Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras terdiri dari tiga bilangan bulat positif , , dan , sehingga . Tripel Pythagoras sering kali ditulis , dan contoh-contoh umumnya adalah . Jika  adalah tripel Pythagoras, maka berlaku juga dengan  untuk bilangan bulat positif .  Segitiga yang sisinya membentuk tripel Pythagoras adalah segitiga siku-siku, dan dinamai  segitiga Pythagoras.

Tripel Pythagoras primitif adalah tripel Pythagoras yang salah satu dari , , dan  adalah bilangan koprima (yaitu, bilangan yang tidak mempunyai faktor persekutuan lebih besar dari 1). Sebagai contoh,  adalah tripel Pythagoras primitif, sedangkan  bukan. Setiap tripel Pythagoras dapat diperbesar menjadi tripel Pythagoras primitif yang tunggal dengan membagi  dengan faktor persekutuan terbesar. Sebaliknya, setiap tripel Pythagoras dapat diperoleh dengan mengalikan anggota tripel Pythagoras primitif dengan bilangan bulat positif (sama halnya berlaku untuk tiga anggota itu).

Namanya berasal dari teorema Pythagoras yang menyatakan bahwa setiap segitiga siku-siku memiliki panjang sisi yang memenuhi rumus . Karena itu, tripel Pythagoras mengaitkan tiga panjang sisi bilangan bulat dari segitiga siku-siku. Namun, segitiga siku-siku dengan sisi yang bukan bilangan bulat tidak membentuk tripel Pythagoras. Sebagai contoh, bila sisi  dan  membentuk segitiga siku-siku, maka  bukanlah tripel Pythagora, sebab  bukanlah bilangan bulat. Selain itu,  dan  tidak memiliki kelipatan persekutuan bilangan bulat karena  adalah bilangan irasional.

Tripel Pythagoras sudah diketahui sejak masa kuno. Catatan pertama terkenalnya adalah Plimpton 322, lauh Babylonia sekitar 1800 SM yang ditulis dalam sebuah sistem bilangan seksagesimal. Lauh ini ditemukan oleh Edgar James Banks setelah tahun 1900, dan dijual ke George Arthur Plimpton pada tahun 1922, untuk $10.

Ketika menelusuri penyelesaian bilangan bulat,  merupakan persamaan Diophantus. Karena itu, tripel Pythagoras merupakan penyelesaian persamaan Diophantus nonlinear yang diketahui sejak lama.

 Contoh 
jmpl| mengenai sisi  dari tripel Pythagoras pertama dengan  dan  lebih kecil dari 6000. Nilai negatif tercakup untuk mengilustrasikan pola parabolis. Sinarnya merupakan sebuah hasil dari fakta bahwa jika  adalah tripel Pythagoras, maka berlaku juga untuk ,  dan  untuk bentuk umumnya, dengan  adallah bilangan bulat positif.
Adapun enam belas tripel Pythagoras primitif yang mencapai hingga 100:

Tripel Pythagoras kecil lainnya seperti  tidak tercantum dari contoh tersebut, karena bukan primitif, sebab  kelipatan dari .

Selain itu, tabel berikut merupakan sisa tripel Pythagoras primitif sampai dengan 300:

 Menghasilkan tripel Pythagoras 
jmpl|300x300px|Tripel Pythagoras primitif. Sisi yang memiliki panjang ganjil  digambarkan pada sumbu horizontal, dan sisi yang panjang genap  pada sumbu vertikal. Kisi kurvilinear terdiri dari kurva dengan konstanta  dan konstanta  dalam rumus Euklides.
jmpl|300x300px|Plot mengenai tripel Pythagoras yang dihasilkan oleh rumus Euklides merancang bagian kerucut . Konstanta  dan  mengikuti jejak bagian parabola pada kerucut.

Rumus Euklides adalah rumus dasar untuk menghasilkan tripel Pythagoras bila diketahui pasangan bilangan bulat sebarang  dan  dengan . Rumusnya menyatakan bahwa bilangan bulat

membentuk tripel Pythagoras. Sebagai contoh, diketahui  dan , maka rumus Euklides menghasilkan tripel primitif .
Tripel yang dihasilkan oleh rumus Euklides adalah primitif jika dan hanya jika  dan  adalah bilangan koprima dan setidaknya salah satunya bilangan genap. Ketika  dan  ganjil, maka , , dan  genap, dan tripel tidak lagi menjadi primitif. Akan tetapi, membagi , , dan  dengan 2 menghasilkan tripel primitf ketika  dan  koprima.

Setiap tripel primitif muncul (setelah pertukaran  dan , jika  adalah genap) dari pasangan tunggal bilangan koprima , , yang salah satunya genap. Ini mengikuti bahwa ada tak terhingga banyaknya tripel Pythagoras primitif. Hubungan , , dan  dengan  dan  dari rumus Eukildes akan dibahas sepanjang sisa artikel ini.

Meskipun menghasilkan semua tripel primitif, rumus Euklides tidak menghasilkan semua tripel, contohnya seperti  tidak dapat dihasilkan menggunakan bilangan bulat  dan . Ini dapat diperbaiki dengan memasukkan parameter tambahan  ke rumusnya. Berikut ini akan menghasilkan semua tripel Pythagoras secara tunggal:

dengan , , dan  adalah bilangan bulat positif dengan , serta  dan  adalah koprima dan keduanya bukanlah ganjil.

Mengenai rumus-rumus tersebut yang menghasilkan tripel Pythagoras dapat dibenarkan dengan memperluas  menggunakan aljabar elementer dan membenarkan bahwa hasilnya sama dengan . Karena setiap tripel Pythagoras dapat dibagi menjadi lebih kecil lagi dengan bilangan bulat  untuk mendapatkan tripel primitif, setiap tripel dapat dihasilkan secara tunggal dengan menggunakan rumus tersebut dengan  dan  untuk menghasilkan lawan pasangan primitifnya dan kemudian mengalikan dengan  seperti persamaan terakhir.

Memilih  dan  dari barisan bilangan tertentu memberikan hasil yang menarik. Contohnya, jika  dan  adalah bilangan Pell berturut-turut,  dan  memiliki selisih 1.https://oeis.org/A000129

Banyak rumus-rumus untuk menghasilkan tripel dengan sifat-sifat khusus telah dikembangkan semenjak zaman Euklides.

