Teorema kenolan peringkat

Teorema peringkat kenolan adalah teorema dalam aljabar linear yang mengatakan:

 jumlah kolom dari matrix  adalah penjumlahan dari peringkat dari  dan kenolan dari ; dan
 dimensi domain dari transformasi linear dari  adalah penjumlahan dari peringkat dari  (dimensi dari bayangan ) dan kenolan dari  (dimensi dari kernel ). p. 63, §3.22 p. 70, §2.1, Theorem 2.3 p. 52, §2.5.1 p. 71, §4.3

Teorema ini mengikuti transformasi lineari dari ruang vektor dengan dimensi hingga yang sama, antara fungsi injektif atau surjektif yang menyiratkan bijeksi.

 Penulisan teorema 

 Transformasi linear 

Misalkan  adalah transformasi linear antara dua ruang vektor, dengan domain  dari  adalah dimensi hingga. Maka,

dengan  adalah peringkat dari  (dimensi dari bayangannya) dan  adalah kenolan dari  (dimensi dari kernelnya). Dengan kata lain,

Teorema ini dapat disempurnakan dengan  agar pernyataan tentang isomorfisme pada ruang, tidak hanya dimensi. Secara eksplisit, karena  menginduksi isomorfisme dari  ke , keberadaan basis untuk  yang memperluas basis apa pun dari  menyiratkan, dengan lema pembagian, bahwa . Teorema kenolan peringkat dapat dilihat dengan mengambil dimensi pernyataan tersebut.

 Matriks 
Peta linear dapat direpresentasikan dengan matriks. Lebih presisi, matriks  dengan dimensi  merepresentasikan peta linear , dengan  adalah lapangan yang mendasarinya. pp. 103-104, §2.4, Theorem 2.20 Maka, dimensi dari domain  adalah , jumlah dari kolom matriks , dan teorema kenolan peringkat untuk matriks  dengan dimensi  adalah

.

 Pembuktian 
Di sini, terdapat dua pembuktian untuk teorema kenolan peringkat ini. Pembuktian pertama dioperasikan pada kasus uum, dengan peta linear. Pembuktian kedua menggunakan sistem homogen , dengan  adalah  dengan peringkat , dan terlihat secara eksplisit bahwa terdapat himpunan solusi kebebasan linear sejumlah  yang membentang ruang kenol dari .

Sementara teorema ini membutuhkan domain dari peta linear berdimensi hingga, tidak terdapat asusi dari kodomain tersebut. Ini berarti bahwa terdapat peta linear yang tidak dituliskan oleh matriks yang diaplikasikan oleh teorema ini. Meskipun demikian, pembuktian pertama tidak lebih lebih umum dari yang kedua; karena bayangan dari peta linear bernimensi hingga, kita dapat merepresentasikan peta tersebut dari domain ke bayangannya dengan sebuah matriks, membuktikan teorema dari matriks tersebut, lalu ditulis dengan penyertaan bayangan pada kodomain yang penuh.

 Pembuktian pertama 
Misalkan  adalah ruang vektor pada suatu lapangan ,  mendefinisikan seperti pada pernyataan dari teorema dengan .

Karena  adalah subruang, terdapat basis untuknya. Misalkan  dan

adalah basisnya.

Kita sekarang dapat, dengan lema perturakan Steinitz, mengembangkan  dengan vektor kebebasan linear  sejumlah  untuk membentuk basisi penuh dari .

Misalkan,

dengan

adalah basis untuk .

Dari sini, kita tahu bahwa

Kita sekaram membuat klaim bahwa  adalah basis untuk . Persamaan di atas sudah menyebutka bahwa  adalah himpunan pembuat untuk . Hal ini tetap diperlihatkan bahwa ini juga bebas secara linear untuk menyimpulkan bahwa ini adalah sebuah basis.

Misalkan  tidak bebas secara linear, dan misalkan

untuk beberapa .

Maka, oleh karena linearitas dari , dapat disimpulkan bahwa

Ini adalah kontradiksi terhadap  sebagai basis, kecuali seluruh  bernilai nol. Ini menunjukkan bahwa  bernilai bebas secara linear, dan lebih spesifik bahwa hal itu adalah basis dari .

Sebagai rangkuman, kita memiliki , sebuah basis untuk , dan , sebuah basis untuk .

