数学記号の表

数学的概念を記述する記号を数学記号という。数学記号は、数学上に抽象された概念を簡潔に表すためにしばしば用いられる。

数学記号が示す対象やその定義は、基本的にそれを用いる人に委ねられるため、同じ記号に見えても内容が異なっているということがあれば、逆に、異なって見える記号が同じ対象を示しているということもある数学においては、各々の記号はそれ単独では「意味」を持たないものと理解される。それらは常に、数式あるいは Well-formed formula として文脈（時には暗黙のうちに掲げられている、前提や枠組み）に即して評価をされて初めて、値として意味を生じるのである。ゆえにここに掲げられる意味は慣用的な一例に過ぎず絶対ではないことに事前の了解が必要である。記号の「読み」は記号の見た目やその文脈における意味、あるいは記号の由来（例えばエポニム）など便宜的な都合（たとえば、特定のグリフをインプットメソッドを通じてコードポイントを指定して利用するために何らかの呼称を与えたりすること）などといったものに従って生じるために、「記号」と「読み」との間には相関性を見いだすことなく分けて考えるのが妥当である。。従って本項に示す数学記号とそれに対応する数学的対象は、数多くある記号や概念のうち、特に慣用されうるものに限られる。

論理記号
以下の解説において、文字  はそれぞれ何らかの命題を表すものとする。

 記号  意味 解説  論理積、連言 (AND)  「」は「命題  と命題  がともに真」という命題を表す。  論理和、選言 (OR) 「」は「命題  と命題  の少なくとも一方は真」という命題を表す。  否定 (NOT) 「」は「命題  が偽」という命題を表す。 論理包含、含意 「」は、「命題  が真なら必ず命題  も真」という命題を表す。 が偽の場合は  は真である。  同値 「」、「」は  と  の真偽が必ず一致することを意味する。iff は if and only if の略である。  論理的帰結、伴意主に意味論的な帰結関係に使われる。
 「」と書いて「有限個の論理式  がすべて真であるなら、論理式  が真である」を意味する。
 「」と書いて「（事前に定まっている理論の）モデル  において、 に属する論理式がすべて真である」を意味する。
 「」と書いて「（事前に定まっている理論の）任意のモデルにおいて、論理式  が真である」を意味する。  推論 主に形式的な帰結関係に使われる。「」と書いて、有限個の論理式  から、形式的に論理式  を推論できることを表す。  全称限量記号 しばしば  のように書かれ、集合  の任意の元  に対して命題  が成立することを表す。  存在限量記号 しばしば  のように書かれ、集合  の中に条件  を成立させるような元  が少なくとも1つ存在することを表す。 一意的に存在 しばしば  のように書かれ、集合  の中に条件  を成立させるような元  が唯一つ存在することを表す。他の記法も同様である。   結論文頭に記され、その文の主張が前述の内容を受けて述べられていることを示す。ゆえに。  理由・根拠 文頭に記され、その文の内容が前述の内容の理由説明であることを示す。”なぜならば”。 定義 「」は、 という記号の意味するところを、 と定義することである。「」とも書く。また "" の上に "" ないし "" を書くこと（）もある。は命題を定義するときに使い、 は何らかの数量や対象を定義するときに使う。

集合論の記号
以下の解説において、 は任意の集合を、 は記号の作用素を表す。

 記号  意味 解説  のように用いる。例えば  は  の元のうち、命題  が真であるものすべてを集めた集合を意味し、これはまた  のようにもしばしば略記される（「」のような条件が省略されている場合、であるか紛れのおそれがないので省略したのかは文脈を読むべきである）。集合に対する元の帰属関係 「」は、 が集合  の元であることを意味する。「」は、 の否定、すなわち  が  の元でないことを意味する。   集合の一致 「」は集合  と集合  が等しいことを示す。   の否定 「」は集合  と集合  が等しくないことを示す。  集合の包含関係「」は  が  の部分集合であることを意味する。必要に応じて「」とも書く。他も同じ。
 は  と  が等しい場合を含み、真部分集合に対しては  が用いられる。 は真部分集合のみを指す流儀と、一般の部分集合を指す流儀がある。 が一般の部分集合を表す場合には真部分集合を  によって表わし、 が真部分集合を表す場合には一般の部分集合を  によって表わす。
 と同様、 などの記号もある。

