Teorema Euclid

Dalam teori bilangan, teorema Euclid menyatakan bahwa terdapat takhingga banyaknya bilangan prima. Pernyataan tersebut pertama kali dibuktikan oleh Euclid dalam karya miliknya, Elements. Terdapat setidaknya 200 bukti dari teorema ini.

 Bukti 
 Bukti Euclid 
Euclid memberikan bukti yang diterbitkan dalam karya Elements miliknya (Buku IX, Proposisi 20), yang akan diparafrase dalam artikel ini.

Pada karya orisinalnya, Euclid menulis sembarang himpunan berhingga bilangan prima sebagai , , 

 Variasi 
Terdapat beberapa variasi dari bukti Euclid, salah satunya ialah sebagai berikut:

 Bukti Euler 
Bukti dari matematikawan Swiss Leonhard Euler mengandalkan teorema dasar aritmetika, yaitu setiap bilangan asli selain 1 memiliki faktorisasi prima yang bersifat tunggal.

Pada paper yang sama, Euler menggunakan persamaan

untuk membuktikan teorema yang jauh lebih kuat dan belum diketahui sebelum Euler, yaitu deret

bersifat divergen.

 Bukti Erdős 
Paul Erdős memberikan bukti yang juga bergantung pada teorema dasar aritmetika.

 Bukti Furstenberg 

Pada tahun 1955, Hillel Furstenberg memberikan pembuktian melalui kontradiksi menggunakan topologi umum.

 Bukti menggunakan prinsip inklusi–eksklusi 
Pada tahun 2009, Juan Pablo Pinasco memberikan pembuktian melalui kontradiksi menggunakan prinsip inklusi–eksklusi.

 Bukti menggunakan rumus Legendre 

Pada tahun 2010, Junho Peter Whang menerbitkan pembuktian melalui kontradiksi menggunakan rumus Legendre.

 Pembuktian melalui kontruksi 
Filip Saidak memberikan pembuktian melalui konstruksi, yang tidak menggunakan reductio ad absurdum maupun lema Euclides (yaitu, jika bilangan prima  habis membagi , maka  habis membagi  atau  habis membagi ).

 Bukti menggunakan argumen ganjil-genap 
Romeo Meštrović menggunakan argumen ganjil-genap untuk menunjukkan bahwa jika banyaknya bilangan prima itu berhingga, maka 3 adalah bilangan prima terbesar.

 Pernyataan yang lebih kuat 
Teorema-teorema pada bagian ini mengakibatkan kebenaran teorema Euclid (beserta hasil-hasil lainnya).

 Teorema Dirichlet mengenai barisan aritmetika 

Teorema Dirichlet menyatakan bahwa untuk setiap dua bilangan asli  dan  yang saling prima, terdapat takhingga banyaknya bilangan prima dengan bentuk umum , dengan  adalah suatu bilangan asli. Dengan kata lain, terdapat takhingga banyaknya bilangan prima yang kongruen dengan  modulo .

 Teorema bilangan prima 

Misalkan  menyatakan fungsi pencacahan bilangan primayang memberikan banyaknya bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan untuk setiap bilangan riil . Teorema bilangan prima menyatakan bahwa fungsi  merupakan hampiran yang bagus untuk , dalam artian bahwa limit dari hasil bagi dari dua fungsi  dan  saat nilai  meningkat tanpa batas ialah . Secara simbolis, maka

Dengan menggunakan notasi asimtotik, maka hasil ini dapat dinyatakan sebagai

Teorema bilangan prima mengakibatkan kebenaran dari teorema Euclid, sebab .

 Teorema Bertrand–Chebyshev 

Dalam teori bilangan, postulat Bertrand adalah teorema yang menyatakan bahwa untuk setiap bilangan asli , terdapat setidaknya satu bilangan prima  sedemikian sehingga

Hal ini ekuivalen dengan pernyataan bahwa  untuk setiap bilangan riil , dengan  menyatakan fungsi pencacahan bilangan primayaitu banyaknya bilangan prima yang nilainya kurang dari atau sama dengan .

Pernyataan ini pertama kali dikonjekturkan pada tahun 1845 oleh Joseph Bertrand. Bertrand sendiri memverifikasi pernyataan tersebut untuk setiap bilangan pada selang . Konjektur Bertrand berhasil dibuktikan oleh Chebyshev pada 1852. (Bukti postulat: 371–382). Lihat juga Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, hal. 15–33, 1854 sehingga postulatnya juga dinamai sebagai teorema Bertrand–Chebyshev atau teorema Chebyshev.

 Catatan 

 Referensi 

 Pranala luar 

  Euclid's Elements, Buku IX, Prop. 20 (bukti Euclid, pada situs web David Joyce dari Universitas Clark)

Kategori:Artikel yang memuat pembuktian
euclid
Kategori:Takhingga