Markgildi

Markgildi er grundvallarhugtak í stærðfræðigreiningu. Hugtakið kemur gjarnan fyrst við sögu í menntaskóla þegar innleiða á deildun raungildra falla af einni breytistærð. Þá er sá skilningur lagður í orðið að fall hafi markgildi M í ákveðnum punkti a ef hægt er að hugsa sér að þegar breytistærðin x nálgast punktinn a þá nálgist fallgildið M.  Hugmyndin um markgildi er svo notuð til þess að skilgreina samfelldni og afleiður.  Markgildi kemur fyrir í ýmsu samhengi innan stærðfræðinnar, svo sem geta vigurgild föll af mörgum breytistærðum, runur og raðir öll haft markgildi.  Almennasta skilgreining hugtaksins kemur úr grannfræði. 

Skilgreining markgildis
Til eru ýmsar skilgreiningar á markgildi sem eru misjafnlega almennar og nákvæmar.  Orðalagið sem notað er í inngangi þessarar greinar er ekki nægilega nákvæmt til þess að skera úr um hvort til dæmis kennifall ræðra talna (f = χℚ) eigi sér markgildi í nokkrum punkti.  Hér eru nokkrar nákvæmari skilgreiningar:

Skilgreining á markgildi raungildra falla af einni breytistærð
Látum f(x) vera raungilt fall af einni breytistærð, þ.e. X→ℝ: x → f(x) og X úr ℝ.  Við segjum að f(x) hafi markgildið L þegar x stefnir á c, táknað:

ef fyrir sérhvert ε>0 er til δ>0 svoleiðis að |f(x) - L|<ε fyrir öll x þannig að 0<|x-c|<δ.

Vert er að taka fram að f(c) þarf ekki að vera skilgreint.  Þessi skilgreining nefnist epsilon-delta skilgreining á markgildi og er sú formlega skilgreining sem Karl Weierstrass setti fram á 19. öld.

Skilgreining á markgildi runa
Runa an er sögð hafa markgildi L, táknað an→L ef fyrir sérhvert ε>0 er til N svoleiðis að fyrir öll n>N gildir að |an - L|<ε.  Runa sem hefur markgildi er sögð vera samleitin en annars ósamleitin.

Með sambærilegum hætti má skilgreina markgildi runu í firðrúmi: Runa an er sögð hafa markgildi L, táknað an→L ef fyrir sérhvert ε>0 er til N svoleiðis að fyrir öll n>N gildir að ρ(an,L)<ε.  Þar sem ρ(x,y) táknar firð í gefnum firðrúmi.  Þetta mætti orða sem svo að gera megi fjarlægðina á milli an og L svo litla sem vera skal með því að velja nægilega stórt N.

Einföld dæmi um markgildi raungildra falla

Táknmálið þýðir að þegar x nálgast töluna 2 þá stefnir fallgildið f(x) = 2x á töluna 4. Markgildið er því 4 í þessu tilfelli.

Sum föll hafa markgildi þegar x stefnir á óendanlegt:

Hins vegar hefur sama fall ekki markgildi þegar x stefnir á 1.

 Sjá einnig 
 (ε,_δ)-skilgreining á markgildi
 Aðfella
 Þéttipunktur

Flokkur:Örsmæðareikningur