Þrepasönnun

Þrepasönnun eða þrepun er stærðfræðileg sönnunartækni sem notuð er til þess að sýna fram á að tiltekin fullyrðing sé sönn fyrir allar náttúrlegar tölur. Við þrepasönnun er notast við tvo grunneiginleika náttúrulegra talna:

 Sérhvert mengi náttúrulegra talna hefur minnsta stak
 Ef gefin yrðing P(n) er sönn fyrir eina tölu n er hún einnig sönn fyrir n+1.

Þrepasönnun er unnin í þremur skrefum:
 Sýna fram á að fullyrðingin standist fyrir n = 0
 Áætla að fullyrðingin sé sönn fyrir n = m
 Sýna fram á að það sama gildi fyrir n = m + 1

Gott er að líkja þessu við domino rallý. Ef að við sýnum fram á að fyrsti dominóinn detti, þá getum við áætlað að sá næsti muni falla, og þá getum við sýnt fram á að þeir muni allir detta.

 Dæmi 
Gerum ráð fyrir því að við viljum sanna yrðinguna:

fyrir allar náttúrlegar tölur n. Köllum rökyrðinguna , og getur hún skilað sönnu eða ósönnu gildi.

 Sönnun 

 Skref 1 
Sönnum að þetta gildi fyrir .

Þar sem að summa fyrstu 0 náttúrlegu talnanna er 0, og , telst þetta sannað.

P(0) = satt

Þó er umdeilt hvort 0 sé tekin með í mengi náttúrulegra talna en á sama hátt og ofan má sýna fram á að yrðingin gildir um .

 Skref 2 
Við áætlum nú að yrðingin sé sönn fyrir n = m, þ.e.

 Skref 3 
Ef að við leggjum  við báðar hliðar fáum við:

Með algebrulegum umreikningi fæst:

þar af leiðir 

sem er yrðingin fyrir . ATH að þetta hefur ekki verið sannað, heldur eingöngu hefur verið lögð fram fullyrðingin að P(m) = satt, og að þar af leiði að P(m+1) = satt. Við höfum með öðrum orðum sýnt fram á að yrðingin P(m+1) hljóti að standast ef að yrðingin P(m) stenst:

Við fáum niðurstöðu með því að sýna að þetta gildi fyrir allar náttúrlegar tölur n:

 Þar sem að P(0) er satt, gildir að P(1) sé einnig satt.
 Með P(1) leiðir P(2).
 ... o.s.frv.

 þ.s.s.á.

Tenglar

Flokkur:Stærðfræði
Flokkur:Algebra
Flokkur:Talnafræði