ピタゴラスの定理

初等幾何学におけるは、直角三角形の3辺の長さの間に成り立つ関係について述べた定理である。その関係は、斜辺の長さを , 他の2辺の長さを  とすると、

という等式の形で述べられる。

現在の日本ではとも呼ばれている。

またこの定理の逆、すなわちに「ならば三角形が直角三角形である」という主張も正しい。

 で特に全てが自然数であるものは、本質的に可算個あることが知られており、ピタゴラス数と呼ばれている。

 定理の概要 
直角三角形において、斜辺の長さを 、直角をはさむ 2辺の長さをそれぞれ   とすると、次の等式が成り立ち、「ピタゴラスの定理」と呼ばれる：

ピタゴラスの定理によって、直角三角形において2辺の長さが分かっていれば、残りの1辺の長さを計算することができる故に  の自由度は2次元である。。ここで  はいずれも正であるから、

となる。ここで  は負でない平方根を表す。

これを用いると、点の座標から（ユークリッド空間中の）2点間の距離（、ユークリッド距離）を求めることができる。もしも、座標系が正規直交座標系であるなら、2点間の距離は、2点の各座標の差の 2乗の総和の平方根となる2次元直交座標系においては、原点 と点 の距離は  と表すことができる。ここで  は負でない平方根を表す。。ここで、空間の次元は任意である。

またこの定理の逆、すなわちに「ならば三角形が直角三角形である」という主張も正しい。例えば、, , の三角形は、必ずｃと向かい合う角が直角になる。これを用いると、直角を作図することができる。

この定理は、余弦定理によって一般の三角形に拡張される：任意の三角形において、1つの内角の大きさとそれをはさむ2辺の長さから残りの辺（対辺）の長さを計算できる。特にここで考えている内角の大きさが直角の場合、余弦定理はピタゴラスの等式に帰着する。

ピタゴラスの基本三角関数公式

ピタゴラスの定理は、三角関数についての非常に重要な関係式ピタゴラスの基本三角関数公式 　と同値である。

ただし、長さがaの辺と斜辺（長さｃ）との間の角度をとした。また、三角関数,は、と初等幾何学的に定義した。（証明は、上記の式に,の定義を代入して整理すればよい。）

なお、幾何的な描像とは無関係に、三角関数をテーラー展開や積分などを用いて定義すれば、この関係式はピタゴラスの定理とは無関係に、三角関数の定義から直接証明できる。ただし、そのような三角関数の定義をした場合には、例えばの定義はもはやではないので、直ちにこの式からピタゴラスの定理が導かれるわけではない。

 歴史 
260px|thumb|バビロニア数学について記された粘土板プリンプトン322

「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」などいくつかの伝承が伝えられているが、実際はピタゴラスが生まれる前からピタゴラスの定理は広く知られていた。

判明している最初期のものは、ピタゴラスが生まれる1000年以上前のバビロン第1王朝時代ごろ（紀元前20世紀から16世紀の間）とされる: p.36 "In other words it was known during the whole duration of Babylonian mathematics that the sum of the squares on the lengths of the sides of a right triangle equals the square of the length of the hypotenuse.": p.306 "Although Plimpton 322 is a unique text of its kind, there are several other known texts testifying that the Pythagorean theorem was well known to the mathematicians of the Old Babylonian period.", p.406, "To judge from this evidence alone it is therefore likely that the Pythagorean rule was discovered within the lay surveyors’ environment, possibly as a spin-off from the problem treated in Db-146, somewhere between 2300 and 1825 BC." ((Db-146) is an Old Babylonian clay tablet from Eshnunna concerning the computation of the sides of a rectangle given its area and diagonal.): p.109 "Many Old Babylonian mathematical practitioners … knew that the square on the diagonal of a right triangle had the same area as the sum of the squares on the length and width: that relationship is used in the worked solutions to word problems on cut-and-paste ‘algebra’ on seven different tablets, from Ešnuna, Sippar, Susa, and an unknown location in southern Babylonia."。バビロニアの粘土板『プリンプトン322』には、ピタゴラスの定理に関わる要素が数多く含まれている。YBC 7289の裏面にはそれらしい記述がある。