集合演算 記号  意味 解説  共通部分 「」は集合  と集合  の共通部分を表す。または、集合族  の共通部分を表す。 のとき、上の集合族を と書くことがある。  和集合 「」は集合  と集合  の和集合を表す。また、は、集合族  の和集合を表す。 が上欄のものであるとき、上の集合族を と書くことがある。  非交和集合「」は「」に同じであるが、 が空集合であることを暗に述べている。
この場合、集合族の和集合はのように記す。差集合 「」は、集合  から集合  を除いた差集合を表す。「」も同じ。補集合 は集合  の補集合を表す。c は  の略である。「」も同じ。冪集合 は、 の部分集合をすべて集めた集合を表す。 とも書く。  順序対 元の順序付けられた組  直積集合 「」は  と  の直積を表す。一般に、集合族  の直積をのように記す。  商集合 「」は、集合  の同値関係  によって定まる  の商集合を表す。  配置集合  や  は  から  への写像をすべて集めた集合を表す。 対称差 対称差は、二つの集合に対し、一方には含まれるが他方には含まれない元をすべて集めた集合を表す: </td></tr>

写像 記号  意味 解説  写像  「」は、 が  から  への写像であることを示す。  元の対応  は、 を写像  によって写したものが  であることを意味する。文脈上明らかであれば  の記述は省略される。  合成写像 「」は写像  と写像  の合成を表す。すなわち  である。 像  写像 φ に対して、Image φ はその写像の像全体の集合（値域）を表す。写像に対して とも書く。

二項関係演算 記号  意味 解説    相等   は  と  が等しいことを表す。  不一致   は  と  が等しくないことを表す。 
(等号#ほぼ等しいを参照) ほぼ等しい 「」または「」は  と  がほぼ等しいことを表す。記号  は日本など少数の地域でのみ通用し、 の方が標準的である。その他にも  などを同様の意味で用いることもある。近似においてどのくらい違いを容認するかは文脈による。多くの場合、誤差解析的な意味で用いられ、ある誤差の見積もりの下で両者が等しいことを示すが、そのほかにも漸近解析においては漸近的に等しいという意味で用いられる。

順序構造 記号  意味 解説   大小関係, 順序 「 < 」は　 と  の間に何らかの順序が定まっていて、 の方が「先」であることを示す。必要に応じて「 > 」とも書く。 大小関係, 順序 「」とは「 または 」のことである。「」も同様に定義される。 開区間  () は  を表す。 閉区間  は { :  を表す。  半開区間 (, ] は  を表す  上限 集合  に対し、 は  の上限を表す。また、写像  に対し、 の上限をとも書く. これは の略記である。

その他、幾つかの記法のバリエーションがある。  下限 上限の対義語で、記法は上限と同様。  最大値 記法は上限と同様  最小値 記法は上限と同様

特定の集合 記号  意味  空集合  素数 (Prime numbers) の全体、射影空間など 自然数 (Natural numbers) の全体  整数 (独: Zahlen) の全体 有理数 (Rational numbers) の全体  実数 (Real numbers) の全体 代数的数 (Algebraic numbers) の全体、アフィン空間、アデールなど  複素数 (Complex numbers) の全体 四元数 (Hamilton numbers) の全体  八元数 (Octonions) の全体 十六元数 (Sedenions) の全体 グロタンディーク宇宙 (Grothendieck universe) の全体  位数  の有限体   対角線集合：。

濃度 記号  意味 解説 , card, # 濃度  は集合  の濃度を表す。 や  も同じ。可算濃度自然数全体の集合の濃度。これは極小（選択公理を認める場合は最小）の無限濃度である。連続体濃度実数全体の集合の濃度。これが可算濃度の次の濃度であるというのが連続体仮説である。

位相空間論の記号
以下、 などは集合を表す。

 記号  意味 解説   開集合系   上に定まる開集合系を表す。開集合系によって位相を定める文脈では  を  などとも書く。   閉集合系   上に定まる閉集合系を表す。閉集合系によって位相を定める文脈では  を  などとも書く。   開球体   を中心とする半径  の開球体を表す。どの集合の位相で考えているかを明記するときは  のように書く。   内部、開核   の内部 (interior) を表す。  閉包  の閉包 (closure) を表す。  境界  の境界 (frontier, boundary) を表す。   相対位相  位相空間  と  に対して、 は相対位相を表す。

 定数 

ある数学定数を表すために広く習慣的に使われる記号がいくつかある。
 記号意味 解説, 加法単位元(零元)加法における単位元、乗法の零元などを指す。加法的代数系の単位元を  あるいは  と書く。乗法単位元乗法における単位元、加法の零元などを指す。乗法的代数系の単位元を 1 あるいは  と書く。 円周率 円の直径に対する円周の比。しばしば平面の名称にも用いられる。ネイピア数（自然対数の底）リンク先参照。定義の一例として なる 。, , 虚数単位自乗して  となる数。電気工学系では電流  との混同を避けるためしばしば  を用いて、,  と共に四元数体の、上のベクトル空間としての基底をなす。