 Bukti rumus Euklides 
Kepuasan persyaratan rumus Euklides oleh , , dan  adalah cukup untuk mengubah suatu segitiga menjadi segitiga Pythagoras. Persyaratan tersebut tampaknya berasal dari fakta bahwa untuk bilangan bulat positif  dan , , , , dan  yang dinyatakan oleh rumus sama-sama bilangan positif semua. Persyaratan tersebut juga berasal dari fakta bahwaSebuah bukti keperluannya bahwa , , dan  diungkapkan oleh rumus Euklides untuk suatu tripel Pythagoras primitif adalah sebagai berikut. Semua tripel tersebut dapat ditulis sebagai  dengan  serta , , dan  koprima. Karena itu, , , dan  adalah koprima sepasangan (jika sebuah bilangan prima dibagi dua dari mereka, hal tersebut juga akan mendorong untuk membagi bilangan yang ketiga). Karena  dan  koprima, setidaknya salah satu darinya bilangan ganjil. Jika seseorang menganggap bahwa  ganjil, maka  genap dan  adalah ganjil (jika  sebelumnya ganjil,  akan menjadi genap, dan  akan menjadi sebuah kelipatan dari 4, sedangkan  akan menjadi kongruen dengan 2 modulo 4 sebagai bilangan kuadrat ganjil kongruen dengan 1 modulo 4).

Dari rumus , diperoleh . Karena itu didapati . Maka . Karena  adalah bilangan rasional, kita meletakkannya sama dengan  dalam bentuk pecahan paling sederhana. Demikian  yang menjadi timbal balik dari . Lalu menyelesaikan

untuk  dan  memberikan

Karena  sudah dalam bentuk paling sederhana,  dan  adalah koprima, dan kedua bilangan tersebut tidak dapat menjadi bilangan genap. Jika keduanya ganjil, pembilang dari  akan menjadi kelipatan dari 4 (karena sebuah bilangan kuadrat ganjil kongruen dengan 1 modulo 4), dan penyebutnya  tidak akan menjadi kelipatan dari 4. Karena 4 akan menjadi faktor genap minimum yang mungkin dalam pembilang dan 2 akan menjadi faktor genap maksimum yang mungkin dalam penyebut, ini menyiratkan  menjadi genap meskipun mendefinisikannya sebagai bilangan ganjil. Oleh karena demikian, salah satu dari  dan  adalah bilangan ganjil dan yang lainnya genap, dan pembilang dari dua pecahan dengan penyebut  adalah ganjil. Demikian pecahan-pecahan ini benar-benar dalam bentuk paling sederhana (suatu bilangan prima ganjil membagi penyebut ini membagi salah satu dari  dan , tetapi bukan yang lainnya; jadi, tidak membagi ). Seseorang dapat menyamakan penyebut dengan pembilang, dan pembilang dengan penyebut, sehingga menghasilkan rumus Euklidesdengan  dan  adalah koprima dan paritas yang berlawanan.

Sebuah bukti yang lebih panjang tapi lebih umum diberikan dalam Maor (2007)Maor, Eli, The Pythagorean Theorem, Princeton University Press, 2007: Appendix B. dan Sierpiński (2003). Bukti lain diberikan dalam , sebagai contoh metode umum yang berlaku untuk setiap persamaan Diophantus berderajat dua yang homogen.

 Pandangan mengenai parameter dalam rumus Eukildes 
Misalkan sisi segitiga Pythagoras memiliki panjang , , dan . Misalkan sudut antara sisinya yang memiliki panjang  dan hipotenusa dengan panjang  dinyatakan dengan . Maka  dan nilai trigonometrik sudut penuhnya adalah ,  , dan .

 Bentuk lain 
Bentuk lain rumus Euklides terkadang lebih cocok, karena terlihat lebih simetris dalam memperhatikan  dan  (sebagai syarat paritas yang sama kedua bilangan tersebut). Jika  dan  adalah sama-sama bilangan bulat ganjil sehingga , makaadalah tiga bilangan bulat yang membentuk tripel Pythagoras, yang merupakan primitif jika dan hanya jika  dan  koprima. Sebaliknya, setiap tripel Pythagoras primitif muncul (setelah pertukaran  dan , jika  adalah genap) dari pasangan tunggal  dari bilangan bulat ganjil.

 Sifat elementer tripel Pythagoras primitif 

 Sifat umum 
Sifat tripel Pythagoras primitif  dengan  (tanpa menentukan manakah dari  atau  yang genap dan yang ganjil) adalah sebagai berikut:

