Kesahihan (logika)

Dalam logika dan penalaran deduktif, suatu argumen disebut sahih jika bentuknya valid dan tidak memiliki premis yang salah. Kesahihan dalam logika deduktif memiliki kaitan dengan logika matematika, yang menyatakan bahwa suatu sistem logika formal adalah sahih jika dan hanya jika setiap formula dengan rumusan yang baik yang dapat dibuktikan dalam sistem tersebut adalah valid secara logis berkenaan dengan semantik logis dari sistem tersebut.

 Definisi 
Dalam penalaran deduktif, argumen yang sahih adalah argumen yang valid dan semua premisnya benar (dan sebagai konsekuensinya kesimpulannya juga benar). Suatu argumen valid jika, dengan asumsi premisnya benar, mengharuskan kesimpulan yang benar. Contoh argumen yang sahih adalah silogisme terkenal berikut ini:

 (premis)
 Semua manusia itu fana.
 Socrates adalah seorang manusia.
 (kesimpulan)
 Oleh karena itu, Socrates bisa mati.

Karena susunan premis tersebut mengharuskan kelogisan dari kesimpulan yang dihasilkan, maka argumen ini valid; dan karena argumen tersebut valid dan premisnya benar, maka argumen tersebut sahih.

Akan tetapi, suatu argumen bisa saja valid tanpa menjadi sahih. Misalnya:

 Semua burung bisa terbang.
 Penguin adalah burung.
 Oleh karena itu, penguin dapat terbang.

Argumen ini dianggap valid karena susunan premisnya mengharuskan kesimpulannya benar dengan asumsi semua premisnya benar. Namun, premis pertama salah. Tidak semua burung dapat terbang (misalnya burung unta). Agar suatu argumen dianggap sahih, argumen tersebut harus valid dan premisnya harus benar.

Beberapa peneliti, seperti Lemmon, menggunakan istilah “sahih” sebagai sinonim dari “validitas”, sehingga dalam karya mereka, tidak ada kata khusus untuk apa yang sekarang disebut “sahih”. Namun saat ini, pembedaan antara "sahih" dan "valid" sudah digunakan secara luas.

 Penggunaan dalam logika matematika 

 Sistem logika 
Dalam logika matematika, suatu sistem logika dianggap sahih bila setiap rumus yang dapat dibuktikan dalam sistem tersebut adalah valid secara logika, yang berkenaan dengan semantik sistem tersebut. Dalam kebanyakan kasus, hal ini disebabkan oleh aturan-aturan yang memiliki sifat menjaga kebenaran. Kebalikan dari kesahihan dikenal sebagai kelengkapan.

Suatu sistem logika yang memiliki implikasi sintaksis () dan implikasi semantik () dianggap sahih jika untuk barisan apa pun  dari kalimat dalam bahasanya, jika , maka  . Dengan kata lain, suatu sistem dikatakan baik apabila semua teorema yang ada di dalamnya valid.

Kesahihan merupakan salah satu properti paling mendasar dari logika matematika. Properti kesahihan memastikan suatu sistem logika bekerja secara baik, dengan memastikan bahwa setiap komponen dalam sistem logika adalah valid. Properti lain, yaitu <i>kelengkapan</i> memastikan bahwa tiap komponen yang ada dalam sistem logika dapat dibuktikan. Gabungan antara properti kesahihan dan kelengkapan logika menyiratkan semua pernyataan yang valid bisa dibuktikan, dan tidak ada pernyataan yang bisa dibuktikan kecuali memang valid.

Sebagian besar bukti untuk menyatakan kesahihan bersifat trivial. Misalnya, dalam suatu sistem aksiomatik, bukti kesahihan berupa verifikasi validitas dari aksioma dan bahwa aturan inferensi pada aksioma tersebut mempertahankan validitas (atau kebenaran, pada properti yang lebih lemah). Jika sistem memungkinkan deduksi gaya Hilbert, maka ia hanya memerlukan verifikasi validitas aksioma dan satu aturan inferensi, yaitu modus ponens (dan terkadang substitusi).

