・271・2161・9091・2906161  31  3  2791・6943319・57336415063790604359  32  11  11・17・73・101・137・353・449・641・1409・69857・5882353  33  6  3・37・67・21649・513239・1344628210313298373  34  6  11・103・4013・2071723・5363222357・21993833369  35  7  41・71・239・271・4649・123551・102598800232111471  36  12  32・7・11・13・19・37・101・9901・52579・333667・999999000001  37  3  2028119・247629013・2212394296770203368013  38  3  11・909090909090909091・1111111111111111111  39  6  3・37・53・79・265371653・900900900900990990990991  40  11  11・41・73・101・137・271・3541・9091・27961・1676321・5964848081  41  4  83・1231・538987・201763709900322803748657942361  42  15 3・72・11・13・37・43・127・239・1933・2689・4649・459691・909091・10838689  43  4  173・1527791・1963506722254397・2140992015395526641  44  11  112・23・89・101・4093・8779・21649・513239・1052788969・1056689261  45  10  32・31・37・41・271・238681・333667・2906161・4185502830133110721  46  6  11・47・139・2531・549797184491917・11111111111111111111111  47  2  35121409・316362908763458525001406154038726382279  48  13  3・7・11・13・17・37・73・101・137・9901・5882353・99990001・9999999900000001  49  4  239・4649・505885997・1976730144598190963568023014679333  50  10  11・41・251・271・5051・9091・21401・25601・182521213001・78875943472201  51  8  3・37・613・210631・2071723・52986961・5363222357・13168164561429877  52  9  11・53・79・101・521・859・265371653・1058313049・1900381976777332243781  53  4  107・1659431・1325815267337711173 ・7198858799491425660200071  54  14  33・7・11・13・19・37・757・52579・333667・70541929・14175966169・440334654777631  55  8  41・271・1321・21649・62921・513239・83251631・1300635692678058358830121  56  12  11・29・73・101・137・239・281・4649・7841・909091・121499449・127522001020150503761  57  6  3・37・21319・10749631・1111111111111111111・3931123022305129377976519  58  8  11・59・3191・16763・43037・62003・77843839397・154083204930662557781201849  59  2  2559647034361・4340876285657460212144534289928559826755746751  60  20  3・7・11・13・31・37・41・61・101・211・241・271・2161・3541・9091・9901・27961・2906161・4188901・39526741  61  7  733・4637・329401・974293・1360682471・106007173861643・7061709990156159479  62  5  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  120  26  3・7・11・13・31・37・41・61・73・101・137・211・241・271・2161・3541・9091・9901・27961・1676321・2906161・4188901・39526741・99990001・5964848081・100009999999899989999000000010001121615973・21649・38237・274187・513239・5971491762095304123607953914976573401599434219925025382308314816822329696491672776378256410743231221011・733・4637・81131・329401・974293・1360682471・106007173861643・7061709990156159479・11205222530116836855321528257890437575145023592596037161123103・37・83・1231・538987・1811791・626920594693・9425856976319889649・201763709900322803748657942361・84146400034651612031199789065580548395264931241011・101・2791・2049349・6943319・57336415063790604359・909090909090909090909090909091・483128549554512237305554588359039822397307149685578249125941・271・751・21401・25601・1797655751・182521213001・176144543406001・420517758049563045598108590083058199751996770410992305742734517046281250011262632・72・11・13・19・37・43・127・239・1933・2689・4649・10837・23311・45613・52579・333667・459691・909091・5274739・10838689・45121231・1921436048294281・189772422673235585874485732659127318797・90679・6518718497852438209581196842331429821705369381473495010499558754235443718885196321031597538365198541492249512244661971281811・17・73・101・137・353・449・641・1409・19841・69857・976193・5882353・6187457・1265011073・834427406578561・15343168188889137818369・51521752526521326744786990681587312993・37・173・1527791・210769832431・1963506722254397・2140992015395526641・407429732767505248479163・104909749946117478481971728399560398707238325697471301311・41・53・79・131・271・859・9091・265371653・1058313049・162503518711・5538396997364024056286510640780600481・8396862596258693901610602298557167100076327481131980173・109517・141811693・446790173・7370364319027・15594845538029429933・7317723970031057677693・131758351065116151205213・180222062287