Teorema dimensi untuk ruang vektor

Pada matematika, teorema dimensi untuk ruang vektor menyebutkan bahwa semua basis dari ruang vektor memiliki jumlah elemen yang sama. Jumlah elemen ini dapat berupa hingga atau takhingga (dengan kasus terakhir, jumlahnya adalah bilangan kardinal), dan mendefinisikan dimensi dari ruang vektor tersebut.

Secara formal, teorema dimensi untuk ruang vektor menyebutkan bahwa:

Karena sebuah basis  yang bebas secara linear, dimensi dari teorema tersebut adalah konsekuensi dari teorema berikut, yang juga berguna:

Secara khusus, jika  dibangkitkan secara hingga, maka seluruh basisnya bernilai hingga dan memiliki jumlah elemen yang sama.

Meskipun pembuktian dari keberadaan dari basis pada seluruh ruang vektor pada kasus umum memerlukan lema Zorn dan sama dengan aksioma pemilihan, keunikan dari basis kardinalitas hanya memerlukan lema ultrafilter. lema ini jauh lebih lemah, dengan pembuktian yang diberikan di bawah, tetapi dengan mengasumsikan trikotonomi. Teorema ini dapat digeneralisasi pada modul- untuk gelanggang  yang memiliki bilangan basis tak berubah. Pada kasus pembangkitan hingga, pembuktian hanya menggunakan argumentasi dasar dari aljabar, dan tidak memerlukan aksioma pemilihan ataupun variannya yang lebih lemah.

 Pembuktian 
Misalkan  adalah ruang vektor,  adalah himpunan kebebasan linear dari elemen , dan  adalah . Perlu pembuktian bahwa kardinalitas dari  tidak bernilai lebih besar dari .

Jika  bernilai hingga, maka hasilnya berasal dari lema pertukaran Steinitz. Jika  bernilai hingga, pembuktian yang berdasarkan teori matriks juga dimungkinkan. (Teorema 4 pada Bab 2).

Asumsikan bahwa  bernilai takhingga. Jika  bernilai hingga, maka tidak ada yang perlu dibuktikan. Maka, kita asumsikan bahwa  juga bernilai tak hingga. Kita asumsikan bahwa kardinalitas dari  lebih besar dari . Kita harus membuktikan bahwa hal ini menghasilkan kontradiksi.

Dengan lema Zorn, setiap himpunan independen linear terkanding pada himpunan independen linear maksimal . Maksimalitas ini menyiratkan bahwa  mengembangkan  dan maka adalah sebuah basis. Karena kardinalitas dari  bernilai lebih besar atau sama dengan kardinalitas , kita dapat mengubah  dengan . Maka, kita dapat mengasumsikan, tanpa menghilangkan generalisasi, bahwa  adalah sebuah basis.

Maka, setiap  dapat ditulis sebagai penjumlahan hingga

dengan  adalah subhimpunan dari . Karena  bernilai takhingga, maka  memiliki kardinalitas yang sama dengan . Maka  memiliki kardinalitas yang lebih kecil dari . Maka, terdapat beberapa  yang tidak muncul pada  mana pun. Nilai  yang sesuai dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear hingga dari , yang akhirnya dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear hingga dari , tanpa . Maka,  bergantung secara linear pada , yang memberikan kontradiksi yang diperlukan.

Teorema perpanjangan kernel untuk ruang vektor
Aplikasi ini untuk teorema dimensi kadang dikenal sebagai teorema dimensi. Misalkan:

adalah peta linear. Maka,

yaitu, dimensi dari  bernilai sama dengan dimensi dari rentang transformasi ditambah dengan dimensi dari kernel. Lihat teorema kenolan peringkat untuk diskusi lebih lengkap.

 Catatan kaki 

 Referensi 

Kategori:Artikel yang memuat pembuktian
Kategori:Teorema dalam aljabar linear