  selalu bilangan kuadrat sempurna.. Karena ini hanya sebuah syarat perlu tapi bukan cukup, ini dapat digunakan dalam memeriksa jika tripel yang diketahui bukanlah tripel Pythagoras. Sebagai contoh,  dan  memenuhi  sebagai bilangan kuadrat sempurna, tapi kedua tripel tersebut bukanlah tripel Pythagoras.
 Ketika tripel , , dan  membentuk tripel Pythagoras primitif, maka ( dikurangi sisi genap) dan satu setengah dari ( dikurangi sisi ganjil) sama-sama bilangan kuadrat sempurna. Namun ini bukanlah sebuah syarat cukup, karena bilangan  memenuhi uji bilangan kuadrat sempurna tapi masih bukan tripel karena .
 Paling banyak salah satu dari , , dan  adalah bilangan kuadrat.Untuk ketidakberadaan penyelesaian dimana  dan  adalah keduanya bilangan kuadrat, awalnya dibuktikan oleh Fermat, lihat . Untuk kasus lainnya, di mana  adalah salah satu dari bilangan kuadrat, lihat .
 Luas segitiga Pythagoras tidak dapat menjadi bilangan kuadratCarmichael, R. D., 1914, "Diophantine analysis,"  in second half of R. D. Carmichael, The Theory of Numbers and Diophantine Analysis, Dover Publ., 1959. atau dua kali kuadrat bilangan asli.
 Tepat salah satu dari ,  habis dibagi oleh 2 (adalah genap);  dan hipotenusa  selalu ganjil.
 Tepat salah satu dari ,  habis dibagi oleh 3, tapi  tidak.
 Tepat salah satu dari ,  habis dibagi oleh 4, tapi  tidak (karena  tidak pernah genap).
 Tepat salah satu dari , ,  habis dibagi oleh 5.
 Bilangan terbesar yang selalu membagi  adalah 60.
 Sebarang bilangan ganjil dari bentuk , dengan  bilangan bulat dan , dapat menjadi sisi ganjil tripel Pythagoras primitif. Lihat tripel Pythagoras primitif hampir sama kaki di bagian bawah. Namun, hanya bilangan genap yang habis dibagi oleh 4 dapat menjadi sisi genap tiripel Pythagoras primitif. Ini dikarenakan rumus Euklides untuk sisi genap yang diberikan di atas adalah  dan salah satu dari  dan  harus genap.
 Hipotenusa  adalah jumlah dari dua bilangan kuadrat. Ini memerlukan semua faktor prima menjadi bilangan prima dari bentuk .. Oleh karena itu  adalah bentuk . Suatu barisan bilangan hipotenusa yang mungkin untuk tripel Pythagoras primitif dapat ditemukan di 
 Luasnya () adalah bilangan kongruenIni mengikuti secepatnya dari fakta bahwa  habis dibagi duabelas, bersama dengan definisi bilangan kongruen sebagai luas segitiga kanan dengan sisi rasional. Lihat misalnya . yang habis dibagi 6.
 Dalam setiap tripel Pythagoras, jari-jari lingkaran dalam dan jari-jari dari tiga lingkaran singgung luar adalah bilangan asli. Secara spesifik, untuk suatu tripel primitif, jari-jari lingkaran dalam adalah , dan jari-jari lingkaran singgung luar berlawanan dengan sisi , , dan hipotenusa  masing-masing , , dan .
 Adapun suatu segitiga siku-siku, kebalikan teorema Thales mengatakan bahwa diameter lingkaran luar sama dengan hipotenusa. Karena itu untuk suatu tripel primitif, diameter lingkaran luarnya adalah , dan jari-jari lingkaran luar adalah setengahnya serta demikan merupakan bilangan rasional tapi bukan bilangan bulat (karena  dan  memiliki paritas yang berlawanan).
 Ketika luas segitiga Pythagoras dikalikan oleh kelengkungan lingkaran dalamnya dan tiga lingkaran singgung luar masing-masing hasilnya empat bilangan bulat positif . Bilangan bulat  memenuhi Persamaan Lingkaran Descartes. Secara ekuivalen, jari-jari lingkaran Soddy luar dari suatu segitga siku-siku sama dengan semiperimeternya. Pusat lingkaran Soddy luar terletak di , dengan  adalah persegi panjang,  adalah segitiga siku-siku dan  adalah hipotenusanya.
 Hanya dua sisi tripel Pythagoras primitif dapat dengan secara bersamaan menjadi bilangan prima karena dengan rumus Eukildes yang menghasilkan tripel Pythagoras, salah satu dari sisinya harus bilangan komposit dan bilangan genap. Namun, hanya satu sisi dapat menjadi bilangan bulat pangkat sempurna  karena dua sisinya adalah bilangan bulat pangkat sempurna dengan eksponen  yang sama. Hal tersebut bertentangan karena tidak ada solusi bilangan bulat untuk persamaan Diophantus , dengan , , dan  adalah bilangan koprima sepasangan.H. Darmon and L. Merel. Winding quotients and some variants of Fermat’s Last Theorem, J. Reine Angew. Math. 490 (1997), 81–100.
 Tidak ada segitiga Pythagoras yang hipotenusa dan suatu sisi adalah sisi segitiga Pythagorasyang lain: ini adalah salah satu dari bentuk ekuivalen teorema segitiga siku-siku Fermat.
 Setiap segitiga Pythagoras primitif memiliki rasio luas  dengan semiperimeter yang dikuadratkan , yang unik dengan sendirinya dan dinyatakan

 Tidak ada segitiga Pythagoras primitif memiliki ketinggian bilangan bulat dari hipotenusanya, yaitu setiap segtiga Pythagoras primitif tidak dapat uraikan lagi.
 Himpunan semua tripel Pythagoras primitif membentuk pohon terner berakar dengan cara pada umumnya; lihat Pohon tripel Pythagoras primitif.
 Sudut lancip segitiga Pythagoras tidak dapat menjadi sebuah bilangan rasional atau derajat. (Ini mengikuti teorema Niven)

 Kasus istimewa 
Selain itu, adapun tripel Pythagoras khusus dengan sifat-sifat tertentu sebagai berikut:

 Setap bilangan bulat lebih besar dari 2 tidak kongruen dengan 2 mond 4 (dengan kata lain, setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 yang bukan dari bentuk ) termasuk tripel Pythagoras. (Jika bilangan bulat memiliki bentuk , seseorang dapat mengambil  dan  dalam rumus Eukildes, dan jika blangan bulatnya adalah , seseorang dapat mengambil  dan .)
 Setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 termasuk tripel Pythagoras primtif atau non-primitif. Contohnya, bilangan bulat 6, 10, 14, dan 18 tidak termasuk tripel primitif, melainkan termasuk tripel non-prmitif ,  dan .
 Terdapat tripel Pythagoras yang tak terhingga banyaknya, yang hipotenusa dan sisi terpanjangnya memiliki selisih tepat satu. Tripel tresebut seharusnya primitif dan memiliki bentuk . Hasil tersebut berasal dari rumus Euklides yang mengatakan, syarat tersebut menyiratkan bahwa tripel tersebut adalah primitif dan harus membenarkan . Ini menyiratkan , dan demikian . Jadi, bentuk di atas dari hasil tripel itu mensubstitusikan  untuk  dalam rumus Eukildes.
 Terdapat tripel Pythagoras yang tak terhingga banyaknya yang hipotenusa dan sisi terpanjangnya memilih selisih tepat dua. Tripelnya sama-sama primitif, yang didapati dengan memasukkan  dalam rumus Euklides. Lebih umumnya, untuk setiap bilangan bulat , terdapat tripel Pythagoras primitif yang tak terhingga banyaknya yang hipotenusa dan sisi ganjil memiliki selisih , yang diperoleh dengan memasukkan  dalam rumus Eukildes.
 Terdapat tripel Pythagoras yang tak terhingga banyaknya yang kedua sisinya memiliki selisih tepat satu. Contohnya, . Adapun tripel tersebut dihasilkan oleh rumus Euklides ketika  konvergen dengan .
 Untuk setiap bilangan asli , terdapat tripel Pythagoras  dengan hipotenusa yang berbeda dan luas yang sama.
 Untuk setiap bilangan asli , terdapat tripel Pythagoras primitif  yang berbeda dengan sisi  yang sama, dengan  bilangan asli (panjang dari kaki genap adalah , dan cukup untuk memilih  dengan banyak faktorisasi, contohnya , dimana  adalah sebuah darab bilangan bilangan prima ganjil  yang berbeda; setidaknya menghasilkan  tripel primitif yang berbeda).
 Untuk setiap bilangan asli , terdapat setidaknya tripel Pythagoras  yang berbeda dengan hipotenusa yang sama.
 Terdapat tripel Pythagoras yang tak terhingga banyaknya dengan bilangan kuadrat untuk keduanya hipotenusa  dan jumlah dari sisi . Menurut Fermat, tripel paling terkecil tersebut memiliki sisi , , . Disini  dan . Ini dihasilkan oleh rumus Eukildes dengan nilai parameter  dan .
 Terdapat segitiga Pythagoras non-primitif dengan ketinggian bilangan bulat dari hipotenusa.Voles, Roger, "Integer solutions of a−2 + b−2 = d−2," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, Juli 2008, 313–317. Segitiga Pythagoras tersebut dikatakan teruraikan karena dapat dipisahkan sepanjang ketinggian itu menjadi dua segitiga Pythagoras yang terpisah dan lebih kecil.

