高度合成数

番目  高度合成数  約数の個数 1 1 1 2 2 2 3 4 3 4 6 4 5 12 6 6 24 8 7 36 9 8 48 10 9 60 12 10 120 16 11 180 18 12 240 20 13 360 24 14 720 30 15 840 32 16 1260 36 17 1680 40 18 2520 48 19 5040 60 20 7560 64 21 10080 72 22 15120 80 23 20160 84 24 25200 90 25 27720 96 26 45360 100 27 50400 108 28 55440 120 29 83160 128 30 110880 144
高度合成数（こうどごうせいすう、英: highly composite number）とは、自然数で、それ未満のどの自然数よりも約数の個数が多いものをいう。

1から順に高度合成数を表すと
1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680,…()

例えば24は約数を（1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24）と8個持ち、24未満で約数を8個以上持つ自然数は存在しないので、高度合成数である。なお1と2は合成数ではないが、高度合成数に含める。
75px|thumb|を用いた最初の4つの高度合成数1, 2, 4, 6のデモンストレーション

 素因数分解との関係 
約数の個数は素因数分解で求まる。例えば 15120 = 24 × 33 × 5 × 7　であるから、約数の個数は (4+1) × (3+1) × (1+1) × (1+1) = 80 個である。

 概要 
高度合成数の概念は、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンにより考案された。

明らかに高度合成数は無限に存在する。というのも、正整数の正の約数の個数はいくらでも大きくなりうるためである。

高度合成数は

という形で素因数分解され、

を満たす数である (p(b)は 2 から数えてb番目の素数)。

また素因数には 2 から p(b) までの全ての素数を含む。

なお 4 と 36 以外の高度合成数では ap= 1 である。

したがって高度合成数のうち平方数は 4 と 36 のみであり、それ以外の累乗数は高度合成数にはなりえない。

高度合成数は、伝統的な度量衡の体系にしばしば現れ（例：時間の24や 60、角度の360、ダースの 12 など）、また工学的な設計によく使われる。

これは除算を含む計算が簡単に行える利点による。

Q(x) で x 以下の高度合成数の個数を表すと、1 より大きな定数 a, b が存在して
(loge x)a ≤ Q(x) ≤ (loge x)b
が成り立つ。

 関連項目 
 合成数
 超過剰数

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