Bilangan prima Pythagoras

Bilangan prima Pythagoras adalah bilangan prima dengan  Bilangan prima Pythagoras tepatnya merupakan bilangan prima ganjil yang dihasilkan sebagai penjumlahan dari bilangan yang dikuadrat. Karakterisasi ini merupakan teorema Fermat mengenai penjumlahan dua bilangan kuadrat.

Secara ekuivalen, berdasarkan teorema Pythagoras, bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan prima ganjil  karena  merepresentasikan panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku yang sisinya bilangan bulat, serta  itu sendiri adalah sisi miring segitiga Pythagoras primitif. Sebagai contoh, bilangan 5 adalah bilangan prima Pythagoras,   adalah sisi miring segitiga siku-siku yang sisinya 1 dan 2, dan 5 sendiri adalah sisi miring segitiga siku-siku yang sisinya 3 dan 4.

 Nilai dan densitas 
Beberapa bilangan prima Pythagoras pertama adalah sebagai berikut:Menurut teorema Dirichlet mengenai barisan aritmetika, barisan tersebut tak terhingga. Pernyataan tersebut dapat diperkuat lebih lanjut sebagai berikut: untuk tiap , jumlah bilangan prima Pythagoras dan non-Pythagoras sampai  kira-kira sama. Namun, jumlah bilangan prima Pythagoras hingga  sering kali agak lebih kecil daripada jumlah bilangan prima non-Pythagoras. Fenomena tersebut dikenal sebagai  Sebagai contoh, satu-satunya nilai dari  hingga mencapai 600.000 karena terdapat lebih banyak bilangan prima ganjil Pythagoras daripada bilangan prima non-Pythagoras yang kurang dari atau sama dengan  adalah 26861 

 Representasi sebagai penjumlahan dari dua bilangan kuadrat 
Penjumlahan dari suatu bilangan ganjil kuadrat dan suatu bilangan genap kuadrat kongruen dengan 1 mod 4. Namun terdapat bilangan komposit seperti 21 yang kongruen dengan , tetapi tidak dapat direpresentasikan ke dalam penjumlahan dua bilangan kuadrat. Menurut teorema Fermat mengenai penjumlahan dua bilangan kuadrat, bilangan prima yang dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan dua bilangan kuadrat tepatnya adalah 2 dan bilangan prima kongruen ganjil yang kongruen dengan  Representasi tiap-tiap bilangan tersebut adalah tunggal, hingga mencapai pengurutan dua bilangan kuadrat.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, representasi tersebut dapat diinterpretasi secara geometri. Artinya, bilangan prima Pythagoras tepatnya bilangan prima ganjil  sehingga terdapat suatu segitiga siku-siku yang sisinya bilangan bulat dan  Bilangan prima Pythagoras juga tepatnya bilangan prima  sehingga terdapat suatu segitiga siku-siku yang sisinya bilangan bulat dan  Apabila sisi segitiganya  dan  memiliki sisi miring  (dengan ), maka segitiga yang sisinya  dan  memiliki 

Adapun cara lain memahami representasi ini sebagai penjumlahan dua bilangan kuadrat, yaitu melibatkan bilangan bulat Gauss, bilangan kompleks yang bagian real dan imajinernya sama-sama bilangan  Norma bilangan bulat Gauss  adalah  Karena itu, bilangan prima Pythagoras (dan 2) hadir sebagai norma bilangan bulat Gauss, sedangkan bilangan prima lainnya tidak. Di dalam bilangan bulat Gauss, bilangan prima Pythagoras tidak dianggap sebagai bilangan prima, karena dapat difaktorkan sebagai Dengan cara yang serupa, bilangan kuadratnya dapat difaktorkan dengan cara yang berbeda daripada faktorisasi bilangan bulatnya sebagai Bilangan real dan imajiner faktor dalam faktorisasi tersebut adalah panjang sisi dari segitiga siku-siku yang memiliki sisi miring yang diketahui.

 Residu kuadrat 
Hukum timbal balik kuadrat menyatakan bahwa apabila  dan  adalah bilangan prima ganjil yang berbeda, setidaknya salah satu dari mereka adalah bilangan prima Pythagoras, maka  adalah residu kuadrat  jika dan hanya jika  adalah residu kuadrat  Sebaliknya, jika tidak ada satupun  atau  adalah bilangan prima Pythagoras, maka  residu kuadrat  jika dan hanya jika  bukan residu kuadrat 

Dalam medan terhingga  dengan  adalah bilangan prima Pythagoras, persamaan polinomial  memiliki dua solusi. Ini dapat dinyatakan dengan mengatakan bahwa  adalah residu kuadrat  Namun persamaan tersebut sebaliknya tidak memiliki solusi dalam medan terhingga  dengan  adalah bilangan prima ganjil tapi bukan bilangan prima 
jmpl|Graf Paley dengan 13 titik
Untuk setiap bilangan prima Pythagoras , terdapat graf Paley dengan  titik, yang merepresentasikan bilangan  dengan dua bilangan yang bertetangga dalam graf jika dan hanya jika selisihnya adalah residu kuadrat. Definisi ini menghasilkan relasi tetangga yang sama, tidak peduli bagaimana urutannya yang kedua bilangannya dikurangi untuk menghitung selisihnya, karena sifat bilangan prima Pythagoras bahwa  adalah residu 

 Referensi 

Kategori:Bilangan kuadrat dalam teori bilangan
Kategori:Kelas bilangan prima