Booleana algebro

Booleana algebro esas la fako di matematiko, logiko, e elektroniko qua studias l'operaci e functoni pri la logikala variadi.

La nomo devenas de George Boole, Britaniana matematikisto, qua dum la mezo dil 19ma yarcento ristrukturis komplete la logiko em la formala sistemo.

Nune, Booleana algebro uzesas multe en informo-teorio ed en la konceptajo di elektronikal cirkuiti. Ol uzesis unesmafoye por la cirkuiti di telefonala komutado da Claude Shannon.

Ol expresas « stando » en funciono di kondicioni:
Exemple :
 Verda = Blua e Flava KAD havas dil blua e dil flava.
 desakrochar = (envidio de respondar E sonifo) O envidio di apelar.

 Booleana algebro di verat-valori 

On apelas B l'ensemblo konstitucata di du elementi nomizata valori de verata {VERA, FALSA}. Ica ensemblo esas anke notata 
B = {1 , 0} 
B = .
On privilejos dop la noteso B = {1 , 0}.

Sur ica ensemblo on povas definar du kompozo-legi (od operanta o funcionesi), la legi E ed O e transformanta apelata la komplemento, l'inversigo o la kontreajo.

 La lego E 

Olu esas definata del sequa maniero : a E b esas VERA sed e sole sed a esas VERA e b esas VERA.
Ta lego esas anke notata

.
 « & » o « && » en kelka lingui de programeso (Perl, C...)
 « ∧ » en kelka algebra notizi, od en APL
On privilijos dop la notizo 

tabelo del lego . b\a01000101

 La lego O 

Olu esas definata del sequa maniero : a O b esas VERA sed e sole sed a esas VERA o b esas VERA (o amba esas VERA).
Ta lego esas anke notata

 « | » o « || » en kelka lingui de programeso
 « ∨ » en kelka algebra notizi, od en APL.
On privilejos dop la noteso  ma on prenos garda ke ta lego ne havas raporte kon l'adiciono ke on konocas.

tabelo del lego +b\a01001111
 hi

 La kontreajo 

La kontreajo di "a" esas VERA sed e sole sed a esas FALSA. La kontreajo di a esas notita
ne-a

 « ! » en kelka lingui de programeso
 « ~ » en kelka algebra notizi, od en APL.
On privilejos dop la noteso .

On obtenas lore  e 

 Proprieti 

Asociativata

Kun la habitala operaci, certa parentesi esas neutila:
( a + b ) + c = a + (b + c) = a + b + c
( a . b ) . c = a . (b . c) = a . b . c

Comutativata

L'ordino esas sen importanta.
a + b = b + a 
a . b = b . a

dispozivata

Kun la habitala operaci, esas posibla di disdonar:
a . ( b + c ) = a . b + a . c
Atencez: admise diferanta per raporto ad operacanti + e * habitala:
a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

Samajibeto

a + a + a [...] = a
a . a . a [...] = a

komplementivata


 (« La lumo esas acendata » = « la lumo ne esas neacendata »)

 (« VERA » SED lumo acendata O lumo neacendata → sempre la kazo → sempre VERA)

 (« VERA » SED lumo acendata E lumo neacendata → ne-posibla → sempre FALSA)

 Strukturo 

On retrovas lore multi la proprieti ke konferas ye B une strukturo.

 Priora 

Per faciligar lia kontenajo, olu esis decidata ke ta operacii esus submizanta a mem normi ke l'operacii « de multi la dii », la funciono E (logikala multipliko) esas tale priora per raporto ala funciono O (logikala sumo) ; on povas, per helpar su, pozar di parentesi en l'operacii

 Exemplo :
  { a = 0 ; b = 1 ; c = 1 }
  On serchas a . b + c = ???
 Unesme on kalkulas a . b:
  a . b = 0 . 1
  0 . 1 = 0
 Pose, on kalkulas 0 + c:
  0 + c = c
  c = 1
 Le fina rezulto esas do:
  a . b + c = 1

Teorio de De Morgan

 En la du kazo, l'expreso esas VERA sed a esas falsa E b esas falsa.

 En la du kazo, l'expreso esas VERA sed a esas falsa O b esas falsa.

 logikala funcioni 

En elektroniko, logikala funciono esas nigra boxo ke recevas en eniro certa nombro di logikala variado e ke retrodonas en ekiro logikala variado di enira variadi. L'artiklo logikala funciono precizas qual konstruktas la nigra boxi di kelka fundamentala funcioni.

