Komputabilitas dalam Analisis dan Fisika

Computability in Analysis and Physics adalah sebuah monograf tentang analisis komputabel yang ditulis oleh Marian Pour-El dan J. Ian Richards. Buku ini diterbitkan oleh Springer-Verlag dalam seri Perspectives in Mathematical Logic pada tahun 1989, dan dicetak ulang oleh Association for Symbolic Logic serta Cambridge University Press dalam seri Perspectives in Logic pada tahun 2016.

 Topik 
Buku ini membahas analisis komputabel, sebuah cabang dari analisis matematika yang didirikan oleh Alan Turing dan berfokus pada keterkomputasian dari konstruksi-konstruksi dalam analisis. Bidang ini berhubungan dengan, tetapi berbeda dari, analisis konstruktif, matematika balik (reverse mathematics), dan analisis numerik. Perkembangan awal bidang ini dirangkum dalam buku Oliver Aberth berjudul Computable Analysis (1980), dan Computability in Analysis and Physics memberikan pembaruan dengan memasukkan perkembangan signifikan yang dilakukan oleh para penulisnya. Berbeda dengan sekolah analisis komputabel Rusia yang dipimpin oleh Andrey Markov Jr., buku ini memandang keterkomputasian sebagai salah satu sifat pembeda dari objek matematika, bukan sebagai dasar untuk mengembangkan teori yang hanya membahas objek-objek yang komputabel.

Setelah bagian awal buku yang memperkenalkan analisis komputabel dan mengarah pada contoh dari John Myhill mengenai suatu fungsi kontinu berdiferensial yang komputabel namun turunannya tidak komputabel, dua bagian buku berikutnya membahas hasil penelitian para penulis.https://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0273-0979-1991-15994-X Hasil-hasil tersebut meliputi: bahwa untuk operator swa-adjoin (self-adjoint) yang komputabel, nilai-nilai eigen secara individual dapat dikomputasi tetapi urutannya secara umum tidak; adanya operator swa-adjoin komputabel untuk mana 0 merupakan nilai eigen dengan multiplisitas satu, tetapi tidak memiliki vektor eigen yang komputabel; serta kesetaraan antara keterkomputasian dan keterbatasan bagi operator-operator tertentu. Alat utama yang digunakan penulis mencakup konsep struktur keterkomputasian, yaitu pasangan ruang Banach dan himpunan deretnya yang dicirikan secara aksiomatis, serta himpunan pembangkit efektif (effective generating set), yaitu anggota himpunan deret yang rentang linearnya rapat dalam ruang tersebut.

Para penulis juga termotivasi oleh pertanyaan mengenai keterkomputasian solusi-solusi persamaan diferensial. Mereka memberikan contoh kondisi awal untuk persamaan gelombang yang komputabel dan kontinu (meskipun gradiennya tidak komputabel) yang menghasilkan solusi yang kontinu tetapi tidak komputabel pada waktu selanjutnya. Namun, mereka menunjukkan bahwa fenomena ini tidak dapat terjadi untuk persamaan panas maupun persamaan Laplace.

Buku ini juga mencakup kumpulan masalah terbuka, yang diperkirakan akan menginspirasi pembaca untuk melakukan penelitian lebih lanjut di bidang ini.

 Referensi 

Kategori:Logika dalam ilmu komputer
Kategori:Fisika