 Geometri rumus Eukildes 

 Titik rasional pada lingkaran satuan 
jmpl|3,4,5, memetakan ke titik x,y pada lingkaran satuan.
jmpl|Titik rasional pada lingkaran yang korespondensi dengan titik rasional dari garis di bawah proyeksi stereografik

Rumus Euklides untuk tripel Pythagoras

dapat dipahami dalam pandangan geometri berupa titik rasional pada satuan lingkaran .

Bahkan, suatu titik di bidang Cartesius dengan koordinat  merupakan milik lingkaran satuan jika . Suatu titik adalah rasional jika  dan  adalah bilangan rasional, dalam artian jika terdapat bilangan bulat koprima , ,  sehingga

.

Dengan mengalikan kedua anggota , seseorang dapat memandang bahwa titik rasional pada lingkaran korespondensi satu-ke-satu dengan tripel Pythagoras.

Lingkaran satuan juga dapat didefinisikan oleh persamaan parametrik

Rumus Eukides untuk tripel Pythagoras dan hubungan inversnya  mengartikan bahwa suatu titik pada lingkaran (kecuali  adalah rasional jika dan hanya jika nilai korespondensi dari  adalah bilangan rasional.

 Pendekatan stereografik 
jmpl|Proyeksi stereografik dari lingkaran satuan ke dalam sumbu-. Diketahui titik  pada lingkaran satuan, menggambar garis dari  ke titik  (kutub utara). Titik  yang merupakan perpotongan garis tersebut dengan sumbu- adalah proyeksi stereografik dari . Sebaliknya, memulai dengan menggambar garis dari  ke , proyeksi stereografik inversnya adalah titik  yang merupakan perotongan garis tersebut dengan lingkaran satuan.

Adapun terdapat korespondensi di antara titik pada lingkaran satuan dengan koordinat rasional dan tripel Pythagoras primitif. Pada kali ini, rumus Euklides dapat diturunkan dengan menggunakan metode trigonometri ataupun secara ekuivalen menggunakan proyeksi stereografik.

Untuk pendekatan stereografik, misalkan  adalah titik pada sumbu- dengan koordinat rasional

Maka, dapat ditunjukkan dengan aljabar dasar bahwa titik  memiliki koordinat

Ini menetapkan bahwa setiap titik rasional dari sumbu- berjalan melewati ke suatu titik rasional lingkaran satuan. Sebaliknya, bahwa setiap titik rasional lingkaran satuan datang dari titik rasional tersebut dari sumbu-, lantaran menerapkan proyeksi stereografik inversnya. Misalkan  suatu titik dari lingkaran satuan dengan  dan  bilangan rasional. Maka titik  diperoleh dari proyeksi stereografik pada sumbu- memiliki koordinat

yang merupakan rasional.

Dalam hal geometri aljabar, varietas aljabar dari titik rasional pada lingkaran satuan adalah dwirasional ke garis afin atas bilangan rasional. Karena itu, lingkaran satuan disebut lengkung rasional, dan karena hal tersebut yang memungkinkan parameterisasi eksplisit dari titik (bilangan rasional) padanya melalui fungsi rasional.

 Segitiga Pythagoras dalam kekisi berdimensi dua 
Kekisi berdimensi dua adalah larik titik terpencil yang beraturan, yang jika suatu titik dipilih sebagai titik origin di bidang koordinat Cartesius , maka semua titik lainnya ada di  dengan  dan  berkisars di semua bilangan bulat positif dan negatif. Segitiga Pythagoras dengan tripel  dapat digambar di dalam kekisi berdimensi dua dengan titik di koordinat , , dan . Jumlah titik kekisi yang terletak sempurna di dalam batas dari segitiga dirumuskan . Untuk tripel Pythagoras primitif, kekisi dalam ini adalah . Menurut teorema Pick (yang sama dengan satu kurang dari jumlah titik kekisi dalam ditambah setengah dari jumlah titik kekisi batas), luasnya sama dengan .

Kemunculan dua tripel Pythagoras primitif pertama membagi luas yang sama muncul dengan segitiga dengan sisi ,  dan luas umumnya adalah 210 . Kemunculan dua tripel Pythgoras primitif pertama membagi jumlah titik kekisi dalam yang sama muncul dengan ,  dan jumlah kekisi dalam adalah 2287674594 . Tiga tripel Pythagoras primitif telah ditemukan membagi luas yang sama: , ,  dengan luas 13123110. Hingga kini, tidak ada himpunan dari tiga tripel Pythagoras primitif telah ditemukan membagi jumlah kekisi dalam.

 Enumerasi tripel Pythagoras primitif 
Berdasarkan rumus Eukildes, semua tripel Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari bilangan bulat  dan  dengan ,  adalah ganjil dan . Karena itu terdapat pemetaan satu-ke-satu bilangan rasional (dalam bentuk paling sederhana) ke tripel Pythagoras primitif, dengan ada di dalam selang  dan  ganjil.

