Teorema Midy

Dalam matematika, Teorema Midy, dinamai dari ahli matematika Prancis E. Midy, adalah sebuah pernyataan tentang ekspansi desimal dari pecahan a/p di mana p adalah suatu bilangan prima dan a/p memiliki bilangan desimal berulang dengan periode genap . Jika periode dari representasi desimal a/p adalah 2n, sehingga

maka digit pada paruh kedua dari periode desimal berulang merupakan komplemen 9 dari digit yang bersesuaian pada paruh pertamanya. Dengan kata lain,



Sebagai contoh,



Teorema Midy yang diperluas
Jika k adalah suatu pembagi dari h (di mana h adalah banyaknya digit periode dari ekspansi desimal a/p (di mana p kembali merupakan bilangan prima)), maka teorema Midy dapat digeneralisasi sebagai berikut. Teorema Midy yang diperluasBassam Abdul-Baki, Extended Midy's Theorem, 2005. menyatakan bahwa jika bagian berulang dari ekspansi desimal a/p dibagi menjadi angka-angka yang masing-masing terdiri dari k digit, maka jumlahnya merupakan kelipatan dari 10k – 1.

Sebagai contoh, 
memiliki periode 18. Membagi bagian berulang menjadi angka-angka 6 digit dan menjumlahkannya menghasilkan 
Demikian pula, membaginya menjadi angka-angka 3 digit dan menjumlahkannya menghasilkan 

Teorema Midy pada basis lain
Teorema Midy dan perluasannya tidak bergantung pada sifat khusus ekspansi desimal, melainkan bekerja sama baiknya pada basis b apa pun, asalkan kita mengganti 10k – 1 dengan bk – 1 dan melakukan penjumlahan dalam basis b.

Sebagai contoh, dalam oktal

Dalam dozenal (menggunakan dua dan tiga terbalik untuk sepuluh dan sebelas)



Pembuktian Teorema Midy
Pembuktian singkat dari teorema Midy dapat diberikan menggunakan hasil dari teori grup. Namun, teorema Midy juga dapat dibuktikan menggunakan aljabar elementer dan aritmetika modular:

Misalkan p bilangan prima dan a/p pecahan antara 0 dan 1. Misalkan ekspansi a/p pada basis b memiliki periode ℓ, sehingga

di mana N adalah bilangan bulat yang ekspansinya dalam basis b adalah string a1a2...aℓ.

Perhatikan bahwa bℓ – 1 merupakan kelipatan p karena (bℓ – 1)a/p adalah bilangan bulat. Juga bn – 1 bukan kelipatan p untuk nilai n yang lebih kecil dari ℓ, karena jika tidak periode berulang dari a/p akan kurang dari ℓ.

Sekarang misalkan ℓ = hk. Maka bℓ – 1 merupakan kelipatan dari bk – 1. (Untuk melihat ini, gantikan x untuk bk; maka bℓ = xh dan x – 1 adalah faktor dari xh – 1.) Misalkan bℓ – 1 = m(bk – 1), sehingga

Tetapi bℓ – 1 merupakan kelipatan p; bk – 1 **bukan** kelipatan p (karena k kurang dari ℓ ); dan p prima; sehingga m harus merupakan kelipatan p dan

adalah bilangan bulat. Dengan kata lain,

Sekarang bagi string a1a2...aℓ menjadi h bagian sama panjang k, dan biarkan ini merepresentasikan bilangan bulat N0...Nh–1 dalam basis b, sehingga

Untuk membuktikan teorema Midy yang diperluas pada basis b, kita harus menunjukkan bahwa jumlah dari h bilangan Ni merupakan kelipatan dari bk – 1.

Karena bk kongruen dengan 1 modulo bk – 1, maka setiap pangkat bk juga kongruen dengan 1 modulo bk – 1. Maka



yang membuktikan teorema Midy yang diperluas di basis b.

Untuk membuktikan teorema Midy yang asli, ambil kasus khusus di mana h = 2. Perhatikan bahwa N0 dan N1 keduanya direpresentasikan oleh string k digit pada basis b, sehingga keduanya memenuhi

N0 dan N1 tidak mungkin keduanya sama dengan 0 (jika tidak a/p = 0) dan tidak mungkin keduanya sama dengan bk – 1 (jika tidak a/p = 1), sehingga

dan karena N0 + N1 adalah kelipatan dari bk – 1, maka dapat disimpulkan bahwa

Korolari
Dari hal di atas,  adalah bilangan bulat

Maka 

Dan untuk 

Untuk  dan merupakan bilangan bulat

dan seterusnya.

Referensi

Sumber

Rademacher, H. dan Toeplitz, O. The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur. Princeton, NJ: Princeton University Press, hlm. 158–160, 1957. 
E. Midy, "De Quelques Propriétés des Nombres et des Fractions Décimales Périodiques". College of Nantes, France: 1836.
Ross, Kenneth A. "Repeating decimals: a period piece". Math. Mag. 83 (2010), no. 1, 33–45. 

Pranala luar



Kategori:Teorema dalam teori bilangan
Kategori:Pecahan (matematika)
Kategori:Sistem bilangan