古代エジプト数学にはピタゴラス数についての記述があり、ナイル川の氾濫のあとで土地を元どおり区割りする際に、直角を取るため 3:4:5の直角三角形が利用された可能性がある。紀元前2000年から1786年ごろに書かれた古代エジプトエジプト中王国のパピルス "" には定理に関わる部分が欠けている。

紀元前3世紀に書かれた「ユークリッド原論」の中でピタゴラスの定理に該当するものは、第1巻の47番目の命題である。(なお、ピタゴラスの定理の逆は、その次、すなわち48番目の命題。）ここでは、昔から経験則として知られていたこの法則に、幾何学的な証明を与えている。しかし「原論」中ではピタゴラスについて何も言及がなく、この定理にも名前がついていない。

この定理がピタゴラス学派の業績であると述べる現存する最古の文献は、紀元5世紀のプロクロスによる『ユークリッド原論第一巻註解』である。同書の「第47番の命題」に関する記述は、定理の歴史的背景や、ピタゴラス派による研究について言及し、彼らがこの定理の証明をおこなったこと、さらに牡牛を生贄に捧げて祝ったと書く。後世においてこの定理をピタゴラスの業績とする根拠は、プロクロスの注解によるEli Maor - The Pythagorean Theorem.(邦題:「ピタゴラスの定理 4000年の歴史　岩波書店」p85)。

インドの紀元前5-8世紀に書かれた『シュルバ・スートラ』などにも定理に関わる文章が見られる。しかし、これはバビロニア数学の影響を受けた結果ではないかという推測もされているが、結論には至っていない。

250px|thumb|『周髀算経』におけるピタゴラスの定理の証明（）
中国古代においては、『周髀算経』（紀元前2世紀前後）や『九章算術』の数学書でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を勾股定理、商高定理等と呼んで説明している。

250px|thumb|レオナルド・ダ・ヴィンチによるピタゴラスの定理の証明。橙色の部分を 度回転し、緑色の部分は裏返して図の位置にできる。

 日本での呼称 
日本の和算でも、中国での呼称を用いて等と呼んでいたコラム ピタゴラスの定理 江戸の数学 国立国会図書館 p.105 より。「勾（鈎）・股・弦」とはそれぞれ、 としたときの  を表している。

日本の明治時代の中等学校の教科書では「ピュタゴラスの定理」と呼ばれていた。

現在、ピタゴラスの定理は「三平方の定理」とも呼ばれているが、「三平方の定理」と呼ばれるようになったのは1942年（昭和17年）の太平洋戦争開始後のことである。

このときに「鉤股弦の定理」とする案などもあったが、末綱恕一（東大教授）の発案で「三平方の定理」に改められたとされる。

 一般化 
 角の一般化 

第二余弦定理

はピタゴラスの定理を  の場合として含む。
つまり、第二余弦定理はピタゴラスの定理を一般の三角形に対して拡張した定理になっている。

 長さから面積への一般化 

3次元空間内に平面があるとき、その閉領域  の面積は、 平面、 平面、 平面への射影の面積  を用いて

と表される。これは高次元へ一般化できる。

 内積付きベクトル空間 
 において角Cが直角だとする。CからA、CからB,AからBにむかう幾何ベクトルを、,　とする。すると、ピタゴラスの定理は次のように表現できる。

ただし、は幾何ベクトルの長さ（ノルム）である。

幾何ベクトルとは限らない、一般の内積付き実ベクトル空間においても、上記と同様の関係がなりたつ。（次元は無限次元でもよい。）

すなわち、とし、ノルムをで定義すると、

である。

ここで、、が直交する、すなわちと仮定する。すると、直ちにが導かれる。

逆に、が成立することを仮定すると、が導かれる。これは、ピタゴラスの定理の逆に対応する。

また、、の間の角度を等式
で定義すると、 

である。これは、第二余弦定理に対応する。

情報幾何学におけるピタゴラスの定理
情報幾何学、あるいは統計多様体の理論においては、カルバック・ライブラー情報量などの正準ダイバージェンスは、これを距離の2乗に見立てたピタゴラスの定理を満たすことが知られている。なお、ユークリッド距離の2乗は、適切な接続のもと、正準ダイバージェンスとみなすことができるので、ユークリッド幾何のピタゴラスの定理は、情報幾何学のピタゴラスの定理の特殊な例と考えることができる。

