オイラーのφ関数

オイラーのトーシェント関数（オイラーのトーシェントかんすう、）とは、正の整数  に対して、  と互いに素である  以上  以下の自然数の個数  を与える数論的関数  である。
これは

と表すこともできる（ここで  は  と  の最大公約数を表す）。慣例的にギリシャ文字の （あるいは）で表記されるため、オイラーの  関数（ファイかんすう、）とも呼ばれる。また、簡略的にオイラーの関数と呼ぶこともある。

1761年にレオンハルト・オイラーが発見したとされるが、それより数年前に日本の久留島義太が言及したとも言われる。

 例 

  のうち  と互いに素なのは  の 2個であるから、  である。
  のうち  以外は全て  と互いに素だから、 である。

 から  までの値は以下の通りである。
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8,…
 性質 
 を素数とすると、 から  のうちに  の素因子である  を因子として含むものは存在しないから、 が成り立つ。さらに、 を自然数としたとき、 から  の中で  を因子として含むもの、すなわち  の倍数は  個あるから、次が成立することが確かめられる。

また、 を互いに素な自然数とすると、 が成り立つ証明: の範囲の自然数  を  で割った余りをそれぞれ  とすると、その組合せ （この  は最大公約数ではなく単なる順序対である。この注の中では最大公約数は  と書く）は中国式剰余定理より  の異なる値ごとに全て異なる組合せとなり、その全体は全ての可能な余りの組合せの集合  と一致する。 が互いに素であるので「」であることは「 かつ 」と同値であり、すなわち「 かつ 」と同値である。そのような条件を満たす  の組合せは  個だけ存在する。。これをオイラーの関数は（互いに素な数の積に関して）乗法的であると言う。これらのことからさらに、任意の自然数  における値を知ることができる。実際に、 はどの二つも相異なる素因数であるとして、以下のように  を計算することができる。

自然数  で  が  を割り切るものとすると、 から  までの自然数のうち  との最大公約数が  であるものの数は  個である。特に、 から  までの自然数は  との最大公約数によって類別されるから、 が  の正の約数全てをわたる和に関して等式

が成り立つ（ は  が  を割り切るの意）。

 を位数  の巡回群とすれば、 の約数  に対して  の位数  の元は  個存在する。特に、巡回群  の生成元になりうる元は  個存在する。

自然数  とするとき、剰余環  に属する剰余類  が既約、つまり  の単数である必要十分な条件は代表元  が  と互いに素であることであるから、既約剰余類の数は  に等しい。同じことだが、群  の位数を , 環  の単数群を  で表すとき、等式

が成立する。これは特に、オイラーの定理  の成立を意味する。また同じ式から、 の  乗根で原始的であるものの一つを  とし、既約剰余類群  を円分拡大  のガロア群と見れば  が円の  分多項式の次数に等しいことも従う。

 ならば  である。また、 ならば

が成り立つ。ここで  はオイラー定数である。もし  であれば  のかわりに  とおくことができる。一般に任意の  に対して

が十分大きな  に対して成り立つ。簡明な下界として  がある。

 を約数関数とすると、 において、

が成り立つ。

トーシェント関数の値域に含まれない自然数をノントーシェントという。

 が  より大きい奇数の時、 はノントーシェントである。また、偶数であるノントーシェントは無数に存在することが知られている。 となる  が存在するならば、それは少なくとも2つ存在するだろうと予想されているが、未だに証明されていない。一方、任意の  に対して、 となる  の個数がちょうど  個であるような  は無数に存在することが知られている。

 脚注 

 関連項目 
 完全トーシェント数
 久留島喜内
 初等整数論
 フェルマーの小定理

 外部リンク 


 Kevin Ford, The number of solutions of φ(x)=m, Ann. of Math. 150(1999), 283--311.
 D. Miyata & M. Yamashita, Note on  derived logarithmic functions of Euler's functions 

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