Teorema Lagrange (teori bilangan)

Dalam teori bilangan, teorema Lagrange adalah teorema yang menyatakan seberapa sering suatu polinomial atas bilangan bulat menghasilkan kelipatan dari suatu konstanta prima . Lebih tepatnya, teorema ini menyatakan bahwa untuk setiap polinomial bilangan bulat , maka berlaku salah satu dari dua kemungkinan berikut:
 setiap koefisien dari  merupakan kelipatan dari , atau
 terdapat paling banyak  nilai  pada himpunan  sedemikian sehingga  merupakan kelipatan ,
dengan  menyatakan derajat polinomial .

Teorema Lagrange dapat dinyatakan ulang menggunakan aritmetika modular sebagai berikut:

Jika  bukan bilangan prima, maka banyaknya penyelesaian dari kekongruenan  mungkin saja lebih dari . Misalnya, kekongruenan polinomial  memiliki 4 penyelesaian dalam  (yaitu , , , dan ).

Teorema ini dinamai berdasarkan Joseph-Louis de Lagrange.

 Bukti 

Diambil sembarang bilangan prima  dan misalkan  adalah polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Didefinisikan  sebagai polinomial yang kongruen dengan , tetapi dengan koefisien bilangan bulat modulo . Untuk setiap bilangan bulat , perhatikan bahwa

sehingga berdasarkan sifat dasar dari aritmetika modular, maka berlaku

Akibatnya, kedua versi dari teorema Lagrange (yaitu atas himpunan  dan atas himpunan ) setara. Akan dibuktikan versi kedua dari teorema Lagrange menggunakan induksi matematika beserta pembuktian kasus demi kasus.
 Diambil sembarang polinomial linier , dengan , . Oleh karena  adalah bilangan prima, maka akan ditinjau dua kasus berikut:
 Jika , maka kekongruenan linier  tidak memiliki penyelesaian. Akibatnya, jelas bahwa pernyataan teorema Lagrange benar.
 Jika , maka berdasarkan identitas Bézout, kekongruenan linier  memiliki penyelesaian tunggal. Akibatnya, pernyataan teorema Lagrange juga benar.
 Asumsikan bahwa teorema Lagrange benar untuk setiap polinomial berderajat .
 Diambil sembarang polinomial berderajat , yaitu  dengan  untuk setiap . Terdapat dua kasus yang perlu ditinjau:
 Jika kekongruenan  tidak memiliki penyelesaian, maka jelas bahwa pernyataan teorema Lagrange benar.
 Jika kekongruenan  memiliki setidaknya satu penyelesaian (sebut saja , yang berarti bahwa ), maka perhatikan bahwa  Jelas bahwa . Oleh karena , maka  Dengan kata lain, mencari penyelesaian dari kekongruenan  sama saja dengan mencari penyelesaian dari kekongruenan . Diketahui bahwa  merupakan bilangan prima, maka berdasarkan lema Euclid, berlaku  atau . Berdasarkan hipotesis induktif, maka  memiliki paling banyak  penyelesaian. Akibatnya,  memiliki paling banyak  penyelesaian dalam himpunan .

 Referensi 




lagrange
lagrange