Logika aljabar

Dalam logika matematika, logika aljabar adalah penalaran yang diperoleh melalui memanipulasi persamaan-persamaan yang memiliki peubah bebas.

Kajian logika aljabar klasik saat ini fokus kepada identifikasi dan deskripsi aljabar dari model yang digunakan dalam studi logika (dalam bentuk kelas aljabar yang membentuk semantik aljabar untuk sistem deduktif ini) dan masalah-masalah yang berkaitan seperti dalam hal representasi dan dualitas. Logika aljabar klasik sebelumnya menghasilkan teori seperti teorema representasi untuk aljabar Boolean dan dualitas Stone.

Penelitian dalam logika aljabar abstrak (abstract algebraic logic; AAL) terkini berfokus pada proses aljabarisasi itu sendiri, seperti mengklasifikasikan berbagai bentuk aljabar menggunakan operator Leibniz.

 Kalkulus hubungan 
Relasi biner homogen ditemukan dalam himpunan kuasa  untuk beberapa himpunan X, sementara relasi heterogen ditemukan dalam himpunan kuasa , dengan .. Dalam aritmetika boolean, relasi tertentu berlaku untuk dua individu adalah termasuk dalam satu bit informasi. Elemen-elemen himpunan kuasa diurutkan sebagian dengan cara inklusi, dan kekisi himpunan ini menjadi suatu aljabar melalui perkalian relatif atau komposisi relasi.

Konversi mengacu pada hubungan sebalik yang selalu ada, bertentangan dengan teori fungsi. Suatu relasi tertentu dapat direpresentasikan oleh matriks logika, sedangkan relasi kebalikannya direpresentasikan oleh matriks transpos . Suatu relasi yang diperoleh sebagai komposisi dua relasi lainnya kemudian direpresentasikan oleh matriks logika yang diperoleh melalui perkalian matriks menggunakan aritmetika Boolean.

 Contoh 
Contoh kalkulus hubungan muncul dalam teori pertanyaan (erotetics, erotetika). Dalam semesta ujaran terdapat pernyataan  dan pertanyaan . Terdapat dua relasi  dan  dari  ke :  berlaku ketika a merupakan jawaban langsung untuk pertanyaan q . Relasi lainnya, berlaku ketika p merupakan praanggapan dari pertanyaan q. Relasi sebalik berjalan dari  ke  sehingga komposisi  merupakan relasi homogen pada . Seni mengajukan pertanyaan yang tepat untuk memperoleh jawaban yang cukup diakui dalam dialog metode Sokrates .

 Fungsi 
Deskripsi sifat-sifat relasi biner utama dirumuskan dengan kalkulus relasi. Sifat univalensi fungsi menggambarkan relasi  yang memenuhi rumus  dengan  adalah relasi identitas pada rentang . Sifat injektif sesuai dengan univalensi , atau rumus  dengan  adalah identitas pada domain 

Namun relasi univalen hanya merupakan fungsi parsial, sedangkan relasi total univalen adalah fungsi. Rumus untuk totalitas adalah  Charles Loewner dan Gunther Schmidt menggunakan istilah pemetaan untuk hubungan total dan univalen.G. Schmidt & T. Ströhlein (1993) Relations and Graphs Discrete Mathematics for Computer Scientists, page 54, EATCS Monographs on Theoretical Computer Science, Springer Verlag, G. Schmidt (2011) Relational Mathematics, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 132, pages 49 and 57, Cambridge University Press 

Hubungan komplementer merupakan dasar bagi Augustus De Morgan dan Ernst Schröder untuk memperkenalkan teori kesetaraan menggunakan  untuk melengkapi relasi . Kesetaraan ini memberikan rumus alternatif untuk relasi univalen (  ), dan total hubungan (  ). Oleh karena itu, pemetaan memenuhi rumus  Schmidt menggunakan prinsip ini sebagai "menyelinap di bawah negasi dari kiri". Untuk pemetaan 

 Abstraksi 
Struktur aljabar relasi, yang didasarkan pada teori himpunan, diubah menjadi transenden oleh Tarski dengan aksioma yang menggambarkannya. Kemudian muncul pertanyaan apakah setiap aljabar yang memenuhi aksioma dapat direpresentasikan oleh suatu relasi himpunan. Jawaban negatif  membuka batas logika aljabar abstrak.Alfred Tarski (1941), "On the Calculus of Relations", Journal of Symbolic Logic 6: 73–89 

 Aljabar sebagai model logika 
Logika aljabar memperlakukan struktur aljabar, sering kali kekisi terbatas, sebagai model (interpretasi) dari logika tertentu, menjadikan logika sebagai cabang teori tatanan.