Tabulo di verata permisas di precizar la stato di l'ekiro en funciono di eniri-stati.

On demonstras ke omna logikala funciono povas deskriptar su ye helpo di tre operaci di bazo.

 logikala Fundamentala funcioni 

Ol esas ekirinta di tre operaci di bazo e definas lore
 funciono di B en B : komplemento o l'inversigo
 du funcioni di B2 en B ke esas la sumo (od O) e la produkto (od E)

Tabulo di verata de l'inversigoa0110

Tabulo di verata de la sumoaba + b000011101111

Tabulo di verata del produktoaba.b000010100111

 Funcioni logikala kompozatala 

Ta esas la logikala funcioni a du variadi. Inter to, on kontas certa sufice interesanta per ke on lia donas nomo.

 Exkluziva O 

L' O studiata tala prezento devas komprenar su del segun maniero: « l'un o l'altra o la du ». Ol esas egale apelata « exkluziva O ». L' exkluziva O (o XOR) komprenas su kom : « l'un o l'altra ma ne la du ».

Ol kompozesas su segun ca maniero :

Tabulo di verata di XORaba ⊕ b000011101110

L' « exkluziva O » esas kelkafoye notata per aritmetikala signo diferanta de, a qua ol esas equivalanta. Funcionale, on uzas anke + cirklatra: a ⊕ b.

 Equivalante 

L'equivalante (notata EQV) esas VERA se la du eniri havas la sama valoro e FALSA se ne. Ol kompozesas quale sequas :

On povas anke dicas ke :

Tabulo di verata di EQVaba  b001010100111

Ol advenas ke l'equivalante esas notata per la signo « = », quankam ta selekto ne esas rekomendata enskribata di altra posibla sensi ligata ye ta signo.

 Impliko 

L'impliko (notata IMP) skribesas sequante:

Tabulo di verata di IMPaba  b001011100111

 Inhibo 

L'inhibo (notata INH) kompozesas quale:

Ta operacio ne esas komutativa.

Tabulo di verata di INHab000010101110

 Exemplo di logikala funcioni a tre o quar variadi 

 logikala funcioni a tre variadi 

Kad on riprenas l'exemplo di telefono, on trovas su koram 3 variadi:
 a = "telefono sonas"
 b = "on havas envidio de respondar"
 c = "on havas envidio d'apelar kelku"
variado d = "on desakrochas" esas logikala funciono di 3 ante-lasti.
On skribus ke

Tabulo di verata di desakrocharabcd00000011010001111000101111011111

L'observo di tablo indikas ke nua unesma analizo admisis absurda situo : kal la tefono sonas e ke on ne havas envidio de respondar, on ne desakrochas mem kal on havas envidio di apelar kelku.

Ol oportas do modifikar la tabulo di verata tale :

Tabulo di verata di desakrochar2abcd200000011010001111000101011011111

 logikala funcioni a quar variadi 

Lernanto questionas su kal ol esas saja di ekirar vespero. Il devas decidar en funciono di quar propozi:
a = il havas sat pekunio
b = il havas finata sua devi
c = la komuna transporto esas strikanta
d = l'automobilo de sua patro esas disponebla

Lernanto povus ekirar kal:

a = il havas sat pekunio, a = vera
b = il havas finata sua devi, do b = vera
c = la komuna transporto esas strikanta, do c = falsa
d = l'automobilo de sua patro esas disponebla, do d = vera

Do la logikala expreso di ekirar en funciono del stato di variadi a, b, c e d ; ed ol povas skribas su tale : 
ekirar = 

 mikreganta di expreso 

logikala funciono povas esar determinata 
 sive sub formo di expreso iganta eventar li 3 operi ( ,  , )
 sive sub formo di sua tabulo di verata. En ta kazo ol esos sempre posiblar di skribar ta funciono kom sumo de produkti.

Exemplo: En l'exemplo di "desakrochar2", on remarkas ke la rezulto esas a 1 kande (a, b , c) = (0 , 0 , 1) o (0 , 1 , 1) o (1 , 1 , 0) o (1 , 1 , 1).
 To permisas di definar d2 per  

Ol esas lore interesanta di trovar expreso mikreganta la nombro di termi e la nombro di leteri en omna termo.

To esas l'objektivo di ta tekniki kom la metodo de Quine-Mc Cluskey, Karnaugh-tabulo ....

Exemplo (dop): l'ante-lasta sumo povas esar reduktata en

per faktoreso di du unesma termi per  e per faktoreso di du lasta termi per 

Kategorio:Logiko