Teorema faktor

Dalam aljabar, teorema faktor adalah teorema yang menghubungkan faktor-faktor dari suatu polinomial dengan nilai dari akar-akarnya. Lebih tepatnya, jika  merupakan polinomial univariat, maka  merupakan faktor dari  jika dan hanya jika nilai  (atau dengan kata lain,  merupakan akar dari polinomial ). Teorema ini adalah kasus khusus dari teorema sisa polinomial.

Teorema ini berasal dari sifat dasar operasi penjumlahan dan perkalian. Dengan demikian, teorema faktor juga berlaku ketika elemen  dan setiap koefisien dari  merupakan anggota dari sembarang gelanggang komutatif, tidak hanya lapangan.

 Faktorisasi polinomial 

Dua masalah yang sering melibatkan teorema faktor ialah pemfaktoran polinomial dan pencarian nilai akar dari suatu persamaan polinomial; teorema faktor mengakibatkan bahwa kedua masalah ini pada dasarnya setara.

Teorema faktor juga digunakan untuk menyingkirkan nilai-nilai akar yang telah diketahui dari polinomial yang diberikan, sembari membiarkan nilai-nilai akar yang belum diketahui, sehingga menghasilkan polinomial berderajat lebih rendah yang nilai-nilai akarnya mungkin saja lebih mudah untuk dicari. Secara umum, metodenya ialah sebagai berikut:.
 Dengan menggunakan teorema akar rasional, tentukan kandidat nilai akar  dari polinomial  berdasarkan koefisien utamanya (yaitu ) serta suku konstantanya (yaitu ).
 Gunakan teorema faktor untuk menyimpulkan bahwa  merupakan faktor dari .
 Carilah polinomial  dengan menggunakan pembagian bersusun atau pembagian sintetik.
 Simpulkan bahwa setiap nilai akar  dari  juga merupakan akar dari . Oleh karena derajat polinomial  ialah satu kurangnya dari derajat polinomial , maka lebih "sederhana" untuk mencari nilai-nilai akar yang tersisa dengan meninjau polinomial .
Proses ini dilanjutkan hingga polinomial  terfaktorkan sepenuhnya, dimana semua faktornya taktereduksi pada  atau .

 Contoh 
Untuk mencari faktor-faktor dari , perhatikan bahwa konstanta pada  ialah 2 sedangkan koefisien utamanya ialah 1, sehingga berdasarkan teorema akar rasional, terdapat 4 kandidat akar rasional dari , yaitu  dan . Setelah melalui proses coba-coba, maka diperoleh  sebagai akar dari polinomial :

Akibatnya,  (atau ) merupakan faktor dari . Dengan membagi  oleh , maka diperoleh polinomial , sehingga dapat disimpulkan bahwa 

Faktor kuadrat dari  dapat difaktorkan lebih lanjut dengan menggunakan rumus kuadrat, yang menghasilkan akar-akar kuadrat . Dengan demikian, tiga faktor linier dari  ialah , , dan .

 Bukti 
Terdapat beberapa cara untuk membuktikan teorema faktor.

Jika  merupakan faktor dari , maka jelas bahwa , sehingga semua pembuktian berikut akan membahas bagian kedua dari teorema faktor.

 Bukti 1 
Pertama, akan ditunjukkan bahwa teorema faktor berlaku untuk kasus . Dengan kata lain, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap polinomial  dengan , maka terdapat suatu polinomial  sedemikian sehingga . Diketahui bahwa  adalah suatu polinomial, maka  memiliki bentuk umum

Berdasarkan bentuk umum tersebut, perhatikan bahwa . Oleh karena , maka diperoleh . Akibatnya, diperoleh

sehingga dengan memilih  sebagai polinomial , maka teorema faktor untuk kasus  terbukti benar.

Selanjutnya, akan dibuktikan teorema faktor untuk sembarang nilai  dengan memanfaatkan kebenaran kasus . Diketahui bahwa  adalah suatu polinomial dengan . Perhatikan bahwa polinomial  memiliki akar di . Berdasarkan kasus sebelumnya, maka terdapat suatu polinomial  sedemikian sehingga . Akibatnya,

Dengan kata lain, terbukti bahwa  merupakan faktor dari .

 Bukti 2 
Jika  adalah gelanggang komutatif, maka untuk sembarang  dan untuk setiap , , berlaku identitas

Hal ini dapat dibuktikan dengan menjabarkan ruas kanan dari persamaan tersebut.

Diambil sembarang gelanggang komutatif  dan sembarang polinomial . Oleh karena  adalah polinomial, maka  dapat dinyatakan sebagai

Diketahui bahwa . Akibatnya, didapatkan

Dengan menggunakan notasi Sigma serta identitas  yang telah dibahas sebelumnya, maka

sehingga terbukti bahwa  merupakan faktor dari .

 Bukti 3 
Diberikan suatu polinomial  sedemikian sehingga . Berdasarkan teorema pembagian polinomial, maka terdapat suatu polinomial  dan  sedemikian sehingga

dengan . Oleh karena , maka  merupakan suatu fungsi konstan. Dengan menyubstitusikan  ke persamaan di atas, perhatikan bahwa . Diketahui bahwa  dan  merupakan suatu fungsi konstan, maka didapatkan  untuk setiap nilai . Akibatnya,

Pembagian bersisa di atas dapat dilakukan pada setiap gelanggang komutatif, sebab  merupakan polinomial monik, sehingga proses pembagian bersusun polinomialnya tidak melibatkan operasi pembagian pada koefisien-koefisien polinomialnya.

 Referensi 

faktor