Dalam logika aljabar:

 Variabel-variabel secara diam-diam dikuantifikasi secara universal pada beberapa jagat wacana. Tidak ada variabel yang dikuantifikasi secara eksistensial atau rumus terbuka;
 Istilah dibangun dari variabel menggunakan operasi primitif dan terdefinisi. Tidak ada kata hubung;
 Rumus yang dibangun dari istilah-istilah dengan cara biasa dapat disamakan jika secara logika ekuivalen. Untuk menyatakan tautologi, samakan suatu rumus dengan nilai kebenaran;
 Aturan pembuktiannya adalah substitusikan yang sama dengan yang sama, dan penggantian seragam. Modus ponens tetap berlaku, tetapi jarang digunakan.

Pada tabel di bawah, kolom kiri berisi satu atau lebih sistem logika atau matematika, dan struktur aljabar yang merupakan modelnya ditunjukkan di sebelah kanan dalam baris yang sama. Beberapa struktur ini merupakan aljabar Boolean atau perluasan yang tepat darinya. Logika modal dan logika nonklasik lainnya biasanya dimodelkan oleh apa yang disebut "aljabar Boolean dengan operator."

Formalisme aljabar yang melampaui logika tingkat pertama setidaknya dalam beberapa hal meliputi:

 Logika kombinasi, memiliki kekuatan ekspresif teori himpunan ;
 Aljabar relasi, yang mungkin merupakan logika aljabar paradigmatik, dapat mengekspresikan aritmetika Peano dan sebagian besar teori himpunan aksiomatik, termasuk ZFC kanonik.

Sistem logika Aljabar Lindenbaum–Tarski Logika kalimat klasik Aljabar Boolean Logika proposisional intuitif Aljabar Heyting Logika Lukasiewicz Aljabar MV Logika modal K Aljabar modal S4 milik Lewis Aljabar interior Logika predikat monadi Lewis S5 Aljabar Boolean Monadik Logika tingkat pertama Aljabar Boolean lengkap, aljabar poliadik, logika fungsi predikat Logika orde pertama dengan kesetaraan Aljabar silinder Teori himpunan Logika kombinasi, aljabar relasi

 Sejarah 
Logika aljabar mungkin merupakan pendekatan tertua terhadap logika formal, yang mungkin dimulai dengan sejumlah memorandum yang ditulis Leibniz pada tahun 1680-an, beberapa di antaranya diterbitkan pada abad ke-19 dan diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris oleh Clarence Lewis pada tahun 1918. Tetapi hampir semua karya Leibniz yang diketahui tentang logika aljabar baru diterbitkan pada tahun 1903 setelah Louis Couturat menemukannya dalam Nachlass karya Leibniz. Parkinson dan Loemker menerjemahkan pilihan dari volume Couturat ke dalam bahasa Inggris.

Logika matematika modern dimulai pada tahun 1847, dengan dua karya tulis singkat oleh George Boole dan Augustus De Morgan. Pada tahun 1870 Charles Sanders Peirce menerbitkan karya pertama dari beberapa karya tentang logika relatif. Alexander Macfarlane menerbitkan Principles of the Algebra of Logic pada tahun 1879, dan pada tahun 1883, Christine Ladd, seorang mahasiswa Peirce di Universitas Johns Hopkins, menerbitkan "On the Algebra of Logic". Logika berubah lebih aljabar ketika relasi biner dikombinasikan dengan komposisi relasi. Untuk himpunan  dan , relasi atas  dan  direpresentasikan sebagai anggota himpunan kuasa  dengan sifat-sifat yang dijelaskan oleh aljabar Boolean. "Kalkulus relasi" Alfred Tarski (1941), "On the Calculus of Relations", Journal of Symbolic Logic 6: 73–89 doi:10.2307/2268577 disebut merupakan puncak pendekatan Leibniz terhadap logika. Di Hochschule Karlsruhe kalkulus hubungan dijelaskan oleh Ernst Schröder. Secara khusus ia merumuskan aturan Schröder, meskipun De Morgan telah mengantisipasinya dengan Teorema K.

