Teori De Donder–Weyl

Teori De Donder–Weyl dalam fisika matematika merupakan generalisasi dari mekanisme Hamilton dalam kalkulus variasi dan teori medan klasik yang diterapkan pada ruang-waktu dengan memperlakukan koordinat ruang dan waktu secara setara. Dalam formulasi ini, formalisme Hamilton yang dikenal dalam mekanika diperluas ke teori medan dengan merepresentasikan medan sebagai sistem yang memiliki ketergantungan terhadap ruang dan waktu secara bersamaan. Generalisasi tersebut berbeda dari formalisme Hamilton kanonik dalam teori medan, yang memperlakukan variabel ruang dan waktu secara tidak setara serta menggambarkan medan klasik sebagai sistem berdimensi tak hingga yang berevolusi terhadap waktu. 
Persamaan De Donder-Weyl:

 De Donder-Weyl formulasi teori medan 
Formulasi De Donder–Weyl dalam teori medan didasarkan pada transformasi Legendre. Misalkan xᵢ menyatakan koordinat ruang waktu untuk i = 1 hingga n (dengan n = 4 untuk 3 + 1 dimensi ruang dan waktu), yᵃ merupakan variabel medan untuk a = 1 hingga m, dan L merupakan densitas Lagrangian :



Polimomentum didefinisikan oleh hubungan :



Sedangkan Hamiltonian De Donder–Weyl didefinisikan sebagai :



Dengan demikian persamaan De Donder–Weyl dapat dituliskan sebagai: Hanno Rund, "Hamilton-Jacobi Theory in the Calculus of Variations: Its Role in Mathematics and Physics", Van Nostrand, Reinhold, 1966.



Formulasi Hamiltonian De Donder–Weyl bersifat kovarian dan ekuivalen dengan persamaan Euler–Lagrange apabila transformasi Legendre menuju variabel pᵃᵢ dan H tidak bersifat singular. Teori ini membentuk suatu formulasi kovarian dari teori medan Hamiltonian yang berbeda dari formulasi Hamilton kanonik. Untuk n = 1, teori ini mereduksi menjadi mekanika Hamilton sebagaimana didefinisikan dalam kalkulus variasi. 

Hermann Weyl pada tahun 1935 mengembangkan teori Hamilton–Jacobi dalam kerangka De Donder–Weyl. Serupa dengan formalisme Hamilton dalam mekanika yang dirumuskan melalui geometri simplektik pada ruang fasa, teori De Donder–Weyl dapat diformulasikan melalui geometri multisimplektik atau polisimplektik serta geometri jet bundles. Generalisasi tanda kurung Poisson pada teori ini, beserta representasi persamaan De Donder–Weyl dalam bentuk tanda kurung Poisson terumumkan yang memenuhi struktur aljabar Gerstenhaber, diperkenalkan oleh Igor Kanatchikov pada tahun 1993.Igor V. Kanatchikov: On the Canonical Structure of the De Donder–Weyl Covariant Hamiltonian Formulation of Field Theory I. Graded Poisson brackets and equations of motion, arXiv:hep-th/9312162 (submitted on 20 Dec 1993).

 Sejarah 
Formalisme De Donder–Weyl dikembangkan oleh Théophile De DonderFrédéric Hélein: Hamiltonian formalisms for multidimensional calculus of variations and perturbation theory 
 In Haïm Brézis, Felix E. Browder, Abbas Bahri, Sergiu Klainerman, Michael Vogelius (ads.): Noncompact problems at the intersection of geometry, analysis, and topology, American Mathematical Society, 2004, pp. 127–148, p. 131, , dan Hermann Weyl. Usulan Weyl pada tahun 1934 dipengaruhi oleh karya Constantin Carathéodory, yang berlandaskan hasil penelitian Vito Volterra. Karya De Donder berangkat dari teori invarian integral yang dikembangkan Élie Cartan.Roger Bielawski, Kevin Houston, Martin Speight: Variational Problems in Differential Geometry, London Mathematical Society Lecture Notes Series, no. 394, University of Leeds, 2009, , p. 104 f. Sejak 1930-an, teori De Donder–Weyl menjadi bagian dari kajian kalkulus variasi dan pada masa awal memiliki sedikit aplikasi dalam fisika. Pada periode berikutnya, teori tersebut diterapkan dalam fisika teoretis, termasuk dalam teori medan kuantumIgor V. Kanatchikov: De Donder–Weyl theory and a hypercomplex extension of quantum mechanics to field theory, arXiv:hep-th/9810165 (submitted on 21 October 1998) dan gravitasi kuantum.Igor V. Kanatchikov: Precanonical Quantum Gravity: quantization without the space-time decomposition, arXiv:gr-qc/0012074 (submitted on 20 December 2000)

Pada tahun 1970, Jedrzej Śniatycki mengembangkan formulasi geometris invarian dari jet bundles, melanjutkan kontribusi De Donder dan Weyl.Jedrzej Śniatycki, 1970. Cited after: Yvette Kosmann-Schwarzbach: The Noether Theorems: Invariance and Conservation Laws in the 20th Century, Springer, 2011, , p. 111 Pada tahun 1999, Kanatchikov menunjukkan bahwa persamaan medan Hamiltonian kovarian De Donder–Weyl dapat diformulasikan menggunakan matriks Duffin–Kemmer–Petiau.Igor V. Kanatchikov: On the Duffin–Kemmer–Petiau formulation of the covariant Hamiltonian dynamics in field theory, arXiv:hep-th/9911175 (submitted on 23 November 1999)

 Lihat juga 

 Teori medan Hamiltonian
 Teori medan Hamiltonian yang berkovarian

 Bacaan lebih lanjut 

 Makalah terpilih tentang bidang-bidang geodetik, diterjemahkan dan disunting oleh D. H. Delphenich. Bagian 1  Diarsipkan  , Bagian 2  Diarsipkeun  
 H.A. Kastrup, Teori-teori kanonik sistem dinamis Lagrangian dalam fisika, Laporan Fisika, Volume 101, Isu 1-2, Halaman 1-167 (1983).
 Mark J. Gotay, James Isenberg, Jerrold E. Marsden, Richard Montgomery: "Memeta Momentum dan Bidang Relativistik Klasik. Bagian I: Teori Bidang Covariant" :
 Cornelius Paufler, Hartmann Römer: De Donder-Weyl persamaan dan geometri multisimplektik Arsip  , Laporan tentang Fisika Matematika, vol. 49 (2002), no. 2-3, halaman 325-334   
 Krzysztof Maurin: The Riemann legacy: Riemannian ideas in mathematics and physics, Part II, Chapter 7.16 Field theories for calculus of variation for multiple integrals, Kluwer Academic Publishers,  , 1997, p. 482 ff.Halaman 482 ff. 

 Referensi 

Kategori:Fisika matematis
Kategori:Kalkulus variasi