逆数

逆数（ぎゃくすう、）とは、ある数に掛け算した結果が  となる数である。すなわち、数  の逆数  とは次のような関係を満たす。

通常、 の逆数は分数の記法を用いて  のように表されるか、冪の記法を用いて  のように表される。

 を乗法に関する単位元と見れば、逆数とは乗法逆元（じょうほうぎゃくげん、）の一種であり、乗法逆元とは一般化された逆数である。

上述の式から明らかなように、 と  の役割を入れ替えれば、 は  の逆数であると言える。従って、 の逆数が  であるとき  の逆数は  である。

 が  である場合、任意の数との積は  になるため、（ であれば） に対する逆数は存在しない。

また、任意の  について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、自然数の範囲では上述の関係を満たす数は  以外には存在しない。 を除く任意の数  について逆数が常に存在するようなものには、有理数や実数、複素数がある。これらのように四則演算が自由にできる集合を体と呼ぶ。

逆数は乗法における逆元であるが、加法における逆元として反数がある。

1つの二項演算を持つ集合であって左右の逆元が常に存在するもの（代数的構造）はループと呼ばれる。

 例 
以下に具体例をいくつか挙げる。ここで  はネイピア数、 は虚数単位、 は複素数の絶対値、 は複素数の偏角を表す。また、 は複素数  の共役複素数、 は数  の絶対値を表す。
  の逆数は 。同様に  の逆数は 。
  の逆数は 。同様に  の逆数は 。
  の逆数は 。同様に  の逆数は 。
  の逆数は 。
  の逆数は 。
  の逆数は     。
  の逆数は 。
  の逆数は 。
  の逆数は 。
 複素数  の逆数は 。

 合同式での逆数 

合同式において逆数を考えることができる。 を  で割ると  余るとき、 を  の  を法とする逆数と呼ぶ。合同式で表すと以下のようになる。 

例えば、 となるので、法  において  は  の逆数である。通常の逆数と同様、逆数の逆数は同じ数であり、 の逆数は存在せず、 や  の逆数はそれ自身である。合同式の性質から、 の倍数の逆数は存在せず、 の逆数はそれ自身になる。

定義上、 は  と互いに素である必要がある。つまり、一般に合同式での逆数は存在するとは限らない。例えば、 や  を満たす  は存在しない。

素数  を法とする場合、 以外の全ての元が逆数を持つ。法  を例とすると次のようになる。

 元 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 逆数 なし  1  9  6  13  7  3  5  15  2  12  14  10  4  11  8  16

合同式での逆数はオイラーの定理によって計算できる。 に逆数  が存在するならば

なので、

（ここで  はオイラーのφ関数）であり、逆に  と  が互いに素であれば、この式によって逆数が与えられる。特に、 が素数の場合以下のようになる（フェルマーの小定理から直接導かれる）。

また、ユークリッドの互除法によっても効率的に求めることができる。定義式は、以下のベズーの等式（ディオファントス方程式の一種）が  と  について整数解を持つことと同値である。

この式の解は、 と  が互いに素である場合、かつその場合に限り存在する。

 日本における学校教育 
日本の小学校では、小学6年生で分数の掛け算・割り算について学習する際に、逆数について学習し、（実際には具体的な数を用いる）で割ることと  を掛けることが同じ結果を得ることなどを学ぶ。この事は中学校の課程で、加法における逆元、つまり負の数について学ぶ準備になっている。

 関連項目 
 反比例
 単位分数
 エジプト式分数
 反数
 逆元
 単位元
 吸収元
 逆行列
 群 (数学)
 準群#ループ

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