 ピタゴラス数の指数の一般化 

指数の  の部分を一般化すると

となる。 の場合、自明（つまり  の少なくとも1つが 0）や既知解（原始ピタゴラス数の定数倍）を除いても、整数解は実質無数に存在するが、 の場合は非自明な整数解は存在しない。

 ピタゴラス数 

3辺の長さが何れも整数である直角三角形は、ピタゴラスの定理の項目の中で古くから知られた。例えば、紀元前1800年ごろのバビロニアの粘土板には、3辺の長さの表（例えば  のようなもの）が出ている。

 を満たす自然数の組  をピタゴラス数 () という。特に、 が互いに素であるピタゴラス数  は原始ピタゴラス数  と呼ばれる。全てのピタゴラス数は原始ピタゴラス数で  の正の整数倍  で表されるから、ピタゴラス数のリストを知るには、原始ピタゴラス数が本質的である。

ピタゴラス数  が原始的であるためには、3つのうちある2つが互いに素であれば十分である。原始ピタゴラス数の小さい方のリストは、 で、 とすると次の通りである の順序はによる。 を昇順に並べると、それぞれおよびになる。：
(, , ) = (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

 ピタゴラス数の性質 

ピタゴラス数  には、次の性質がある。
  または  は  の倍数
  または  は  の倍数
  または  または  は  の倍数
 したがって、積  は  の倍数である。
自然数の組  が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数  が
  は互いに素

  と  の偶奇が異なる（一方が偶数で他方が奇数）
を満たすとして、
  または 
であることが必要十分である。上記の  は無数に存在し重複がないので、原始ピタゴラス数は無数に存在し、すべての原始ピタゴラス数を重複なく列挙できる。

例えば
 のとき 
 のとき 
 のとき 
である。 を満たす原始ピタゴラス数を  の昇順に並べた一覧表は以下のようになる の順序はによる。。
+原始ピタゴラス数の一覧表 #           1 2  1  3  4  5 2 3  2  5  12  13 3 4  3  7  24  25 4 4  1  8  15  17 5 5  4  9  40  41 6 6  5  11  60  61 7 6  1  12  35  37 8 7  6  13  84  85 9 8  7  15  112  113 10 8  1  16  63  65 11 9  8  17  144  145 12 10  9  19  180  181 13 5  2  20  21  29 14 10  1  20  99  101 15 11  10  21  220  221 16 12  11  23  264  265 17 12  1  24  143  145 18 13  12  25  312  313 19 14  13  27  364  365 20 7  2  28  45  53 21 14  1  28  195  197 22 15  14  29  420  421 23 16  15  31  480  481 24 16  1  32  255  257 25 7  4  33  56  65 #           26 17  16  33  544  545 27 18  17  35  612  613 28 9  2  36  77  85 29 18  1  36  323  325 30 19  18  37  684  685 31 8  5  39  80  89 32 20  19  39  760  761 33 20  1  40  399  401 34 21  20  41  840  841 35 22  21  43  924  925 36 11  2  44  117  125 37 22  1  44  483  485 38 23  22  45  1012  1013 39 24  23  47  1104  1105 40 8  3  48  55  73 41 24  1  48  575  577 42 25  24  49  1200  1201 43 10  7  51  140  149 44 26  25  51  1300  1301 45 13  2  52  165  173 46 26  1  52  675  677 47 27  26  53  1404  1405 48 28  27  55  1512  1513 49 28  1  56  783  785 50 11  8  57  176  185 #           51 29  28  57  1624  1625 52 30  29  59  1740  1741 53 10  3  60  91  109 54 15  2  60  221  229 55 30  1  60  899  901 56 31  30  61  1860  1861 57 32  31  63  1984  1985 58 32  1  64  1023  1025 59 9  4  65  72  97 60 33  32  65  2112  2113 61 34  33  67  2244  2245 62 17  2  68  285  293 63 34  1  68  1155  1157 64 13  10  69  260  269 65 35  34  69  2380  2381 66 36  35  71  2520  2521 67 36  1  72  1295  1297 68 37  36  73  2664  2665 69 14  11  75  308  317 70 38  37  75  2812  2813 71 19  2  76  357  365 72 38  1  76  1443  1445 73 39  38  77  2964  2965 74 40  39  79  3120  3121 75 40  1  80  1599  1601
また、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーは一般のピタゴラス数  に対して、（直角三角形の面積）は平方数でないことを無限降下法により証明した、。

