Logaritma kompleks

200px|thumb|Bagian riil dari  adalah logaritma alami dari . Grafiknya didapatkan dengan memutar grafik  sepanjang sumbu .

Pada matematika, logaritma kompleks adalah generalisasi dari logaritma alami dari bilangan kompleks tak nol. Istilah ini merujuk pada salah satu dari penjelasan berikut, yang saling berhubungan:

 Logaritma kompleks dari bilangan kompleks  tak nol, yang didefinisikan sebagai bilangan kompleks , yaitu . Bilangan  diberikan oleh . Jika  dituliskan dalam bentuk polar , dengan  dan  adalah bilangan riil dan , maka  adalah satu logaritma dari . Seluruh logaritma kompleks dari  adalah bilangan dalam bentuk  untuk bilangan bulat . Nilai logaritma tersebut berjarak sama sepanjang garis vertikal pada bidang kompleks.
 Fungsi bernilai kompleks  didefinisikan pada beberapa subhimpunan  dari himpunan  dari bilangan kompleks tak nol, menyelesaikan  untuk semua  pada . Fungsi logaritma kompleks tersebut beranalogi pada fungsi logaritma riil , yaitu fungsi invers dari fungsi eksponensial riil yang maka dapat menyelesaikan  untuk seluruh bilangan riil positif . Fungsi logaritma kompleks dapat dibentuk dengan formula eksplisit yang melibatkan fungsi bernilai riil, dengan mengintegralkan , atau dengan proses pengontinuan analitik.

Tidak ada fungsi logaritma kompleks kontinu yang didefinisikan pada seluruh . Cara untuk menyelesaikannya, yaitu dengan percabangan, bidang Riemann terkait, dan invers setengah dari fungsi eksponensial kompleks. Nilai pokok mendefinisikan fungsi logaritma khusus  yang kontinu kecuali di sepanjang sumbu riil negatif. Pada bidang kompleks dengan menghilangkan bilangan riil negatif dan 0, ini adalah pengontinuan analitik dari logaritma alami (riil).

 Aplikasi 
 Logaritma kompleks diperlukan untuk mendefinisikan eksponensiasi yang memiliki bilangan kompleks sebagai bilangan pokoknya. Yaitu, jika  dan  adalah bilangan kompleks dengan , kita dapat menggunakan nilai pokok untuk mendefinisikan . Operator  juga dapat diubah menjadi logaritma lain dari  untuk mendapatkan nilai dari , membedakan dari faktor terhadap bentuk . Ekspresi  memiliki nilai tunggal jika dan hanya jika  adalah bilangan bulat.
 Karena fungsi trigonometri dapat diekspresikan sebagai fungsi rasional dari , fungsi invers trigonometri dapat diekspresikan dalam bentuk logaritma kompleks.
 Di teknik listrik,  melibatkan logaritma kompleks.

 Generalisasi 
 Logaritma dengan bilangan pokok yang lain 
Seperti bilangan riil, bilangan pokok  dan antilogaritma  dapat didefinisikan sebagai bilangan kompleks, sebagai berikut:

dengan perbedaan, yaitu nilainya bergantung pada percabangan yang dipilih untuk logaritma yang didefinisikan pada  dan  (dengan ). Misalnya, menggunakan nilai pokok memberikan:

 Logaritma pada fungsi holomorfik 
Jika  adalah fungsi holomorfik pada subhimpunan  dari  yang terkoneksi, maka cabang dari  pada  adalah fungsi kontinu  pada  sehingga  untuk semua  di . Fungsi  tersebut harus berupa fungsi holomorfik dengan  untuk semua  di .

Jika  adalah subhimpunan terbuka yang terkoneksi sederhana dari , dan  adalah fungsi holomorfik yang tidak hilang di mana pun pada , maka cabang dari  didefinisikan pada  dapat dibangun dengan memilih titik awal  pada , memilih logaritma  dari , dan mendefinisikan

untuk setiap  pada .

 Referensi 

 Kutipan 

 Daftar pustaka 











Kategori:Logaritma