運動エネルギー

は、物体の運動に伴うエネルギーである。物体の速度を変化させる際に必要な仕事である。英語の  は、「運動」を意味するギリシア語の （kinesis）に由来する。この用語は1850年頃ウィリアム・トムソンによって初めて用いられた。

 質点の運動エネルギー 
ニュートン力学において、物体の運動エネルギーは、物体の質量と速さの二乗に比例する。
つまり、速度 v で運動する質量 m の物体の運動エネルギー K は

で与えられるv は速度 v の大きさを表す。。

ニュートンの運動方程式が

と表されているとき、この力 F が時刻 t0 から t1 の間に為す仕事  は、

となる。
従って、物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい。

特に物体に一定の力 F が加えられ、物体の位置が  から  まで、 だけ変化したとき、

という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で自由落下する場合、重力加速度は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。
また、力F を物体の質量m と加速度 α の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。

 回転運動の運動エネルギー 
同様に回転運動をする物体の運動エネルギーは、角速度 ω の2乗と慣性モーメント I に比例する。

 解析力学における運動エネルギー 
ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン L は運動エネルギー K とポテンシャルエネルギー V の差として定義することができる。

この際、ラグランジアンの変数は一般化座標  とその時間微分 、及び時刻  である。
多くの場合、一般化座標として位置  や 回転角  とするので、運動エネルギーは

となる。

ハミルトン力学の出発点となるハミルトニアンH はラグランジアンのルジャンドル変換から、

として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標  と一般化運動量  である。元のラグランジアンでポテンシャルが  に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、

（ l は回転角度 θ に共役な角運動量）となり、運動エネルギーは

となる。

 脚注 

 注釈 

 関連項目 

位置エネルギー - 重力などのポテンシャルエネルギーによって発生する運動エネルギーが潜在している状態であるともいえる。

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