Bilangan Liouville

Dalam teori bilangan, bilangan Liouville ialah suatu bilangan riil  dengan sifat bahwa untuk setiap bilangan asli , terdapat suatu pasangan terurut bilangan asli  dengan  sedemikian sehingga

Pertidaksamaan tersebut mengakibatkan bahwa bilangan Liouville memiliki suatu barisan hampiran bilangan rasional yang sangat baik. Pada tahun 1884, Joseph Liouville membuktikan bahwa terdapat batas pada seberapa baik suatu bilangan aljabar dapat dihampiri oleh bilangan rasional, dan beliau mendefinisikan bilangan Liouville secara spesifik agar bilangan tersebut memiliki hampiran rasional yang lebih baik dibandingkan bilangan lain pada rentang tersebut. Liouville juga memberikan contoh-contoh dari bilangan Liouville yang membuktikan keberadaan bilangan transendental untuk pertama kalinya. Salah satu contoh dari bilangan tersebut ialah konstanta Liouville

dimana digit ke- setelah koma desimal ialah 1 jika  merupakan faktorial dari suatu bilangan asli, dan 0 untuk digit-digit lainnya. Telah diketahui bahwa  dan walau merupakan bilangan transendentalbukan merupakan bilangan Liouville.

 Kewujudan bilangan Liouville (konstanta Liouville) 
Bilangan Liouville dapat ditunjukkan keberadaannya dengan konstruksi eksplisit.

Diberikan sembarang bilangan bulat  dan sembarang barisan  sedemikian sehingga
 nilai  untuk setiap , dan
 terdapat takhingga banyaknya nilai  sedemikian sehingga .
Didefinisikan bilangan

Pada kasus khusus ketika  dan  untuk setiap , bilangan  disebut sebagai konstanta Liouville:

Berdasarkan definisi dari , maka representasi  dalam basis  ialah

dengan suku ke- berada pada posisi  setelah tanda koma. Oleh karena digit-digit dari representasi  dalam basis  tidak periodik, maka  merupakan bilangan irasional. Akibatnya, untuk setiap bilangan rasional , maka berlaku

Diambil sembarang . Nilai  dan  dapat dipilih sebagai berikut

sehingga didapatkan

yang menunjukkan bahwa  merupakan bilangan Liouville.

 Catatan pembuktian 
 Pada baris kedua, perhatikan bahwa , , dan  bernilai nonnegatif. Akibatnya, setiap suku dari deret takhingga  juga bernilai nonnegatif, sehingga tanda mutlak pada baris kedua dapat dihilangkan.
 Pada baris ketiga, ingat bahwa  untuk setiap . Akibatnya, nilai jumlahan terbesar akan terjadi ketika  untuk setiap , sehingga diperoleh pertidaksamaan  Deret pada baris ketiga diarahkan menjadi deret pada baris keempat sebab bentuk umum dari suku-suku pada deret  mirip dengan deret geometrik  sehingga dengan memunculkan deret yang pembilangnya ialah  dan menggeser indeks dari jumlahannya dari  menjadi , maka  pada bagian pembilang dan bagian penyebut akan saling mengeliminasi, yang harapannya akan membuat hasil akhir pecahannya mendekati bentuk 
 Pada baris keempat, ingat bahwa nilai . Akibatnya, pertidaksamaan  merupakan pertidaksamaan sejati, sebab untuk setiap , terdapat  suku yang bernilai positif di atara  dan  yang termuat pada deret  tetapi tidak termuat pada deret . Dengan kata lain, pertidaksamaan  merupakan pertidaksamaan sejati, sebab barisan  merupakan barisan bagian dari barisan 
 Pada baris kesembilan, ingat bahwa  dan . Akibatnya,  Pertidaksamaan tersebut dipilih sebab pecahan  harus dimanipulasi menjadi sesuatu dengan bentuk . Pertidaksamaan tersebut memungkinkan proses eliminasi dari  dan bagian pembilang, menggunakan sifat bahwa , sehingga bagian penyebutnya memiliki bentuk ideal untuk substitusi .

 Keirasionalan bilangan Liouville 

 Ketransendentalan bilangan Liouville 

Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan terlebih dahulu menyelidiki sifat dari bilangan irasional aljabar. Sifat ini pada dasarnya menyatakan bahwa bilangan aljabar irasional tidak dapat dihampiri dengan baik oleh bilangan rasional, dan syarat untuk "dihampiri dengan baik" akan menjadi lebih sulit untuk penyebut yang lebih besar. Walaupun bilangan Liouville merupakan bilangan irasional, bilangan Liouville tidak memiliki sifat ini, sehingga bukan merupakan bilangan aljabar dan harus bersifat transendental. Lema berikut ini biasanya dikenal sebagai teorema Liouville (mengenai penghampiran Diophantine), meskipun terdapat beberapa hasil yang dikenal sebagai teorema Liouville.

 Ketakterhitungan himpunan semua bilangan Liouville 
Pandang bilangan

yaitu bilangan yang setiap digitnya setelah koma desimal ialah angka nol, kecuali pada posisi , yang nilai digitnya sama dengan digit ke- dari representasi desimal bilangan .

Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa bilangan tersebutbeserta setiap bilangan desimal takberakhir lainnya, dengan digit-digitnya diatur menyerupai contoh di atasmemenuhi definisi dari bilangan Liouville. Oleh karena himpunan semua bilangan desimal takberakhir memiliki kardinalitas kontinum, maka himpunan semua bilangan Liouville juga demikian.

 Lihat juga 
 Bilangan Brjuno
 Konstanta Markov
 Penghampiran Diophantus

 Referensi 

 Pranalaa luar 
  The Beginning of Transcendental Numbers

Kategori:Penghampiran Diophantus
Kategori:Konstanta matematika
Kategori:Artikel yang memuat pembuktian
Kategori:Bilangan transendental riil
Kategori:Bilangan irasional