Hukum logaritma teriterasi

Dalam teori probabilitas, hukum logaritma berulang menggambarkan seberapa besar fluktuasi yang terjadi dalam sebuah pergerakan acak. Pernyataan asli dari hukum ini pertama kali dikemukakan oleh A. Ya. Khinchin pada tahun 1924.[./Aleksandr_Khinchin A. Khinchine]. "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung", [./Fundamenta_Mathematicae Fundamenta Mathematicae] 6 (1924): pp. 9–20 (The author's name is shown here in an alternate transliteration.) Pernyataan lain yang lebih umum kemudian diberikan oleh AN Kolmogorov pada tahun 1929.[./Andrey_Kolmogorov A. Kolmogoroff]. "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus". Mathematische Annalen, 101: 126–135, 1929.

 Pernyataan 
Misalkan {Yn} adalah variabel acak yang saling bebas dan terdistribusi identik, dengan nilai harapan nol dan varians satu. Misalkan Sn = Y1 + ... + Yn. Maka


Di sini, "log" adalah logaritma natural, "lim sup" menyatakan limit superior, dan "a.s." berarti "hampir pasti" (almost surely).Leo Breiman. Probability. Original edition published by Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. (See Sections 3.9, 12.9, and 12.10; Theorem 3.52 specifically.)R. Durrett. Probability: Theory and Examples. Fourth edition published by Cambridge University Press in 2010. (See Theorem 8.8.3.)

Pernyataan lain yang diberikan oleh A. N. Kolmogorov pada 1929 sebagai berikut.

Misalkan  adalah variabel acak yang saling bebas, memiliki nilai harapan nol, dan varians hingga. Misalkan:  dan . Jika  dan terdapat suatu barisan konstanta positif  sedemikian sehingga:  a.s. dan

maka berlaku:


Perlu dicatat bahwa pernyataan pertama mencakup kasus distribusi normal standar, tetapi pernyataan kedua tidak.

Referensi

Kategori:Proses stokastik
Kategori:Teori asimtot
Kategori:Teorema dalam statistik