Gelanggang bilangan bulat

Di matematika, gelanggang bilangan bulat dari medan bilangan aljabar  adalah gelanggang dari seluruh bilangan bulat aljabar yang terdiri dalam . Sebuah bilangan bulat aljabar adalah akar dari polinomial monik dengan koefisien bilangan bulat: . Gelanggang ini sering dituliskan sebagai  atau . Karena setiap bilangan bulat termasuk dalam  dan adalah elemen integral dari , gelanggang  selalu adalah subgelanggang dari .

Gelanggang bilangan bulat  adalah gelanggang bilangan bulat paling sederhana. Yaitu, , dengan  adalah lapangan dari bilangan rasional. Dan benar, pada teori bilangan aljabar, elemen  sering disebut sebagai "bilangan bulat rasional" karena ini.

Contoh paling sederhana lainnya dari gelanggang ini adalah bilangan bulat Gauss , yang terdiri dari bilangan kompleks yang bagian riil dan imajinernya adalah bilangan bulat. Ini adalah gelanggang bilangan bulat pada bidang bilangan  dari rasional Gauss, yang berisi bilangan kompleks yang bagian riil dan imajinernya adalah bilangan rasional. Seperti bilangan bulat rasional,  adalah domain Euclide.

Gelanggang bilangan bulat dari lapangan bilangan aljabar adalah orde maksimal unik dari lapangan tersebut. Hal ini selalu adalah domain Dedekind.

 Properti 
Gelanggang bilangan bulat  adalah modul  . Benar, itu adalah modul bebas  dan maka adalah basis integral, yaitu basis  dari  ruang vektor  yang setiap element  pada dapat direpresentasikan secara unik sebagai:

dengan . Peringkat  dari  sebagai modul bebas  bernilai sama dengan  dari  terhadap .

 Contoh 

 Perkakas perhitungan 
Perkakas yang membantu dalam perhitungan penutupan integral gelanggang bilangan bulat pada lapangan aljabar  adalah diskriminan. Jika  adalah derajat  terhadap , dan  membentuk basis dari  terhadap , himpunan . Maka,  adalah submodul dari  yang terbentang pada . Bahkan, jika  adalah kuadrat bebas, maka  membentuk basis integral untuk .

 Perpanjangan siklotomik 
Jika  adalah prima,  adalah akar satuan ke- dan } adalah  yang sesuai, maka basis integral dari {{math| = Z[ζ]}} diberikan sebagai .

 Perpanjangan kuadrat 
Jika  adalah bilangan bulat bebas kuadrat dan  adalah lapangan kuadrat yang sesuai, maka  adalah gelanggang dari bilangan bulat kuadrat dan basis integralnya bernilai  jika  dan  jika . Hal ini dapat dilihat dengan menghitung polinomial minimal dari elemen  apa pun, dengan .

 Struktur multiplikatif 
Pada gelanggang bilangan bulat, setiap elemen memiliki faktorisasi pada elemen taktereduksi, tapi gelanggang tersebut tidak harus memiliki properti Teorema dasar aritmetika|faktorisasi unik]]. Contoh, pada gelanggang bilangan bulat , elemen 6 memiliki dua faktorisasi yang pada dasarnya berbeda pada elemen taktereduksi:

Sebuah gelanggang bilangan bulan selalu merupakan domain Dedekind, dan maka, memiliki faktorisasi ideal unik pada prima ideal.

[[Unit (teori gelanggang)|Unit dari gelanggang bilangan bulat  adalah grup abelian yang dihasilkan tak hingga oleh teorema unit Dirichlet. Subgrup torsi bersisi akar satuan dari . Satu himpunan penghasil bebas torsi disebut sebagai himpunan unit fundamental.

 Generalisasi 
Gelanggang bilangan bulat dapat didefinisikan sebagai lapangan lokal tak-archimedes  sebagai himpunan dari seluruh elemen  dengan nilai mutlak . Ini adalah gelanggang karena pertidaksamaan segitiga yang kuat. Jika  adalah penyelesaian dari lapangan bilangan aljabar, gelanggang bilangan bulatnya adalah penyelesaian dari gelanggang bilangan bulat yang terakhir. Gelanggang bilangan bulat dari lapangan bilangan aljabar dapat juga dikarakterisasi sebagai elemen dengan bilangan bulat pada setiap penyelesaian tak-archimedes.

Misalnya, bilangan bulat -adic  adalah gelanggang bilangan bulat bilangan -adic .

 Catatan kaki 

 Referensi 
 Kutipan 

 Daftar pustaka 






Kategori:Teori bilangan aljabar
Kategori:Artikel mengandung teks Jerman