Bukti Furstenberg mengenai takhingga banyaknya bilangan prima

Dalam matematika, terutama dalam teori bilangan, bukti Hillel Furstenberg mengenai takhingga banyaknya bilangan prima merupakan bukti topologi bahwa himpunan bilangan bulat memuat takhingga banyaknya bilangan prima. Jika ditelaah dengan seksama, isi pembuktiannya lebih condong kepada pernyataan mengenai sifat-sifat barisan aritmetika dibandingkan pernyataan mengenai topologi. Lihat pembahasan tepat setelah Lema 3.2 atau lihat Bagian 3.5. Berbeda dengan bukti klasik dari Euclid, bukti Furstenberg merupakan pembuktian melalui kontradiksi. Bukti Furstenberg dipublikasikan pada tahun 1955 dalam The American Mathematical Monthly ketik beliau masih menjadi mahasiswa strata 1 di Universitas Yeshiva.

 Bukti Furstenberg 
Didefinisikan topologi pada yang dikenal sebagai topologi bilangan bulat berjarak samadengan mendefinisikan suatu himpunan  sebagai himpunan terbuka jika dan hanya jika  atau  dapat dinyatakan sebagai gabungan dari barisan aritmetika , yaitu

dengan . Hal ini setara dengan menyatakan bahwa  adalah himpunan terbuka jika dan hanya jika untuk setiap , terdapat suatu bilangan bulat  sedemikian sehingga . Berdasarkan definisi yang telah diberikan, maka aksioma untuk ruang topologi dapat dengan mudah diverifikasi:

Topologi ini memiliki dua sifat yang perlu digarisbawahi:
 Oleh karena setiap himpunan terbuka tak kosong memuat takhingga banyaknya elemen, setiap himpunan hingga tak kosong bukanlah himpunan terbuka. Dengan kata lain, komplemen dari sembarang himpunan hingga tak kosong bukanlah himpunan tertutup.
 Himpunan basis  merupakan himpunan terbuka sekaligus tertutup, sebab  merupakan himpunan terbuka (berdasarkan definisi), dan komplemen dari  ialah 

Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat selain  dan  merupakan kelipatan dari suatu bilangan prima. Akibatnya,

dengan  menyatakan himpunan semua bilangan prima. Berdasarkan sifat pertama, himpunan  bukan merupakan himpunan tertutup. Di sisi lain, setiap himpunan  merupakan himpunan tertutup, berdasarkan sifat kedua. Andaikan  merupakan himpunan hingga, maka ruas kanan merupakan gabungan berhingga dari sekumpulan himpunan tertutup. Oleh karena gabungan berhingga dari sekumpulan himpunan tertutup juga merupakan himpunan tertutup, maka terjadi kontradiksi. Akibatnya, asumsi bahwa  merupakan himpunan hingga bernilai salah, sehingga  haruslah himpunan takhingga. Dengan kata lain, terdapat takhingga banyaknya bilangan prima.

 Catatan 

 Referensi 






 Pranala luar 
  Furstenberg's proof that there are infinitely many prime numbers di Everything2


Category:Artikel pembuktian
Category:Topologi umum
Category:Bilangan prima