 幾何学の記号 
初等幾何 記号  意味 解説   合同  適当な方法で一致させることができる図形の間の関係。 ∽,  相似 △∽△で△と△が相似であることを表す。  座標 で平面における座標がそれぞれとに位置することを表す。  角∠や∠で点における角を表す。また、複素数の複素平面上におけるベクトルが実軸となす角度を表す。 ∟ 直角 ∟で点における角が直角であることを表す。  垂直 ⊥で直線と直線が垂直であることを表す。  平行 で直線と直線が平行であることを表す。  弧  で点  と点  を結ぶ弧を表す。

距離空間 記号  意味 解説  距離関数   で  と  との距離を表す。  径   は  ( ∈ ) 全体の集合の上限。

代数的トポロジー 記号  意味 解説  コホモロジー  ホモロジー論と代数トポロジーにおいてはコチェイン複体から定義されるアーベル群の列を意味する一般的な用語である。  ホモロジー  代数的位相幾何学や抽象代数学において、ホモロジー （「同一である」ことを意味するギリシャ語のホモス (ὁμός) に由来）は与えられた数学的対象。   ホモトピー  ホモトピーとは、点や線や面などの幾何学的対象、あるいはそれらの間の連続写像が連続的に移りあうということを定式化した位相幾何学における概念のひとつである。

 解析学の記号 

極限操作 記号  意味 解説  非常に小, 漸近記法 「」は  が  に比べて非常に小さいことを表す。「どれくらい」小さいかは文脈による。

また、函数の漸近挙動を表すこともある。 を  または  の部分集合とし、 とする。函数  は、 の除外近傍  と  の共通部分  上で  となる函数とする。函数  が

をみたすとき、 の周辺では  は  にくらべて無視できるといい、 と記す。    非常に大 「」は  が  に比べて非常に大きいことを表す。「どれくらい」大きいかは文脈による。  小さくない方, 大きくない方  で ,  の小さくない方を、 で ,  の大きくない方を表すことがある。  極限  数列  に対し、 はその数列の極限値を表す。
また、関数  に対し、 は  の  における極限値を表す。  上極限    下極限     漸近記法 関数の漸近挙動を表す。       

微分積分 記号  意味 解説   導関数, 微分 関数  に対し、 は  の導関数を表す（ラグランジュの記法）。 はダッシュともプライムとも読まれる。

また、次のようにも表記される。    偏微分 ：多変数関数  の  に関する偏微分を表す。   積分  : 関数  の区間  における積分を表す。  :  の領域  における積分を表す。  :  の不定積分。または、積分域が明らかな場合の略記。   線積分  :  の領域  における線積分を表す。   面積分  :  の領域  における面積分を表す。   体積積分  :  の領域  における体積積分を表す。  ナブラ 各成分を微分するベクトル微分作用素を表す。  ラプラシアン 2つの  の内積になるラプラスの微分作用素を表す。   ダランベルシアン 物理学において、時空の空間成分のラプラシアンに時間成分を加えたもの。    は  上で定義された  回連続微分可能な関数からなる集合を表す。  発散（湧き出し） ベクトル場  に対する  を与える。  回転（渦度）ベクトル場  に対する  を与える。  勾配 スカラー場  に対する  を与える。

関数グラフ 記号  意味 解説  ベータ関数   ゼータ関数    誤差関数 特殊関数の一種。

で定義される。 ∝ 比例 変数が比例の関係にある場合に使用する。例として、 が  に比例するとき、と表す。

 代数学の記号 
算術記号記号意味解説正符号 の反数（加法に関する逆元）を表すために負符号を用いて  と記す。反数を与える演算を負符号で表すことに対応して、 自身を与える恒等変換に正符号を用い、その結果を  のように表すことがある。負符号加法 は  と  の和を表す総和と定義され、その極限として定まる無限和を

と書く。またある命題  があるとき、 を満たすような各  についての和を取ることを

と書く。減法 は  と  の差を表す。通常、 の反数  を用いて  と定義されている。±,∓加法と減法 は  と  の和と差を表す。乗法 は  と  の積を表す。中黒 (bullet operatorまたはdot operator) を使って  と書いたり、アスタリスクを使って  とも書く。特にアスタリスクは多くのプログラミング言語において乗法の演算子として用いられる。乗法逆元はある数との積がとなる数を表す。と書かれることもある。総乗 はたくさんの加法を一挙に表すものであったが、 はたくさんの乗法を一挙に表すものである。