Akhirnya, kita dapat menyebutkan bahwa

Pembuktian kedua

Misalkan  adalah matriks dengan dimensi  dan kolom bebas linear sejumlah  (misalnya ). Kita akan memperlihatkan bahwa:

Untuk melakukannya, kita akan membuat matriks  dengan dimensi  yang kolomnya membentuk basis dari ruang nol dari .

Tanpa pengurangan generalisasi, kita asumsikan bahwa kolom  pertama dari  bersifat independen secara linar. Jadi, kita bisa menulis:

dengan
 adalah matriks  dengan kolom vektor bebas linear sejumlah , dan
 adalah matriks  yang setiap kolom ()-nya adalah kombinasi linear dari kolom 

Ini berarti bahwa  untuk beberapa matriks  berdimensi  (lihat ) dan, maka,

Misalkan

dengan  adalah matriks identitas . Maka,  adalah matriks {{math|n × (n-r) yang

Oleh karena itu, setiap kolom  dari  adalah solusi khusus untuk .

Lebih lanjut, kolom  dari  bernilai bebas linear karena  akan menyiratkan  untuk :

Maka, vektor kolom dari  merupakan himpunan penyelesaian bebas linear dari  untuk .

Sekarang kita buktikan bahwa setiap solusi dari  harus merupakan kombinasi linear dari kolom .

Untuk itu, pertama, kita tuliskan bahwa

merupakan vektor apa pun yang membuat . Karena kolom dari  bernilai bebas linear,  yang menyiratkan bahwa .

Maka,

Ini membuktikan bahwa setiap vektor  yang adalah solusi dari  harus merupakan kombinasi linear dari solusi spesial  yang diberikan oleh kolom dari matriks . Dan kita telah melihat bahwa kolom dari  bernilai bebas secara linear. Maka, kolom  merupakan basis dari ruang kenol dari . Maka dari itu, kenolan dari  adalah . Karena  sama dengan peringkat (rank) dari , maka . 

 Subruang dasar ketiga 

Ketika  adalah transformasi linear antara dua subruang berdimensi hingga, dengan  dan , teorema kenolan peringkat menegaskan bahwa jika  memiliki peringkat , maka  adalah dimensi ruang nol dari , yang merepresentasikan kernel dari . Pada beberapa teks, subruang dasar ketiga yang diasosiasikan pada  dihitung bersama dengan bayangan dan kernelnya: sebuah  dari  adalah  , dan dimensinya adalah . Formula dimensi ini bersama dengan teorema kenolan peringkat kadang disebut sebagai teorema fundamental dari aljabar linear atau teorema dasar dari aljabar linear.

 Reformulasi dan generalisasi 
Teorema kenolan peringkat ini adalah pernyataan dari teorema isomorfisme pertama dari aljabar untuk kasus ruang vektor; teorema ini menggeneralisasi .

Pada bahasa yang lebih modern, teorema ini juga dapat difrasakan sebagai pernyataan yang mengatakan bahwa setiap barisan eksak pendek dari setiap ruang vektor terbagi. Secara eksplisit, untuk:

adalah barisan eksak pendek dari ruang vektor, maka , maka

Di sini,  memainkan peran sebagai  dan  adalah ; yaitu

Pada kasus dimensi takhingga, formulasi ini rentan terhadap generalisasi: jika

adalah barisan eksak dari ruang vektor berdimensi hingga, maka

Teorema kenolan perangkat untuk ruang vektor berimensi hingga dapat juga diformulasikan dalam hal indeks pada peta linear. Indeks pada peta linear , di mana  dan  adalah dimensi hingga, didefinisikan oleh

Secara intuitif,  adalah jumlah solusi independen dari  untuk persamaan  dan  adalah jumlah pembatasan independen yang harus diberikan pada  untuk membuat  dapat diselesaikan. Teorema kenolan peringkat untuk ruang vektor berdimensi hingga setara pada pernyataan

Kita dapat melihat bahwa kita masih dapat membaca indeks pada peta linear  dengan mudah dari ruang yang terlibat, tanpa kebutuhan untuk menganalisis  secara detail; Efek ini juga muncul pada hasil yang lebih dalam: Teorema indeks Atiyah–Singer mengatakan bahwa indeks dari beberapa operator diferensial dapat dibaca dari geometri ruang yang terlibat.

 Catatan kaki 

 Referensi 

 Kutipan 

 Daftar pustaka 





 .


 Pranala luar 

 , MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces, dari MIT OpenCourseWare

Kategori:Artikel yang memuat pembuktian
Kategori:Teorema dalam aljabar linear