Pemetaan terbalik dari tripel primitif , dengan , ke suatu bilangan rasional  didapatkan dengan mengetahui dua penjumlahan  dan . Salah satu dari penjumlahan ini akan menjadi suatu bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan  dan lainnya akan menjadi dua kali suatu bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan . Hal tersebut mungkin untuk menentukan bilangan rasional .

Untuk menghitung tripel Pythagoras primitif, bilangan rasionalnya dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut  dan dipetakan ke bilangan bulat menggunakan sebuah fungsi pasangan Cantor. Contoh dapat diperlihatkan pada . Dimulai dari  yang kemudian memberikan bilangan rasional , dan pada akhirnya menghasilkan tripel primitif .

 Spinor dan grup modular 
Tripel Pythagoras juga dapat dikodekan menjadi matriks persegi yang berbentukMatriks berbentuk seperti itu adalah simetrik. Lebih lanjut, determinan  adalahyang hasilna tepat nol ketika  adalah tripel Pythagoras. Jika  korespondensi dengan tripel Pythagoras, maka matriks tersebut harus memiliki peringkat 1. Karena  simetrik, hasil dalam aljabar linear bahwa terdapat sebuah vektor kolom  sehingga hasil kali luar
berlaku, dengan  melambangkan transpos matriks. Vektor  disebut spinor (untuk grup Lorentz ). Dalam penjelasan yang abstrak, rumus Euklides mengartikan setiap tripel Pythagoras primitif dapat ditulis sebagai hasil luar suatu spinor dengan sendirinya, yang memiliki entri bilangan bulat seperti pada ().

Grup modular  adalah himpunan matriks 2×2 yang memiliki entri bilangan bulat

yang determinannya sama dengan satu: . Himpunan ini membentuk grup, karena invers matriks di  lagi-lagi sama dengan , yang merupakan hasil kali dua matriks di . Grup modular bertindak pada koleksi semua spinor bilangan bulat. Lebih lanjut, grup adalah transitif pada kumpulan spinor bilangan bulat dengan entri-entri relatif prima. Karena jika  memiliki entri yang relatif prima, maka

dengan  dan  dipilih (menurut algoritma Euklides) sehingga .

Dengan bertindak pada spinor  di (), tindakan  mengubah tindakan pada tripel Pythagoras, asalkan seseorang memungkinkan tripel yang kemungkinannya memiliki komponen negatif. Dengan demikian, jika  adalah matriks di , maka

menyebabkan tindakan pada matriks  di (). Ini tidak memberikan suatu tindakan didefinisikan dengan baik pada tripel primitif, karena dapat mengambil tripel primitif ke yang non-primitif. Sekarang, pernyataan tersebut pantas (menurut ) untuk menyebut suatu tripel  standar jika  dan baik  relatif prima maupun  relatif prima dengan  ganjil. Jika spinornya  memiliki entri yang relatif prima, maka tripel yang diiiringi  ditentukan oleh () adalah tripel standar. Ini mengikuti bahwa tindakan grup modular adalah transitif pada himpunan tripel standar.

Secara bergantian, perhatian yang melarang untuk nilai-nilai  dan  supaya  ganjil dan  genap. Misalkan subgrup  dari  adalah kernel dari kehomomorfan grupdengan  adalah grup linear khusus atas medan hingga  dari bilangan bulat modulo 2. Maka  adalah grup transformasi unimodular yang mempertahankan paritas setiap entri. Demikian, jika entri pertama  ganjil dan entri kedua genap, maka berlaku juga untuk  untuk semua . Bahkan, di bawah tindakan (), grup  bertindak secara transitif pada koleksi tripel Pythagoras primitif .

Grup  merupakan grup bebas yang pembangkitnya adalah matriks .

Akibatnya, setiap tripel Pythagoras primitif dapat diperoleh dalam cara yang unik sebagai hasil kali salinan matriks  dan .

 Hubungan induk atau anak 
Melalui , semua tripel Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari segitiga  dengan menggunakan tiga transformasi linear , ,  berikut, dengan  adalah sisi tripel:
sisi baru sisi baru sisi baru 
Dengan kata lain, setiap tripel primitif akan menjadi sebuah "induk" untuk tiga tripel primitif lainnya. Mulai dari simpul awal dengan , , , operasi  menghasilkan tripel bardan dengan cara yang serupa  dan  menghasilkan tripel  dan .

Transformasi linear , , dan  memiliki sebuah pandangan geometris dalam pengertian bentuk kuadrat. Mereka sangat berkaitan dengan (tetapi tidak sama dengan) cerminan yang menghasilkan grup ortogonal  atas bilangan bulat.

 Hubungan dengan bilangan bulat Gauss 
Secara bergantian, rumus Eukildes dapat dianalisis dan dibuktikan menggunakan bilangan bulat Gauss. Bilangan bulat Gauss adalah bilangan kompleks dari bentuk , dengan  dan  adalah bilangan bulat biasa dan  adalah akar kuadrat dari negatif satu. Satuan bilangan bulat Gauss adalah  dan . Bilangan bulat biasa disebut bilangan bulat rasional dan dilambangkan sebagai . Bilangan bulat Gauss dilambangkan sebagai . Ruas kanan teorema Pythagoras dapat difaktorkan dalam bilangan bulat Gauss:

Tripel Pythagoras primitif adalah suatu tripel dengan  dan  adalah koprima, dalam pengertian mereka tidak membagi faktor bilangan prima dalam bilangan bulat. Untuk tripel tersebut, baik  maupun  genap, dan sisanya ganjil. Ini mengikuti bahwa  juga ganjil.

Dua faktor tripel Pythagoras  dan  masing-masing sama dengan kuadrat bilangan Gauss. Ini dapat dibuktikan menggunakan sifat bahwa setiap bilangan bulat Gauss dapat difaktorkan secara unik menjadi bilangan prima Gauss dengan memperhatikan satuan. See also Werke, 2:67–148. (Secara kasar, faktorisasi tunggal ini diakibatkan versi algoritma Eukildes yang dapat didefinisikan padanya.) Bukti tersebut memiliki tiga langkah. Pertama, jika  dan  sama-sama tidak membagikan faktor prima dalam bilangan bulat, maka mereka juga tidak membagikan faktor prima dalam Gauss. (Asumsi  dan  dengan bilangan bulat Gauss , , dan  serta  bukanlah satuan. Maka  dan  terletak pada garis yang sama melalui titik asalnya. Semua bilangan bulat Gauss pada garis tersebut merupakan kelipatan bilangan bulat mengenai suatu bilangan bulat Gauss . Namun kemudian bilangan bulat  membagi  dan .) Kedua, ini mengikuti bahwa  dan  juga tidak membagikan faktor prima dalam bilangan bulat Gauss. Karena jika melakukannya, maka faktor persekutuan  juga akan membagi  dan . Karena  dan  adalah koprima, ini menyiratkan bahwa  membagi . Dari rumus , yang kenyataannya menyiratkan bahwa  genap. Ketiga, karena  adalah bilangan kuadrat, setiap bilangan prima Gauss dalam faktorisasinya berganda, dalam artian muncul jumlah perkalian yang genap. Karena  dan  tidak membagikan faktor prima, pengandaan ini juga benar untuknya. Karena itu,  dan  adalah bilangan kuadrat.