834025451247081132233・7・112・13・23・37・67・89・101・4093・8779・9901・21649・513239・599144041・1052788969・1056689261・5419170769・183411838171・789390798020221・2361000305507449・13446282103132983731336239・1597・4649・2021015460335957・1111111111111111111・278848299862043143754907679390585776516393006235209786029420958416508667488018611321233079134511・493121・79863595778924342083・28213380943176667001263153660999177245677・909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909091135183^3・31・37・41・271・757・238681・333667・1577071・2906161・16357951・310362841・258360989311・440334654777631・4185502830133110721・4834184185972206772385173539152319618311361411・73・101・103・137・4013・2071723・28559389・152533657・1491383821・5363222357・21993833369・2324557465671829・6555274617188258326423007086888436687780323722265440079313752467・2535528323・1029879756928762117455431・140175894162990609843314797・12304388013741766748587780409670226810319992722055173127328805633899245853138163・7・11・13・37・47・139・277・2531・31051・143574021480139・203864078068831・549797184491917・11111111111111111111111・24649445347649059192745899・15953520863292246443489788931392119124859925363・93272815750404359428200304166180738539061812063838459731409734543103257105231510128736145692759603807144954130187343368343971402311・29・41・71・101・239・271・281・421・3541・4649・9091・27961・123551・909091・3471301・4147571・13489841・121499449・60368344121・102598800232111471・265212793249617641・84865448387949756282114173・37・283・35121409・721030498171501831・316362908763458525001406154038726382279・441506346488360048482114135141919313523563714948107161215664533500695867142511・290249・241573142393627673576957439049・45994811347886846310221728895223034301839・31321069464181068355415209323405389541706979493156189716729115659143953・79・21649・513239・2823679・180523201・265371653・47428676444591705727929369346443・372265812834899537014721842676065760371308788737973660132834733117512942031442332・7・11・13・17・19・37・73・101・137・3169・8929・9901・52579・98641・333667・5882353・99990001・999999000001・3199044596370769・9999999900000001・1119946242580356142905139433307201254339791691451141・271・3191・16763・43037・62003・9605671・77843839397・15589280974996818911・80684370001269698853996151670133742711・744909731145732233993613931089059528977143716201146711・293・12171337159・1855193842151350117・10826684964539959837294043117・286578888976194997999922592330908602103011・49207341634646326934001739482502131487446637147143・37・43・239・1933・4649・63799・4715467・10838689・505885997・267652966241599・2603941883787374089・1976730144598190963568023014679333・47693371814649591479977047538768504294271481411・101・149・3109・7253・111149・2028119・247629013・708840373781・422650073734453・296557347313446299・669031686661427842829・2212394296770203368013・40548140514062774758071840361149312517・535596779200919・1657369267941336519589012993557140069891364992082365534700548884452551757186137655887808209563554371273008938334507277118593589757150233・7・11・13・31・37・41・151・211・241・251・271・2161・4201・5051・9091・21401・25601・2906161・182521213001・78875943472201・15763985553739191709164170940063151・10000099999999989999899999000000000100001

 一般化 
10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対して n 桁のレピュニットは  と定義される。

前述のとおり、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは an−1 の約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R5(3) = 112, R4(7) = 202, R3(18) = 73 の場合しかない（Bugeaud 1999bYann Bugeaud, On the Diophantine equation , Number Theory (Turku, 1999), de Gruyter, 2001, pp. 19–24.）。Fd(x) を d'' 次の円分多項式とすると、

と表すことができる。

 脚注 

 注釈 

 出典 

参考文献

関連項目
一進法
回文数
メルセンヌ数
ゴールマハティヒ予想
レピュニット (小惑星) - 小惑星番号が11111であることから命名。
37 - 111を3で割った値。
259 - 111111を429で割った値。
12345679 - 111111111を9で割った値。

 外部リンク 

11...11 (レピュニット) の素因数分解（n = 20万までの一覧）
Factorizations of Repunit Numbers （n = 14980までの一覧）
纯元数的实验与探究
collection de nombres, rep-unit

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