ディラック方程式

ディラック方程式（ディラックほうていしき、）は、フェルミ粒子を記述するディラック場が従う基礎方程式である。ポール・ディラックにより相対論的量子力学として導入され、場の量子論に受け継がれている。

 歴史 
非相対論的なシュレーディンガー方程式を、相対論へ対応するための拡張として、最初クライン-ゴルドン方程式が考案された。これは負のエネルギー解と負の確率密度の問題が生じた（この問題は、その後の場の量子論においては回避される）。また、クライン-ゴルドン方程式にはスピンが出てこない問題もあった（これはクライン-ゴルドン方程式に従うスカラー場がスピンを持たない粒子を記述する為である）。

ポール・ディラックは1928年にディラック方程式を基礎方程式とする（特殊）相対論的量子力学を見出した。ディラック方程式からは負の確率密度は生じず、スピンの概念が自然に現れる。

しかし、ディラック方程式からは、自然界には存在しないような負のエネルギーの状態が現れるという問題があった。そこで、オスカル・クラインは、ある種の強いポテンシャルのもとで正エネルギーの電子が負エネルギー状態へ遷移しうることを示して、理論から負エネルギー状態を完全に排除することが困難であることを指摘した。

1930年にディラックは「真空とは、負エネルギーの電子が完全に満たされた状態である」とするディラックの海の概念（空孔理論、）を考案した。ディラックの海では負エネルギーの電子が取り除かれた「空孔」が生じることがあるが、ディラックは当初この空孔による粒子を陽子であると考えた。後に空孔は陽電子であることが指摘された（ヘルマン・ワイル、ロバート・オッペンハイマーによる）。ディラックの海の空孔は正のエネルギーを持ち、反粒子に対応する。光による電子と陽電子の生成は、真空中の負エネルギー電子が光を吸収して正エネルギー状態へ遷移し、あとに空孔を残す現象として説明される。1932年のデヴィッド・アンダーソンによる陽電子の発見により、ディラックの海は現実の現象を説明する優れた理論とされた。

その後、リチャード・P・ファインマン等により拡張、解釈の見直しが図られた（相対論的な場の量子論）。その結果、ディラックの海を考えなくとも、電子と陽電子を対称に扱うことができるようになった。

 ディラック方程式 
クライン・ゴルドン方程式は2階の時間微分を含むことが問題であるため、微分演算子を線形になるように定義する。この方程式が見たさなければならない条件を見出し、この係数、を決める。この方程式の解がクライン・ゴルドン方程式を満たすとして、がクライン・ゴルトン方程式の形のように一致するよう定める。展開すると、係数を比較すると、まとめるために、と置くと、であり、ここで、ηはミンコフスキー計量である。括弧積は反交換子である。方程式の左からβをかけると条件から、新たにであり、と置き、微分演算子もまとめれば、ディラック方程式は、となる。


ディラック方程式は  とする自然単位系では

と表される。ψ は4成分スピノルの場（ディラック場）である。

m は ψ の質量である。μ=0,1,2,3 についてはアインシュタインの縮約記法を用いる。微分 は

である。
 はガンマ行列（ディラック行列）と呼ばれる 4×4行列で

を満たす。 はミンコフスキー空間の計量テンソルである。ディラック方程式は3次元的に書けば

となる。移項して左から  を掛ければ

と表すことができる。
ただし  である。ここで はディラックのハミルトニアンと呼ばれる。

の反交換関係をの反交換関係に置き換えると、となり、これをディラック代数という。

 ディラックの着想 
相対論的な量子力学の基礎方程式として考案されたクライン-ゴルドン方程式

は、時間について2階の微分方程式であることから負の確率密度を生じ、確率解釈が困難となる問題を抱えていた。これを時間について1階の微分方程式

に帰着させるべく、ディラックは空間成分についての2階微分を1階微分に分解した関係式

を満たすように４つの係数 α=(α1, α2, α3)、β を与えることを考えた。このとき、αi(i=1,2,3)、βに要求される代数関係は

となるが、こうした性質を満たすには係数は行列でなくてはならない。

 ローレンツ共変性 
ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。

即ち、ローレンツ変換

(μ,ν=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、

となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4×4行列 D(Λ) は

によって定まる。

ワイル表示においては行列式 1 の2×2行列 M を用いて

と書くことができる。例えば、z-方向のブーストの場合は

となる。
出典

参考文献
原論文


関連項目
相対性理論
量子力学
場の量子論
運動方程式
クライン＝ゴルドン方程式 - スピン0の相対論的ボース粒子。スカラー場。

マクスウェル方程式 - スピン1、質量0の相対論的ボース粒子。ベクトル場。
プロカ方程式 - スピン1、質量が0でない相対論的ボース粒子。ベクトル場。
ラリタ＝シュウィンガー方程式 - スピン3/2。ベクトル・スピノル場（ラリタ＝シュウィンガー場）。
アインシュタイン方程式 - スピン2。
マクシモン - 修正ディラック方程式

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