Dengan demikian, faktor pertamanya dapat ditulisBagian real dan imajiner persamaan ini memberikan dua rumus:

Untuk suatu tripel Pythagoras primitif, pasti ada bilangan bulat  dan  sehingga kedua persamaannya terpenuhi. Karena itu, setiap tripel Pythagoras dapat dihasilkan untuk suatu pemilihan bilangan bulat tersebut.

 Sebagai bilangan bulat Gauss kuadrat sempurna 
Jika seseorang menganggap kuadrat bilangan bulat Gauss, seseorang secara langsung mendapatkan pandangan rumus Eukildes sebagai wakilan kuadrat sempurna bilangan Gauss, sebagai berikut:Karena bilangan bulat Gauss adalah sebuah domain Eukildes dan bilangan bulat Gauss , , selalu bilangan kuadrat ini, sangat mungkin untuk menunjukkan bahwa tripel Pythagoras korespondensi dengan kuadrat bilangan bulat Gauss prima jika hipotenusanya bilangan prima.

Jika bilangan bulat Gauss bukanlah bilangan prima, maka bilangan bulat Gauss sama dengan hasil kali dua bilangan bulat Gauss  dan  dengan bilangan bulat  dan . Karena besarannya dikalikan dalam bilangan bulat Gauss, hasil kalinya harus , yang ketika dikuadratkan untuk mencari sebuah tripel Pythagoras harus komposit. Kontrapositifnya melengkapi pembuktiannya.

 Sebaran tripel 
jmpl| mengenai sisi tripel Pythagoras pertama  dengan  dan  lebih kecil dari 4500.

Terdapat sejumlah hasil sebaran tripel Pythagoras. Dalam scatter plot, jumlah pola yang terlihat jelas. Setiap kali sisi tripel primitif  muncul pada plot, semua kelipatan bilangan bulat  juga muncul dalam plot, dan sifat ini menampilkan garis yang memancar dari titik asalnya pada diagram.

Dalam plot tersebut, ada himpunan pola parabolis dengan densitas titik yang tinggi dan semua fokus yang terletak di titik asalnya, yang menampilkan semua empat arah. Parabola yang berbeda memotong pada sumbu dan terlihat mencerminkan sumbu dengan sudut insidensi 45 derajat, dengan parabola ketiga bergerak dengan tegak lurus. Dalam kuadran ini, setiap busur yang terpusat di titik asalnya menunjukkan bahwa bagian dari parabola yang terletak di antara ujungnya dan perpotongannya dengan semi-lactus rectum.

Pola tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika  adalah bilangan bulat, maka  sebuah tripel Pythagoras. (Bahkan setiap tripel Pythagoras  dapat ditulis melalui cara tersebut dengan bilangan bulat , yang mungkin setelah pertukaran  dan , dan kurva padanan dengan  dan . Jika  beragam yang diketahui nilai  (yaitu, pada parabola yang diketahui), nilai bilangan bulat  sering kali berlangsung secara relatif jika  bilangan kuadrat atau semua kelipatan kecil dari bilangan kuadrat. Jika nilai-nilai tersebut terletak secara berdekatan, maka parabola padanan hampir berimpit, dan kluster tripel di garis parabolik yang sempit. Sebagai contoh , , ,  dan , maka pita parabolik padanan sekitar  terlihat jelas pada plot.

Sifat sudut digambarkan di atas mengikuti dengan seketika dari bentuk parabola yang fungsional. Parabolanya dicerminkan pada sumbu- pada , dan turunan  terhadap  pada titik ini adalah , karena itu sudut insidensinya adalah . Karena kluster seperti semua tripel berulang pada kelipatan bilangan bulat, nilai  juga korespondensi dengan sebuah kelompok. Parabola padanan memotong sumbu- pada sudut siku-siku di , dan karena itu cerminannya setelah pertukuaran  dan  memotong sumbu- pada sudut siku-siku di , tepat ketika parabola untuk  dicerminkan pada sumbu-. (Hal yang sama tentunya juga benar untuk pertukaran  dan .)

Albert Fässler dan beberapa matematikawan lainnya memberikan pemahaman lebih lanjut tentang pengertian parabola tersebut dalam konteks pemetaan konformal.1988 Preprint  See Figure 2 on page 3., later published as  as PDF

 Kasus khusus dan persamaan yang berkaitan 

 Barisan Platonik 
Kasus  dari konstruksi tripel Pythagoras yang lebih umum untuk waktu yang lama. Proclus, dalam komentarnya untuk Proposisi ke-47 dari buku pertama Eukildes's Elements, digambarkan sebagai berikut:Metode tertentu untuk penemuan segitiga mengenai jenis ini diturunlan, salah satunya yang mana mereka merujuk ke Plato, dan lainnya ke Pythagoras. (Yang terakhir) dimulai dari bilangan ganjil. Untuk membuatnya bilangan ganjil lebih kecil dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku, maka ini mengambil kuadratnya, mengurangi persatuan dan memuat setengah beda lebih besar dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku; terakhir ini menambakan persatuan untuk ini dan demikian membentuk sisi-sisi yang tersisa.

...Untuk meotde Plato berdebat dari bilangan genap. Ini mengambil diberikan bilangan genap dan membuatnya salah satu dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku; maka, membagi dua bilangan ini dan menguadratkan bentuk hipotenusa, dan mengurangi persatuannya dari bilangna kuadat untuk membentuk sisi lainnya mengenai sudut siku-siku. ...Demikian ini membentuk segitiga yang sama yang diperoleh oleh metode lainnya.Dalam bentuk persamaan, ini menjadi:

 adalah ganjil (Pythagoras, sekitar 540 SM):

.

 adalah genap (Plato, sekitar 380 SM):

.

