Russell-þversögn

Russell-þversögnRussel-þversögn  á StærðfræðiorðasafninuRussell-þversögn á Orðaskrá
Íslenska stærðfræðafélagsins eða þverstæða Russells er stærðfræðileg þversögn, sem Bertrand Russell uppgvötvaði árið 1901 og sýnir fram á að hversdagsleg mengjafræði Georgs Cantors og Gottlobs Frege er þverstæðukennd. Þversögnin er líkast til það atriði sem átti stærstan þátt í að gera Russell jafn frægan og raun bar vitni.

Mengi má skilgreina sem mengi allra þeirra staka, x, sem uppfylla einhver tiltekin skilyrði. Nú er alveg ljóst að hugsanlegt er að mengi innihaldi ekki sjálft sig; til dæmis mengi náttúrulegra talna, það inniheldur ekki sjálft sig, því að það er ekki tala. En einnig er mögulegt að mengi innihaldi sjálft sig, til dæmis mengi allra mengja, en stök þess eru öll hugsanleg mengi og þá þar á meðal það sjálft. Bertrand Russell setti fram Russell-þversögnina árið 1901, þar sem hann benti á það, að mengið sem inniheldur öll þau mengi, sem ekki innihalda sjálf sig býr yfir þeim eiginleika, að ef það inniheldur sjálft sig þá gerir það það ekki samkvæmt skilgreiningunni og ef það inniheldur ekki sjálft sig þá inniheldur það sjálft sig samkvæmt sömu skilgreiningu. 

Þetta er rökleg hliðstæða svokallaðar þverstæðu lygarans, ein þeirra allra einföldustu er setningin: „Þessi setning er lygi“. Önnur er „Ég lýg öllu sem ég segi, ég segi það satt“. Rakaraþverstæðan er afbrigði af þverstæðu Russells sem segir: „Rakarinn í þorpinu rakar alla (og aðeins þá) þorpsbúa sem ekki raka sig sjálfir. Hann býr sjálfur í þorpinu. Rakar hann sjálfan sig?“ en bæði játun og neitun leiða til mótsagnar.

Tenglar




Tilvísarnir

Flokkur:Þverstæður
Flokkur:Mengjafræði