Sifat sahih terbagi menjadi dua jenis utama: sahih lemah dan sahih kuat. Sahih lemah merupakan bentuk terbatas dari sifat sahih kuat.

 Sahih lemah 
Kesahihan lemah (weak soundness) dari suatu sistem deduktif adalah sifat bahwa setiap kalimat yang dapat dibuktikan dalam sistem tersebut juga benar dalam semua interpretasi atau struktur semantik dari bahasa yang digunakan. Artinya, jika suatu pernyataan dapat dibuktikan secara sintaksis dalam sistem deduktif , maka pernyataan tersebut juga berlaku secara semantik dalam semua model dari bahasa  beserta teori semantiknya. Secara simbolis, jika ⊢ S P, maka juga ⊨ L P, dengan S adalah sistem deduktif, L adalah bahasa dan semantiknya, dan P adalah kalimat.

 Kesahihan kuat 
Kesahihan kuat (strong soundness) dari suatu sistem deduktif adalah sifat bahwa setiap kalimat P dalam bahasa yang menjadi dasar sistem tersebut, yang dapat diturunkan dari suatu himpunan kalimat Γ, juga merupakan konsekuensi logis dari himpunan tersebut. Artinya, setiap model yang membuat semua anggota Γ bernilai benar juga akan membuat P bernilai benar. Secara simbolis, jika  ⊢ S P, maka  Γ ⊨ L P. Perlu diperhatikan bahwa jika Γ adalah himpunan kosong, maka pernyataan kesahihan kuat ini menjadi sama dengan kesahihan lemah.

 Hubungan dengan kelengkapan 
Kebalikan dari sifat kesahihan adalah sifat kelengkapan semantik (semantic completeness). Suatu sistem deduktif dengan teori semantik disebut lengkap secara kuat (strongly complete) jika setiap kalimat  yang merupakan konsekuensi semantik dari suatu himpunan kalimat , juga dapat diturunkan dalam sistem deduktif dari himpunan tersebut. Secara simbolis: jika  , maka juga . Kelengkapan logika predikat tingkat pertama kali secara eksplisit dibuktikan oleh Gödel, meskipun beberapa hasil utamanya telah terkandung dalam karya Skolem sebelumnya.

Dengan lebih sederhana, dapat dikatakan bahwa teorema kesahihan untuk sistem deduktif menyatakan bahwa semua kalimat yang dapat dibuktikan bersifat benar. Kelengkapan menyatakan bahwa semua kalimat yang benar dapat dibuktikan.

Teorema ketidaklengkapan pertama Gödel menunjukkan bahwa untuk bahasa formal yang cukup kuat untuk memuat sejumlah aritmetika, tidak mungkin ada sistem deduktif yang sekaligus konsisten, efektif, dan lengkap terhadap penafsiran yang dimaksudkan dari simbol-simbol dalam bahasa tersebut. Artinya, tidak semua sistem deduktif yang sahih juga lengkap dalam arti khusus ini—yaitu ketika himpunan model yang dipertimbangkan dibatasi hanya pada model yang sesuai dengan penafsiran yang dimaksudkan (seperti bilangan asli standar). Bukti kelengkapan asli hanya berlaku untuk semua model klasik, bukan untuk subhimpunan model khusus yang dianggap sebagai penafsiran "yang benar".

 Referensi 

 Bibliografi 



 Boolos, Burgess, Jeffrey. Computability and Logic, 4th Ed, Cambridge, 2002.

 Pranala luar 

 Validitas dan Kesahihan dalam Ensiklopedia Filsafat Internet .

Kategori:Penalaran deduktif
Kategori:Konsep logika
Kategori:Argumen
Kategori:Logika
Kategori:Logika matematika