正方行列

正方行列（せいほうぎょうれつ、）とは、行要素の数と列要素の数が一致する行列である。サイズが n × n つまり、n 行 n 列であるとき、n 次正方行列という。

性質
 同じサイズの正方行列の全体には加法・乗法が定義可能で、環をなす。（これは行列のサイズが n × n のとき n 次の全行列環と呼ばれる。）
 可換環上 1 次の場合（スカラー）をのぞいて、全行列環は非可換。
 実数体 R 上で定義された 2 次の全行列環は複素数体 C と同型な部分体を含む。
 複素数体 C 上定義された 2 次の全行列環あるいは R 上定義された 4 次の全行列環は、四元数体 H に同型な部分斜体を含む。
可換環上で定義される正方行列には行列式を定義できる。
単元と冪等元の積として書ける。

正方行列に対して定義されているもの
正方行列に対して定義されているものを以下に示す。

逆行列 - (逆元#逆行列・擬逆行列、可逆元参照)
行列式
固有値
特異値
トレース

特異値を除くと、通常これらは正方行列でのみ定義されている。

特殊な正方行列
 三角行列 - 対角行列 - 単位行列
 エルミート行列 - 対称行列
 正則行列 - 逆行列
 ユニタリ行列 - 直交行列
 カルタン行列

関連項目
ケイリー・ハミルトンの定理
線型代数学

 外部リンク 


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