転置行列

転置行列（てんちぎょうれつ、）とは、 行  列の行列  に対して  の  要素と  要素を入れ替えてできる  行  列の行列のことである斎藤2017 p.31。転置行列は  などと示される。行列の転置行列を与える操作のことを転置（てんち、）といい、「 を転置する」などと表現する。

特に正方行列に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。

 定義 
行列

の転置行列  は

で定義される。このとき  は 行列である。

 性質 
 は行列、 はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて以下のことが成り立つ。
 転置の転置は元の行列を与える（対合性）：
 和の転置は転置の和を与える（加法性）：
 行列のスカラー倍の転置は転置行列のスカラー倍を与える（斉次性）：
 斉次性および加法性から線型性が成り立つ：
 積の転置は積の左右を入れ替えた転置の積を与える：

正方行列の性質
 逆行列の転置は転置の逆行列を与える斎藤2017 p.32：
  次正方行列  の跡を  で表すと 
  次正方行列  の行列式を  で表すと 斎藤2017 p.90
  次実正方行列 ,  次ベクトル  に対して、標準内積を  で表すと、

 転置行列により定義される行列 
転置により定義される特別な行列として以下がある斎藤2017 p.74。
対称行列：転置が元の行列と等しい (）
反対称行列：転置が元の行列に −1 をかけたものになる（)
直交行列：転置が元の行列の逆行列になる（)
これらの行列はそれぞれ随伴行列（行列のエルミート共役）に対するエルミート行列、歪エルミート行列、ユニタリ行列に相当する。

 線形写像との関係 

 行列  を  次元ベクトル空間  から  次元ベクトル空間  への線形写像  とみなすとき、 の転置行列  には  の転置写像  が対応する。これは  の双対空間  から  の双対空間  への線形写像  で、 に対して

によって定義される。この定義は  と  の自然なペアリングを  と表記すれば、 に対して

という関係式によって書き直すこともできる。

 脚注 
 出典 

 参考文献 

 関連項目 
 対称行列
 反傾行列
 随伴行列
 反対称行列
 直交行列
 双対ベクトル空間

 外部リンク 


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