Pada tahun 1903 Bertrand Russell mengembangkan kalkulus relasi dan logikaisme sebagai versi matematika murni yang berdasarkan operasi kalkulus sebagai gagasan primitif. "Aljabar logika Boole–Schröder" dikembangkan di Universitas California, Berkeley dalam sebuah buku teks oleh Clarence Lewis pada tahun 1918. Dia memperlakukan logika hubungan sebagai sesuatu yang diturunkan dari fungsi proposisional dua variabel atau lebih.

Hugh MacColl, Gottlob Frege, Giuseppe Peano, dan AN Whitehead seluruhnya merupakan peneliti yang berbagi visi Leibniz untuk menggabungkan logika simbolik, matematika, dan filsafat.

Beberapa tulisan Leopold Löwenheim dan Thoralf Skolem mengenai logika aljabar muncul setelah publikasi Principia Mathematica pada tahun 1910–13, dan Tarski menghidupkan kembali minat pada relasi dengan esainya pada tahun 1941 "On the Calculus of Relations".

Menurut Helena Rasiowa, "Tahun 1920-40, khususnya di sekolah logika Polandia, penelitian tentang kalkulus proposisional non-klasik dilakukan dengan apa yang disebut metode matriks logis . Karena matriks logis adalah aljabar abstrak tertentu, hal ini menyebabkan penggunaan metode aljabar dalam logika." Helena Rasiowa (1974), "Post Algebras as Semantic Foundations of m-valued Logics", pages 92–142 in Studies in Algebraic Logic, edited by Aubert Daigneault, Mathematical Association of America 

Brady discusses the rich historical connections between algebraic logic and model theory. The founders of model theory, Ernst Schröder and Leopold Loewenheim, were logicians in the algebraic tradition. Alfred Tarski, the founder of set theoretic model theory as a major branch of contemporary mathematical logic, also:

 Memulai logika aljabar abstrak dengan aljabar relasi Alfred Tarski (1941), "On the Calculus of Relations", Journal of Symbolic Logic 6: 73–89 doi:10.2307/2268577
 Menemukan aljabar silinder
 Menemukan bersama aljabar Lindenbaum–Tarski .

Dalam praktik kalkulus relasi, Jacques Riguet menggunakan logika aljabar untuk memajukan konsep-konsep yang berguna: ia memperluas konsep relasi ekivalensi (pada suatu himpunan) ke kasus heterogen dengan gagasan relasi difungsional. Riguet juga memperluas pengurutan pada konteks heterogen melalui catatannya bahwa matriks logika tangga mempunyai komplemen yang juga merupakan tangga, dan bahwa teorema NM Ferrers mengikuti interpretasi transpos tangga. Riguet menghasilkan hubungan persegi panjang dengan mengambil produk luar vektor logika; ini berkontribusi pada persegi panjang yang tidak dapat diperbesar dalam analisis konsep formal.

Leibniz tidak mempunyai pengaruh terhadap munculnya logika aljabar karena tulisan-tulisan logikanya hanya sedikit dipelajari sebelum terjemahan Parkinson dan Loemker. Pemahaman kita saat ini tentang Leibniz sebagai ahli logika terutama berasal dari karya Wolfgang Lenzen. Untuk melihat bagaimana karya logika dan metafisika masa kini dapat mengambil inspirasi dari pemikiran Leibniz dan memberikan pencerahan, lihat karya Zalta.

 Lihat juga 

 Aljabar Boolean
 Aljabar universal

 Referensi 

 Sumber 






 Bacaan lebih lanjut 

  Good introduction for readers with prior exposure to non-classical logics but without much background in order theory and/or universal algebra; the book covers these prerequisites at length. This book however has been criticized for poor and sometimes incorrect presentation of AAL results. Review by Janusz Czelakowski
  Draft.
 Ramon Jansana (2011), "Propositional Consequence Relations and Algebraic Logic". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Mainly about abstract algebraic logic.
 Stanley Burris (2015), "The Algebra of Logic Tradition". Stanford Encyclopedia of Philosophy.
 Willard Quine, 1976, "Algebraic Logic and Predicate Functors" pages 283 to 307 in The Ways of Paradox, Harvard University Press.

Perspektif sejarah

 Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots. Princeton University Press.
 Irving Anellis & N. Houser (1991) "Nineteenth Century Roots of Algebraic Logic and Universal Algebra", pages 1–36 in Algebraic Logic, Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai # 54, János Bolyai Mathematical Society & Elsevier 


Kategori:Sejarah logika