Tvinntölur

Tvinntölur er talnamengi, sem myndað er úr mengi rauntalna auk þvertölunnar  sem jafngildir ferningsrótinni af -1. Þannig er tvinntalan  skilgreind sem , þar sem  er  og  og  eru rauntölur. Mengi þetta er táknað með stafnum , og er það skilgreint með mengjaskilgreiningarhætti á eftirfarandi hátt:

Breyturnar  og  í tvinntölunni  eru notaðar sem hnit í hnitakerfi tvinntalna, sem gjarnan er kallað tvinnsléttan. Er tvinntalan x+yi þá oft táknuð sem hnitið (x,y). Tvinnsléttan er í raun bara tvívíð talnalína þar sem að önnur víddin lýsir rauntölum, , en hin lýsir þvertölum, þ.e. þeim tölum sem fást með því að margfalda saman rauntölu  og fastann . Tvinntalan x + yi er sögð vera á rétthyrndu formi.

 Aðgerðir 
Aðgerðir í mengi tvinntalna eru þær sömu og í rauntalnamenginu, en eru víðtækari að því leyti, að í  eru allar margliðujöfnur með rauntölustuðlum leysanlegar og hafa jafnmargar lausnir og stig margliðunnar segir til um þ. e. a. s. að margliðujafna af stigi n hefur n lausnir í ). Einnig er hægt að draga hvaða rót sem vera skal af sérhverri rauntölu og enn fremur að reikna logra af sérhverri tölu nema af núlli. Ekkert af þessu er mögulegt í mengi rauntalna nema að sérstaklega vel standi á.

Helstu aðgerðirnar eru skilgreindar á eftirfarandi hátt, þar sem  og  :

 Samsemd:  þ.þ.a.a.  og 
 Samlagning: 
 Margföldun: 
 Deiling: 

 Margföldunarandhverfa: Ef  eru tvinntölurnar sagðar (margföldunar)andhverfa hvor annarrar. Þá er:
 eða 

Ef  er talan  sögð vera samoka henni. Samoka tvinntölur hafa ýmsa áhugaverða eiginleika:

 Hlutar tvinntölu 
Til þess að fá uppgefinn eingöngu raunhluta tvinntölunnar  er notað fallið  og er það skilgreint svo: 

Fyrir þverhlutann er fallið  notað, en skilgreining þess er:

Í stað  og  er oft ritað Re(z) og Im(z). Báðir rithættirnir eru jafngildir þar sem Re stendur fyrir real og á við raunhlutann og Im stendur fyrir imaginary og á við þverhlutann. Sérstaka athygli skal vekja á því að  gefur rauntöluna , ekki þvertöluna .

 Lengd tvinntalna 
Hægt er að nota algildisfallið til þess að fá uppgefna fjarlægð tvinntölu frá núllpunkti tvinnsléttunnar:

 Rithættir tvinntalna 
 Pólhnit 
Pólhnit eru á forminu , þar sem að  lýsir lengd punktsins frá miðpunkti, og  lýsir horni punktsins frá raunásnum í jákvæða stefnu. Til þess að reikna tvinntölu yfir í pólhnit er notuð reglan 
 fyrir tvinntöluna 

Til þess að reikna þetta til baka er svo reiknað:

Helsta ástæða þess að gott sé að breyta tvinntölum í pólhnit er sú að þá verður margföldun og deiling að hægðarleik, og jafnframt gildir regla De Moivres um tvinntölu í rauntöluveldi:

Margföldun og deiling virka þannig:

og frá margföldunarreglunni er hægt að draga veldisreiknireglu:

Veldareglan gildir jafnframt um brotin veldi (rætur), þannig að:

 Veldi 

Hægt er að rita tvinntölur sem veldi af e, þ.e.  þar sem að z er tvinntala.

Raunhluti tvinntölunnar er þá samsvarandi vísisfallinu , en um þverhlutann gildir að

Þar sem að allar rétthyrndar tvinntölur má  líka rita í pólhnitum, þannig að 

má segja  að:

Margföldun tvinntalna í þessu formi er þannig að:

Hægt er að leiða reglu Eulers út frá þessu:

Flokkur:Talnamengi í stærðfræði
Flokkur:Tvinnfallagreining