Meðalgildissetningin

Meðalgildissetningin er mikilvæg setning í örsmæðareikningi sem segir í stuttu máli að snertill þjáls ferils á gefnu bili er í einhverjum punkti samsíða sniðli fallsins. Lagrange setti regluna fram á 18. öld, en Cauchy setti hana stuttu síðar fram í almennara formi.

Hægt er að túlka regluna á eftirfarandi hátt: Ef bíl er ekið 100 kílómetra vegalengd á klukkustund þá hefur bílinn farið yfir á 100km/klst að meðaltali. Samkvæmt því ætti hann á einhverjum tímapunkti að hafa ekið á nákvæmlega hraðanum 100km/klst. Þ.e. ef hann hefur ekki haldið nákvæmlega hraðanum 100km/klst alla leið hlýtur hann að hafa keyrt hægar en 100km/klst stundum og stundum hraðar.

Almennt séð segir setningin að þegar maður hefur fall f : [a, b] → R sem er samfellt á lokaða bilinu [a, b] og deildanlegt á opna bilinu (a, b), þá er til eitthvert c á milli a og b þ.a.

Hérna táknar  afleiðu fallsins f í punktinum c og  táknar meðal breytingu á fallinu yfir bilið [a, b] eins og beina línan sýnir á sýnimyndinni til hægri.

Til eru mismunandi útgáfur af þessari setningu og eru þær listaðar hér fyrir neðan.

 Meðalgildisregla Cauchy 

Gerum ráð fyrir að f og g séu deildanleg föll á bilinu [a,b] og að g'(x) sé aldrei núll.  Þá er til t ∈ ]a,b[ þannig að:

 Sönnun 
Sönnunin byggir á skilning á deildun og reglu Rolles.
Skilgreinum nýtt fall G(x):

Þar sem G(a)=0 og G(b)=0 er til tala t ∈ ]a,b[ svoleiðis að G'(t)=0.  Nú er G'(x):

Látum x=t og við fáum:

Þar sem g er aldrei núll á bilinu ]a,b[ og g(a) ≠ g(b) getum við deilt og fengið:QED'

Meðalgildisregla Cauchy's er einnig stundum kölluð útvíkkaða meðalgildissetningAdvanced calculus: an introduction to modern analysis By William L. Voxman, Roy Goetschel.

 Tenglar 


 Heimildir 

Flokkur:Örsmæðareikningur
Flokkur:Stærðfræðisetningar