 Jesmanowicz 予想 
1956年に Jesmanowicz が次の予想を提出した：
 を原始ピタゴラス数、 を自然数とする。方程式：

の自然数解  は

のみである。

 特別なピタゴラス数 
 直角をはさむ2辺  が連続する原始ピタゴラス数は
（）
である。この問題はフランスの数学者ピエール・ド・フェルマーが出題し、解も発見した。
 斜辺  と他の2辺の和  が両方とも平方数になる最小のピタゴラス数は

である。この問題はピエール・ド・フェルマーが出題し、解も発見した、を参照。ただしオンライン数列内のコメント内にある  の値が間違っているので注意が必要。。
 ピタゴラス数 () において  の差が 1 で、 が平方数になるのは  に限られる。

 3辺の長さが  の直角三角形と、周の長さと面積の両方が同じ値となる、すべての辺の長さが整数である二等辺三角形が存在するならば、そのような直角三角形は全て相似であり、最小の () の値は、 である世界に1つだけの三角形の組 慶應義塾大学理工学部KiPAS、2018年9月12日。

 ピタゴラスの定理の証明 
この定理には数百通りもの異なる証明がある。

 相似による証明 
250px|thumb|相似を用いた証明
頂点  から斜辺  に下ろした垂線の足を  とする。 と  は相似である。ゆえに

であり、同様に

である。したがって

であるから、両辺に  を掛けて

を得る。

この証明の中の計算は、、三角比を用いると見通しがよくなる：

本証明を一般の三角形に拡張すると、第二余弦定理の証明が得られる。

 合同による証明 
サムネイル|三平方の定理の合同による証明|330x330ピクセル
 と  が合同になるように，図のように  , を取る。また、とする。

わかりやすいように整理すると、 が隣辺、 が対辺、 が斜辺の長さを示す。

四角形  の面積  を二通りの方法で表す。

  と  は直交するので， 　

   の面積は ， の面積は  より 

よって、

両辺にをかけて

以上2つの式より三平方の定理を得る。

 外接円を用いた証明 
297px|thumb|外接円を用いた証明
 のとき、斜辺 を直径とする円 を描くことができる。

このとき点 から直径 に下ろした垂線の足を  とし、 に対して三平方の定理を証明する。 とする。

 なので、

 正方形を用いた証明 
250px|thumb|正方形を用いた証明
 と合同な4個の三角形を右図のように並べると、外側に一辺が  の正方形（以下「大正方形」）が、内側に一辺が  の正方形（以下「小正方形」）ができる。
（大正方形の面積）=（小正方形の面積）+（直角三角形の面積）× 4
である。大正方形の面積は , 小正方形の面積は , 直角三角形1個の面積は  である。これらを代入すると、

整理して

を得る。

250px|thumb

 内接円を用いた証明 
 において、内接円の半径  を用いて面積  を表すと

となるが、より、

となるから、 に ,  を代入すると

整理すると

が得られる。

 オイラーの公式を用いた証明 
三角関数と指数関数は冪級数によって定義されているものとする。（指数法則やオイラーの公式の証明に本定理が使用されない定義であればよい。）

[定義]

任意の0でない複素数  に対し、 だから

となる実数  が存在する。
このように絶対値  と偏角 θ で表したものを  の「極表示」といい、  を円の半径または、動径の長さもしくは、斜辺という。
このとき  とすれば

となる。
これが実変数  の関数としての  の幾何学的意味を表す。
即ちベクトル  の 虚軸、実軸への正射影が  なのである。
ここで、虚軸と実軸の交点は直交しているから、虚軸と実軸の正射影は直交する。

[証明]

まず が任意の複素数  に対して成り立つことを（3通りの方法で）示す。

オイラーの公式より

または

もしくは、オイラーの公式から三角関数の半角の公式を導出する。

 の式はピタゴラスの基本三角関数公式  と呼ばれている。

 の時点ですでに単位円上において本定理の成立が明らかである。なぜならば、実数の範囲では、単位円上の偏角  の点の座標として定義した  と上記の冪級数による定義は一致するからである。