他の記法のバリエーションも  に同じ。除法 は  を  で割った商と剰余の組か、あるいは商を表す。 の商はしばしば分数  で表され、また斜線自体を商を与える演算子と見なすことがある。多くのプログラミング言語においては商を与える演算子として / が定義されている。(順に)階乗, 超階乗 は  の階乗を表す。 は  の超階乗を表す。クロネッカーのデルタ のとき 、 のとき 。 床関数 は  以下の最大整数を表す。天井関数 は  以上の最小整数を表す。二項係数（組合せ）通常は括弧書きで表される。C を使った記法は様々なバリエーションがある。

合同算術・初等数論記号意味解説剰余「」は整数  の属する法  の剰余類や、 を  で割った余りを表す。C言語やその影響を受けたプログラミング言語などでは整数の剰余を与える演算子として % が定義されている言語によっては % をエスケープする必要があり、たとえばR言語では %% が用られる。。Fortran のように mod を用いる言語も存在する。割り切る は、 が  を割り切る、つまり  は  の約数であることを表す。  の否定（割り切れない） は、 は  の約数ではないことを表す。合同 は  と  が  を法として合同であることを示す。位数ある群の元の個数を群の位数という。また群の元  に対し、 は  の生成する巡回群の位数を表す。最大公約数 は  と  の最大公約数を表す。 は  の略である。プログラミング言語の数学ライブラリにおいて、最大公約数を与える関数（サブルーチン）が gcd としてしばしば定義される。モジュラ逆数整数  と法  について

を満たす  をモジュラ逆数といい、 で表す。

記号意味解説冪等元環の冪等元をしばしば  で表す。プラスチック数 はという代数方程式の唯一の解。

記号意味解説絶対値 は  の絶対値である。ノルム は  のノルムである。実部複素数  に対し、 はその実部を、 はその虚部を表す。虚部共役複素数複素数  に対し、 はその共役複素数を表す。次数多項式  に対して、 はその次数を表す。冪根、根基 は  の 乗根を表す。 が 2 であるときには単に  と書くことが多い。イデアルの根基を表す。内積 は  と  の内積を表す。

記号意味解説次元ベクトル空間  に対し、「」は  の次元を表す。 行列式 は正方行列  の行列式である。跡 は正方行列  の跡である。転置 は行列  の転置行列である。階数線形写像  に対して、 は  を表す。また、行列  に対して、 は  の階数を表す。核、零空間群や環の準同型、ベクトル空間の間の線形写像  に対して、 はその準同型の核を表す。像群や環の準同型、ベクトル空間の間の線形写像  に対して、 はその準同型の像を表す。準同型の集合 は、作用域  のある代数系  の間の作用準同型 () 全体からなる集合を表す。自己同型群 は、 のそれ自身に対する同型 () 全体からなる群を表す。内部自己同型群 は、 の内部自己同型 () 全体からなる群を表す。自己準同型 は、 のそれ自身に対する準同型 (endomorphism) 全体からなる集合（モノイド）を表す。

記号意味解説生成 を群とすると、 の部分集合  に対し、 は  の生成する部分群を表す。特に、 が一元集合  であるときには  とも書く。これは  の生成する巡回群である。環やベクトル空間などについても同様の記法を使う。生成するイデアル は  の生成するイデアル多項式環、生成する環 を可換環とするとき、 は  と } を含む最小の環。生成系が不定元のみからなれば多項式の環である。有理関数環、生成する体 を可換体とするとき、 は  と } を含む最小の体。生成系が不定元のみからなれば有理式の体である。非可換多項式環、生成する環 を非可換環とするとき、 は  と } を含む最小の環。

 統計学の記号 
統計学 記号  意味 解説 r. v. 確率変数  の略 p. m. f. あるいは pmf  確率質量関数  の略 p. d. f. あるいは pdf 確率密度関数  の略  “確率変数”が“確率分布”に従う  は確率変数  が確率分布  に従うことを表す i. i. d. 独立同分布  の略。 は確率変数  が同じ確率分布に独立に従うことを表す  確率  は事象  の確率  期待値  は確率変数 の期待値。
確率分布に対して定義する場合は「平均」と呼ばれる。  分散  は確率変数  の分散  共分散  は確率変数  の共分散  正規分布 平均 , 分散  の正規分布  相関係数 確率変数の相関係数  代表値 dsvはdescriptive statistics valueから来ている。  中央値 メジアン、メディアン、メデアンとも呼ぶ。  範囲 レンジとも呼ぶ。  最頻値 モードとも呼ぶ。

 脚注 

 注釈 

 出典 

 参考資料 
JIS Z8201 数学記号
 関連項目 
 物理定数
 黒板太字
 ISO 80000-2 - ISO 31-11

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