Pascal-þríhyrningur

Pascal-þríhyrningur eða þríhyrningur Pascals er í stærðfræði þríhyrningur af tölum sem raðað er upp eftir kerfi sem Blaise Pascal lýsti, sem nú er þekkt sem einkenni Pascals(en): 
.

Þessi eiginleiki gerir það að verkum að hægt er að raða niðurstöðunum upp á eftirfarandi hátt:

720px|thumb|left|fyrstu 17 hæðirnar

Í stærðfræði er Pascals-þríhyrningur óendanlegur þríhyrningslaga fylking tvíliðastuðla sem gegna lykilhlutverki í líkindafræði, samsetningarfræði og algebru. Í stórum hluta Vesturlanda er hann nefndur eftir franska stærðfræðingnum Blaise Pascal (en á Ítalíu er þríhyrningurinn kallaður þríhyrningur Tartaglia, nefndur eftir ítalska algebrufræðingnum Niccolò Tartaglia (1500–1577), sem birti sex raðir þríhyrningsins árið 1556, áður en Pascal fæddist, og hann er líka nefndur eftir mörgum öðrum frá öldum áður).

Mynstur talnanna sem mynda Pascal-þríhyrninginn var þekkt löngu fyrir tíma Pascals. Persneski stærðfræðingurinn Al-Karaji (953–1029) skrifaði bók sem er nú glötuð bók sem innihélt fyrstu lýsinguna á Pascal-þríhyrningnum.

 Eiginleikar Pascal þríhyrningsins 
 Ellefu-veldið 
Sjá má mjög fljótlega að fyrstu raðir Pascal-þríhyrningsins stafa út n-ta veldi af 11:

Reglan fellur þó ekki um sig á efri stigum, heldur verður hún bara ekki jafn ljós - , augljóslega, heldur . Þ.e., þar sem að tugir koma fyrir í gildum þríhyrningsins legst tugurinn við næsta sæti fyrir ofan, og einingin verður eftir.

 Einkenni Vandermondes 
Lát . Þá gildir:
.
Þessi regla er kennd við Alexandre-Théophile Vandermonde, sem uppgötvaði regluna á átjándu öld.

 Tvíliðureglan 
Tvíliðureglan notast við stuðla úr Pascal-þríhyrningnum. Til dæmis er , en stuðlarnir (í svigum) passa við 5. línu Pascal þríhyrningsins (fyrsta línan samsvarar ).

 Fibbonacci runan 
Fibonacciruna kemur fyrir í skálínum Pascal-þríhyrningsins:

Ef summaðar eru upp gráleitu tölurnar er summan stak í Fibbonacci rununni. Sama gildir um innrömmuðu tölurnar, og hvaða skálínu sem er.

 Sönnun á einkenni Pascals 
Ímyndum okkur að til sé mengi  sem hefur  stak. Lát  vera stak í  og lát . Sjáum að til eru  hlutmengi í  sem innihalda  stök (Sjá: Samantektir). Hinsvegar inniheldur hlutmengi í  með  stökum ýmist , ásamt  öðrum stökum úr , eða það inniheldur  stök úr  en ekki . Þar sem að það eru  hlutmengi af  staki úr , þá eru til  hlutmengi með  stökum úr  sem innihalda . Auk þess eru  hlutmengi af  með  stökum sem innhalda ekki , þar sem að það eru  hlutmengi af  með  stökum. Þar af leiðir:
. 
 (Fléttufræðileg sönnun).

 Tengt efni 
 Blaise Pascal
 Samantektir
 Tvíliðureglan

 Heimildir 

Flokkur:Stærðfræði