Ini dapat ditunjukkan bahwa semua tripel Pythagoras dapat diperoleh, dengan skala ulang yang sesuai, dari barisan Platonic dasar  dengan memungkinkan  untuk mengambil nilai rasional bukan bilangan bulat. Jika  digantikan dengan pecahan  dalam barisan, hasilnya sama dengan pembangkit tripel 'standar'  setelah skala ulang. Ini mengikuti bahwa setiap tripel memiliki sebuah rasional padanan nilai  yang dapat digunakan untuk menghasilkan sebuah segitiga sebangun (satu dengan tiga sudut yang sama dan dengan sisi-sisi dalam proposisi yang sama sebagai asalnya). Contohnya, setara Platonic  dihasilkan oleh  sebagai . Barisam Platonic sendiri dapat diturunkan dengan mengikuti langkah-langkah untuk "memisahkan kuadrat' digambarkan dalam Diophantus II. VIII.

 Persamaan Jacobi–Madden 
Persamaan,

setara dengan tripel Pythagoras khusus

.

Ada sebuah jumlah penyelesaian yang takterhingga untuk persamaan ini karena meyelesaikan untuk peubahnya melibatkan sebuah kurva eliptik. Yang kecil adalah,

 Jumlah sama dari dua jumlah bilangan kuadrat 
Salah satu untuk menghasilkan penyelesaian untuk  adalah untuk mengukur  dalam suku bilangan bulat  sebagai berikut:Nahin, Paul. An Imaginary Tale: The Story of , pp. 25–26.

 Jumlah sama dari dua bilangan pangkat empat 
Diberikan dua himpunan tripel Pythagoras,

masalah mencari hasilkali yang sama mengenai sebuah sisi takhipotenusa dan hipotenusanya,

dengan mudah dilihat menjadi setara dengan persamaannya,

dan pertama kali dipecahkan oleh Euler sebagai . Karena beliau menunjukkan  ini adalah sebuah titik rasional dalam sebuah kurva eliptik, maka ada sebuah jumlah penyelesaian yang takhingga. Faktanya, dia juga menemukan sebuah parameterisasi polinomial derajat 7.

 Teorema Lingkaran Descartes 
Untuk kasus teorema lingkaran Descartes dimana semua peubah adalah bilangan kuadrat,

Euler menunjukkan ini adalah setara dengan tiga tripel Pythagoras simultan,

Terdapat juga jumlah penyelesaian yang takterhingga, dan untuk kasus khusus dimana , maka persamaannya menyederhanakan ke,

dengan penyelesaian yang kecil sebagai  dan dapat dipecahkan sebagai bentuk kuadratik biner.

 tripel Pythagoras hampir sama kaki 
Tidak ada tripel Pythagoras adalah sama kaki, karena rasio dari hipotenusa untuk salah satu sisi lainnya adalah , tapi  tidak dapat diungkapkan sebagia rasio 2 bilangan bulat.

Itu adalah, nbnamun, segitiga bersudut siku-siku dengan sisi integral untuk yang panjangnya dari sisi takhipotenusa berbeda dengan satunya, seperti,

dan jumlah lainnya takterhingga. Mereka dapat diukur lengkap sebagai,

dimana  adalah penyelesaian untuk persamaan Pell 

Jika , ,  adalah sisi-sisi tipe ini mengenai tripel Pythagoras primitif, maka penyelesaian untuk persamaan Pell diberikan oleh rumus rekursif

 dengan  dan 

 dengan  dan 

 dengan  dan .

Barisan ini mengenai tripel Pythagoras primitif membentuk batang pusat dari pohon terner berakar mengenai tripel Pythagoras primitif.

Ketika ini sisi takhipotenusa yang panjang dan hipotenusa yang berbeda dengan satunya, seperti di

maka penyelesaian lengkap untuk tripel Pythagoras primitif , ,  adalah

, , 

dan

dimana bilangan bulat  adalah parameter pembangkit.

Ini menunjukkan bahwa semua bilangan ganjil (lebih dari 1) muncul dalam tipe ini mengenai tripel Pythagoras primitif hampir sama kaki. Barisan tripel Pythagoras ini membentuk batang luar sisi sebelah kanan dari pohon terner berakar mengenai tripel Pythgoras primitif.

Sifat tipe ini lainnya mengenai tripel Pythagoras primtiif hampir sama kaki adalah bahwa sisi-sisinya berkaitan sehingga

untuk suatu bilangan bulat . Atau dengan kata lain  habis dibagi oleh  seperti di

.

 Bilangan Fibonacci dalam tripel Pythagoras 
Dimulai dengan 5, setiap bilangan Fibonacci adalah panjang dari hipotenus segitiga siku-siku dengan sisi bilangan bulat, atau dengan kata lain, bilangan terbesar dalam sebuah tripel Pythagoras, diperoleh dari rumus

.

Barisan segitiga Pythagiras diperoleh dari rumus ini memiliki sisi panjang

Sisi tengah mengenai setiap segitiga ini adalah jumlah dari tiga sisi dari segitiga sebelumnya.

 Perampatan 
Terdapat beberapa cara untuk merampat konsep tripel Pythagoras.

 Rangkap-n Pythagoras 
Menggunakan identitas aljabar sederhana,

untuk sebarang , , ini mudah untuk membuktikan bahwa bilangan kuadrat dari jumlah kuadrat  adalah jumlah kuadrat   itu sendiri dengan memisalkan  dan kemudian mendistribusikan suku-suku. Salah satunya dapat lihat bagaimana tripel dan rangkap empat Pythagoras hanyalah kasus khusus  dan , masing-masing, dan seterusnya untuk  lain, dengan rangkap lima diberikan oleh

.

Karena jumlah  mengenai bilangan kuadrat berturutan  diawali dengan  diberikan oleh rumus,

salah satunya dapat mencari nilai  sehingga  adalah sebuah bilangan kuadrat, seperti saklah satunya oleh Hirschhorn dimana jumlah suku-suku adalah sebuah bilangan kuadrat itu sendiri,

, , 

dan  adalah suatu bilangan bulat tidak habs dibagi oleh 2 atau 3. Untuk kasus terkecil , karena , ini menghasilkan masalah pengepakan peluru meriam terkenal dari Lucas.

sebuah fakta yang terhubung dengan kekisi Leech.