前提とした  について、 とおけば

, ,  より

ゆえに

が得られる。

 三角関数の微分公式を用いた証明 
正弦および余弦関数を微分すれば

,  および微分公式より

したがって

ここで  は定数である。 を代入すると  であるので、 が得られる。よって

が得られる。

あとは前節と同様にして

が得られる。

 三角関数の不定積分を用いた証明 
下記のように関数を定める。

上記を漸化式を利用して不定積分すると

である不定積分の漸化式。微分積分学の基本定理を考慮し、これを微分すると

である。したがって

ゆえに、ピタゴラスの定理は成立する。

三角関数の加法定理を用いた証明 
三角関数の加法定理は、三平方の定理を使わないで証明できる。本定理を使わないで証明した、三角関数の加法定理を使うと、

または

が得られる。
また、加法定理から導かれる半角公式を適用すると

したがって

が得られる。

あとはこれまでと同様にして

が得られる。

 冪級数展開を用いた証明 
三角関数は級数によって定義されているものとし、 と  の自乗をそれぞれ計算すると

となる級数の収束半径は  であるからこれは任意の複素数  に対して成り立つ。。ここで二項定理より

である。したがって

が得られる。

あとはこれまでと同様にして

が得られる。

 回転行列を用いた証明 
平面において原点を中心とする角  の回転の表現行列は

であるが、このことも三平方の定理を用いないで証明が可能である。
ただし、加法定理とは同値の主張であるから、すでに述べた「加法定理による証明」（とくに、その第一の証明）と独立した証明にはなっていない。

（単位行列）であるが、この式の左辺を直接計算すると

となる。したがって

が得られる。

あとはこれまでと同様にして

が得られる。

 三角関数と双曲線関数を用いた証明 
任意の  に対し

である。よって任意の  に対して

が成り立つ。

あとはこれまでと同様にして

が得られる。

 複素数の絶対値の定義を用いた証明 

[定義]

複素数  の絶対値  は、複素数平面上において、原点  と  の距離  に等しい。
複素数 （ は実数）（ は虚数単位）の絶対値はピタゴラスの定理とは関係なく次の式で定義される。

絶対値の定義より

である。

 ピタゴラスの定理の逆 
ピタゴラスの定理は、逆も真となる。すなわち、 に対して

が成立すれば、 は  の直角三角形となる。

 証明 
 ピタゴラスの定理に依存しない証明 
250px|thumb|ピタゴラスの定理に依存しない証明
 が  を満たすとする。線分  を  に内分する点を  とすると

である。これより

であるから2辺比夾角相等より 。

同様に

となるから

となる。

 より

一方

であるから、,  より

,  より

ゆえに  は  の直角三角形である。

 同一法を用いた証明 
 である直角三角形  において、{{math2|1=A'B' = c'''}} とすれば、ピタゴラスの定理より

が成り立つ。
一方、仮定から  において

が成り立っている。,  より

 より

したがって、3辺相等から

。ゆえに  は  の直角三角形である。

 対偶を用いた証明 
 において  であると仮定する。頂点  から直線  に下ろした垂線の足を  とし、 とする。

 の場合、直角三角形  においてピタゴラスの定理より

であり、同様に直角三角形  では

である。よって

となる。

 の場合も同様に考えて

ゆえに

となる。

よっていずれの場合も

である。対偶を取って、 ならば  である。

なお、この証明から分かるように、



という対応がある。

 余弦定理を用いた証明 
250px|thumb|余弦定理を用いた証明
ピタゴラスの定理は既知とすると、それより導かれる余弦定理を用いることができる。 において、 とおくと、余弦定理より

一方、仮定より

であるから

となる。三角形の内角の和は  であるから  より、

ゆえに  は  の直角三角形である。

 ベクトルを用いた証明 
 において

であり

である。
ここで

である。したがって

である。よって

である。ゆえに、ピタゴラスの定理の逆が証明された。

 脚注 

 注釈 

 出典 

 参考文献 



  — 原題：''.
  — 原題：

  — 原題：.



 関連項目 

 計量テンソル
 算数チャチャチャ
 ピタゴラス
 プリンプトン322
 ユークリッド原論
 フェルマーの最終定理
 ピタゴラス三体問題

 外部リンク 





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