Kuadratur (matematika)

Dalam kajian matematika, kuadratur adalah istilah untuk perhitungan luas. Secara historis, kuadratur digunakan untuk menghitung integral.

Kata kuadratur quadratus dalam bahasa Latin bermakna "persegi". Kata tersebut berasal dari kajian matematika Yunani Kuno, yang mengukur suatu luas bidang dengan membangun persegi yang berukuran sama. Dalam pengertian ini, kajian matematika modern menggunakan istilah mengkuadratkan. Misalnya, masalah mempersegikan lingkaran (membangun lingkaran dari suatu persegi dengan langkah terbatas) adalah masalah kuno terkenal yang pada abad ke 19 berhasil dibuktikan tidak mungkin diselesaikan dengan metode yang saat itu tersedia di zaman Yunani Kuno,

Integral merupakan metode umum untuk perhitungan luas, yang diperkenalkan sejak abad ke 17. Pada perhitungan integral, kuadratur merujuk pada penghitungan integral apa pun; kini, penghitungan semacam itu kini lebih sering disebut "integral" atau "integrasi". Akan tetapi, penyelesaian persamaan diferensial dan sistem diferensial juga  dapat disebut sebagai integrasi, dan istilah kuadratur tetap berguna untuk membedakan integral sebagai perhitungan luas dari penyelesaian persamaan diferensial, dalam ragam konteks penggunaan kedua metode tersebut. Dalam analisis numerik, terdapat metode yang disebut dengan kuadratur numerik. Selain itu, istilah reduksi ke kuadratur dan penyelesaian dengan kuadratur bermakna menyatakan penyelesaian persamaan diferensial dalam bentuk integral.

Dalam artikel ini, makna kuadratur dibatasi pada perhitungan luas bidang.

 Sejarah 

 Matematika zaman kuno 
jmpl|Bulan sabit Hippocrates merupakan bentuk lengkung pertama yang luasnya dihitung secara matematis.
Matematikawan Yunani memiliki pemahaman bahwa penentuan luas suatu bidang adalah proses konstruksi sebuah persegi yang mempunyai luas yang sama bidang tersebut (pengkuadratan bidang tersebut) secara geometris, karena itu, proses ini dinamakan kuadratur. Pada masa ini, ahli geometri Yunani tidak selalu berhasil menyelesaikan masalah pengkuadratan ini, tetapi mereka menyelsaikan permasalahan kuadratur pada beberapa bidang yang sisi-sisinya melengkung, seperti bulan sabit Hippocrates dan parabola. Dalam kebiasaan matematika Yunani, bidang-bidang tersebut hanya dapat dibangun dengan menggunakan jangka dan mistar, meskipun tidak semua matematikawan Yunani melakukan ini.
kiri|jmpl|220x220px| Metode kuno untuk menemukan rata-rata geometrik
Untuk menghitung kuadratur persegi panjang dengan sisi a dan b, maka perlu dibangun suatu persegi lain dengan sisi  (rata-rata geometrik a dan b). Caranya, gambarlah lingkaran dengan diameter gabungan panjang a dan b. Lalu tarik garis tegak lurus dari titik sambungan a dan b ke lingkaran; tinggi garis ini (titik BH pada diagram) sama dengan . Konstruksi serupa bisa digunakan untuk menghitung kuadratur jajaran genjang dan segitiga.
jmpl| Archimedes membuktikan bahwa luas ruas parabola adalah 4/3 luas segitiga siku-siku.
Penyelesaian permasalahan kuadratur untuk bangun kurvilinear memiliki kesulitan yang lebih tinggi. Pada abad ke 19, matematikawan berhasil membuktikan bahwa masalah ini tidak dapat diselesaikan dengan metode penyelesaian kuadratur lingkaran dengan jangka dan mistar. Meskipun demikian, untuk beberapa bidang, metode kuadratur dapat dilakukan. Kuadratur permukaan bola dan segmen parabola yang ditemukan oleh Archimedes menjadi pencapaian analisis tertinggi di zaman kuno.

 Luas permukaan bola sama dengan empat kali luas lingkaran yang dibentuk oleh lingkaran besar bola tersebut.
 Luas suatu ruas garis parabola yang ditentukan dengan cara memotong garis lurus adalah 4/3 luas segitiga yang terdapat pada ruas garis tersebut.

Untuk pembuktian hasil ini, Archimedes menggunakan metode penghabis yang diatribusikan kepada Eudoxus .

 Matematika abad pertengahan 
Dalam kajian matematika di Eropa pada abad pertengahan, metode kuadratur dimaknai sebagai perhitungan luas dengan metode apa pun. Dalam konteks ini, metode tak terbagi adalah metode yang paling sering digunakan; metode ini dianggap kurang cermat (rigorous) dibandingkan metode konstruksi geometris dari masa Yunani, tetapi metode tak terbagi lebih sederhana dan lebih kuat. Menggunakan metode ini, Galileo Galilei dan Gilles de Roberval menemukan luas lengkungan sikloid, Grégoire de Saint-Vincent menyelidiki luas di bawah hiperbola (Opus Geometricum, 1647),Katz, Victor J. (1998). A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.). Addison Wesley Longman. ISBN 0-321-01618-1. dan Alphonse Antonio de Sarasa, murid dari dan komentator karya de Saint-Vincent, mencatat hubungan area ini dengan logaritma.

 Kalkulus integral 
Metode kuadratur kemudian di aljabarisasi oleh John Wallis; dalam Arithmetica Infinitorum (1656), ia mencatat beberapa deret yang ekuivalen dengan apa yang sekarang disebut integral tentu, dan melakukan kalkulasi nilai-nilainya. Isaac Barrow dan James Gregory membuat kemajuan lebih lanjut: metode kuadratur untuk beberapa kurva aljabar dan spiral . Christiaan Huygens berhasil menghitung kuadratur luas permukaan sebagian benda putar.

Kuadratur hiperbola karya oleh Gregoire de Saint-Vincent dan AA de Sarasa menghasilkan fungsi baru, yang disebut dengan logaritma natural, yang berperan penting di masa depan. Dengan ditemukannya kalkulus integral muncullah metode universal untuk perhitungan luas. Sebagai akibatnya, istilah kuadratur telah dianggap sebagai istilah tradisional, dan sebagai gantinya frasa modern mencari luas lebih umum digunakan untuk apa yang secara teknis merupakan perhitungan integral tentu univariat .

 Bibliografi 

 Bacaan lebih lanjut 

 Boyer, CB (1989) Sejarah Matematika, edisi ke-2. direvisi oleh Uta C. Merzbach . New York: Wiley, (edisi pbk 1991) (dalam bahasa Inggris).
 Thomas Heath (1921) Sejarah Matematika Yunani, Oxford, Clarendon Press, melalui Arsip Internet : Volume I, Dari Thales hingga Euclid, Volume II, Dari Aristarchus hingga Diophantus
 Eves, Howard (1990) Pengantar Sejarah Matematika, Saunders, ,
 Christiaan Huygens (1651) Theoremata de Quadratura Hiperbola, Ellipsis et Circuli
 Jean-Etienne Montucla (1873) Sejarah Kuadratur Lingkaran, J. Babin penerjemah, William Alexander Myers editor, tautan dari HathiTrust .
 Christoph Scriba (1983) "Urutan Ganda Konvergen Gregory: pandangan baru mengenai kontroversi antara Huygens dan Gregory mengenai kuadratur lingkaran 'analitis'", Historia Mathematica 10:274–85.

Kategori:Istilah matematika
Kategori:Sejarah matematika
Kategori:Geometri