Zetufall Riemanns

Zetufall Riemanns, táknað með ζ(s), er tvinngilt fall með tvinntölubreytu s, sem skilgreint er á tvinntalnasléttunni, nema þar sem raunhluti breytunnar er einn. 

Zetufallið er skilgreint þannig, fyrir Re(s) > 1:

en mögulegt er að útvíkka það yfir alla tvinntalnasléttuna, þar sem Re(s) ≠ 1. Ofantalin framsetning Zetufallsins er sértilvik af Dirichlet-röð með an = 1.

Útvíkkun á tvinntalnasléttunni
Útvíkkun zetufallsins á allri tvinntalnasléttunni, þar sem Re(s) ≠ 1 gefur:

þar sem heildað er meðfram jákvæða hluta x-ássins, einu sinni umhverfis núllpunktinn, sem einnig rita á forminu

Zetufallið sett fram með margfeldum Eulers
Leonhard Euler, setti fram eftirfarandi samband fyrir rauntölu s > 1:


þar sem p er frumtala (prímtala).

(Með því að setja s = 1 fæst umhverfuröð.) 

Riemann sýndi af röðin hér að ofan er samleitin fyrir allar tvinntölur s með Re(s) > 1. Gefa má eftirfarandi samband fyrir umhverfu zetufallsins:

þar sem μ er Möbiusfallið.

Zetufallið á tvinntalnasléttunni, þar sem Re(s) < 0
Eftirfarandi jafna gildir á hálfsléttunni Re(s) < 0 :

,

þar sem Γ táknar gammafallið.

Afleiða zetufallsins

þar sem Λ táknar Mangoldtsfallið.

Núllstöðvar zetufallsins
Zetufallið hefur engar núllstöðvar á hálfsléttunni Re(s) > 1, en á hálfsléttunni Re(s) < 0 hefur zetufallið núllstöðvarnar s = -2n, þar sem n er náttúrleg tala. Aðrar núllstöðvar, sem eru óendanlega margar, liggja á borðanum 0 < Re(s) < 1, samhverft um ásana Im(s) = 0 og Re(s) = ½. Ósönnuð tilgáta Riemanns segir að allar "áhugaverðar" núllstöðvar liggi á línunni Re(s) = ½.

Tengsl zetufallsins við frumtölur
Talið er að zetufallið geti gefið mikilvægar upplýsingar um dreifingu frumtalna.

Flokkur:Stærðfræði
Flokkur:Tvinnfallagreining