Sebagai tambahan, jka dalam sebuah rangkap- Pythagoras (), semua penambahan adalah berturutan kecuali satu, satunya dapat menggunakan persamaannya,

Karena pangkat dua  membatalkan, ini hanya linear dan dengan mudah dipecahkan sebab ketika  meskipun ,  seharusnya dipilih sehingga  adalah sebuah bilangan bulat, dengan sebuah contoh kecil menjadi ,  menghasilkan,

Demikian, salah satu cara untuk menghasilkan rangkap- Pythagoras adalah dengan menggunakan, untuk berbagai ,Goehl, John F., Jr., "Triples, quartets, pentads", Mathematics Teacher 98, May 2005, p. 580.

,

dimana  dan dimana

.

 Rangkap empat Pythgoras 
Sebuah himpunan empat bilangan bulat positif , , , dan  sehingga  disebut rangkap empat Pythagoras. Contoh paling sederhananya adalah , karena . Contoh (primitif) paling sederhana berikutnya adalah  karena .

Semua rangkap empat diberikan oleh rumus

.

 Teorema Terakhir Fermat 
Sebuah perampatan dari konsep tripel Pythagoras adalah penelusuran untuk tripel bilangan bulat positif  , , dan  , sehingga , untuk suatu  sempurna lebih besar dari 2. Pierre de Fermat pada tahun 1637 mengklaim bahwa seperti tripel itu tidak ada, sebuah klaim yang datang diketahui sebagai Teorema Terakhir Fermat karena ini mengambil lebih lama dari suatu konjektur lainnya oleh Fermat untuk dibuktikan atau dibantah. Bukti pertama diberikan oleh Andrew Wiles pada tahun 1994.

 Menjumlahkan bilangan pangkat ke-n-1 atau n untuk sebuah bilangan pangkat n 
Perampatan lainnya adalah penelusuran untuk barisan bilangan bulat positif  untuk yang bilangan pangkat ke- terakhirnya adalah jumlah pangkat ke-  dari suku sebelumnya. Barisan terkecil untuk nilai  yang dikenal adalah:







Untuk kasus , di mana , disebut kubik Fermat, sebuah rumus umum ada memberikan semua penyelesaian.

Sebuah sedikit perampatan yang berbeda memungkinkan jumlah pangkat ke- menyamakan jumlah pangkat ke-. Contohnya:

 , dibuat terkenal oleh ingatan Hardy mengenai sebuah percakapan dengan Ramanujan tentang bilangan 1729 menjadi bilangan terkecil yang dapat diungkapkan sebagai sebuah jumlah dua kubik dalam dua cara yang berbeda.

Ini juga ada bilangan bulat positif  yang jumlah pangkat ke- (meskipun, oleh teorema terakhir Fermat, bukan untuk ); ini adalah contoh berlawanan dengan jumlah Euler mengenai konjektur pangkat. Contoh berlawanan terkecil yang dikenal adalah




 tripel segitiga Heron 
Sebuah segitiga Heron biasanya didefinisikan sebagai salah satunya dengan sisi bilangan bulat yang luasnya juga sebuah bilangan bulat, dan kita harus menganggap segitiga Heron dengan sisi bilangan bulat yang berbeda. Panjang dari sisi seperti sebuah segitiga membentuk sebuah tripel Heron  disediakan . Setiap tripel Pythagoras adalah sebuah tripel Heron, karena setidaknya salah satu dari kaki ,  harus menjadi genap dalam sebuah tripel Pythagoras, jadi luasnya  adalah sebuah bilangan bulat. Tidak setiap tripel Heorn adalah sebuah tripel Pythagoras, tetapi, sebagai contoh  dengan luas 24 yang ditunjukkan.

Jika  adalah sebuah tripel Heron, begitu juga  dimana  adalah suatu bilangan bulat positif; luasnya akan menjadi bilangan bulat yaitu  dikali luas bilangan bulat dari segitiga . tripel Heron  adalah primitif disediakan , ,  adalah koprima sehimpunan. (Dengan tripel Pythagoras primitif, pernyataan yang lebih kuat yang mereka adalah koprima sepasangan juga menerapkan, tapi dengan segitiga Heron primitif, pernyataan yang lebih kuat tidak selalu berlaku benar, seperti dengan .) Disini ada beberapa tripel Heron primitif paling sederhana yang bukan tripel Pythagoras:

 dengan luas 

 dengan luas 

 dengan luas 

 dengan luas 

 dengan luas 

 dengan luas 

 dengan luas 

Oleh rumus Heron, syarat tambahan untuk sebuah tripel bilangan bulat  dengan  menjadi Heron adalah

atau dengan setara

menjadi bilangan kuadrat sempurna taknol habis dibagi 16.

 Penerapan untuk kriptografi 
tripel Pythagoras primitif telah digunakan dalam kriptografi sebagai barisan acak dan untuk generasi kunci.

 Lihat pula 

 Aritmetika modular
 Batu bata Euler
 Bilangan prima Pythagoras
 Bilangan takhipotenusa
 Diophantus II. VIII
 Identitas trigonometrik
 Kongruum
 Masalah tripel Pythagoras Boole
 Plimpton 322
 tripel Eisenstein
 Rangkap empat Pythagoras
 Rumus setengah sudut tangen
 Segitiga bilangan bulat
 Segitiga Heron
 Teorema 90 Hilbert

 Catatan 

 Referensi 

 ]










 T

 Pranala luar 

 Clifford Algebras and Eukildes's Parameterization of Pythagorean triples
 Curious Consequences of a Miscopied Quadratic
 Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems

 Interactive Calculator for Pythagorean Triples
 The negative Pell equation and Pythagorean triples
 Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials

 Pythagorean Triples and the Unit Circle, bab 2–3, di "A Friendly Introduction to Number Theory" oleh Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 
 Pythagorean Triples di cut-the-knot Interactive Applet menunjukkan hubungan lingkaran satuan dengan tripel Pythagoras
 Pythagorean Triplets
 The Remarkable Incircle of a Triangle
 Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples
 Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
 The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples di cut-the-knot


Kategori:Kuadrat dalam teori bilangan
Kategori:Teorema Pythagoras
Kategori:Persamaan Diophantus
Kategori:Masalah aritmetika mengenai geometri bidang