Teorema Thales

Dalam geometri, teorema Thales menyatakan bahwa jika , , dan  merupakan titik-titik berbeda pada suatu lingkaran dengan garis  sebagai diameter, maka sudut  merupakan sudut siku-siku. Teorema Thales merupakan kasus khusus dari teorema sudut keliling dan disebut dan dibuktikan sebagai bagian dari proposisi ke-31 pada buku ketiga Euklides, Elements. Semula diterbitkan oleh Cambridge University Press. Edisi pertama tahun 1908, edisi kedua tahun 1926. Teorema ini umumnya diatributkan untuk Thales, tetapi terkadang teorema ini diatributkan untuk Phytagoras.

 Bukti 
 Bukti pertama 
Pada pembuktian ini, akan digunakan dua informasi berikut:
 Besar sudut dari suatu segitiga sama dengan 180°.
 Kedua sudut pada alas dari segitiga sama kaki bernilai sama.

Oleh karena , , dan  sama-sama merupakan jari-jari lingkaran, maka diperoleh relasi

Akibatnya,  dan  merupakan segitiga sama kaki, sehingga diperoleh  dan .

Misalkan  dan , maka ketiga sudut dari  adalah , , dan . Dikarenakan total sudut pada segitiga itu sama dengan , maka

sehingga terbukti bahwa  merupakan sudut siku-siku.

 Bukti kedua 
Teorema Thales juga dapat dibuktikan menggunakan trigonometri. Misalkan , , dan , maka  merupakan titik pada lingkaran satuan dengan koordinat . Akan ditunjukkan bahwa  membentuk sudut siku-siku dengan membuktikan bahwa garis  dan  saling tegak lurus — yaitu, hasil kali dari kemiringannya sama dengan -1. Pertama, akan dicari kemiringan dari garis  dan  sebagai berikut:

Dengan menggunakan identitas Pythagoras (yaitu ), maka didapatkan

sehingga terbukti  membentuk sudut siku-siku dengan .

 Bukti ketiga 
Misalkan  adalah segitiga dalam lingkaran, dengan  sebagai diameter lingkarannya. Konstuksikan  dengan mencerminkan  terhadap garis , kemudian mencerminkan hasilnya lagi terhadap garis yang tegak lurus dengan garis  serta melewati titik pusat lingkarannya. Perhatikan bahwa garis  sejajar dengan garis , dan garis  sejajar dengan garis , sehingga bangun segi empat  ialah jajar genjang. Oleh karena kedua garis diagonal dari jajar genjang  juga merupakan diameter lingkaran, maka garis   memiliki panjang yang sama, sehingga jajar genjang  merupakan persegi panjang. Akibatnya, terbukti bahwa sudut  merupakan sudut siku-siku.

 Konvers 
Untuk setiap segitiga (termasuk setiap segitiga siku-siku), terdapat tepat satu lingkaran yang melewati semua titik sudut segitiganya. Lingkaran tersebut dikenal sebagai lingkaran luar segitiga.

Diberikan sembarang dua titik yang berbeda. Lokus dari titik-titik yang berjarak sama dari kedua titik tersebut ialah garis lurus yang dikenal sebagai garis sumbu dari garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Garis-garis sumbu dari sembarang dua sisi pada segitiga berpotongan pada tepat satu titik. Titik tersebut haruslah berjarak sama dari ketiga titik sudut segitiganya.

Salah satu cara untuk merumuskan teorema Thales ialah: jika titik pusat dari lingkaran luar segitiganya berada pada keliling segitiganya, maka segitiganya merupakan segitiga siku-siku, dan titik pusat dari lingkaran luarnya berada pada hipotenusa segitiganya.

Berdasarkan paragraf sebelumnya, maka konvers dari teorema Thales ialah: titik pusat dari lingkaran luar segitiga siku-siku terletak pada hipotenusa segitiganya. Secara ekuivalen, hipotenusa segitiga siku-sikunya ialah diameter dari lingkaran luarnya.

 Bukti pertama 
Bukti ini melibatkan proses melengkapkan segitiga siku-sikunya sehingga membentuk persegi panjang dan memperhatikan bahwa titik tengah dari persegi panjang tersebut berjarak sama dari titik-titik sudutnya, dan begitu juga titik pusat dari lingkaran luar segitiganya. Pembuktian ini menggunakan dua informasi berikut:
 Sudut yang bersebelahan pada suatu jajar genjang merupakan sudut suplemen (sudut pelurus, yaitu dua sudut yang hasil jumlahnya sama dengan 180°)
 Kedua diagonal dari suatu persegi panjang memiliki panjang yang sama dan saling berpotongan pada titik tengahnya.

Diberikan segitiga , dengan . Misalkan  adalah garis yang melewati titik  dan sejajar dengan ,  adalah garis yang melewati titik  dan sejajar dengan , dan  adalah perpotongan garis  dan . Titik  belum dibuktikan terletak pada lingkaran luar segitiganya.

Perhatikan bahwa segi empat  merupakan jajar genjang, sebab berdasarkan informasi yang diberikan, sisi-sisi yang berhadapan saling sejajar. Oleh karena sudut yang bersebelahan pada jajar genjang merupakan sudut yang saling berpelurus dan , maka

sehingga  merupakan persegi panjang.

Misalkan  menyatakan titik potong antara diagonal  dan . Akibatnya, titik  berjarak sama dari titik , , dan , sehingga  merupakan titik pusat dari lingkaran luar segitiganya, dan hipotenusa segitiganya (yaitu  merupakan diameter dari lingkaran luar segitiganya.

 Bukti kedua 
Bukti ini menggunakan dua informasi berikut:
 Dua garis membentuk sudut siku-siku jika dan hanya jika darab bintik dari kedua vektor arahnya bernilai nol
 Kuadrat dari panjang vektor merupakan darab bintik vektor tersebut dengan dirinya sendiri.

Diberikan segitiga , dengan . Misalkan  menyatakan lingkaran dengan sisi  sebagai diameternya. Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan titik pusat  berada pada titik asal. Akibatnya,

 , sebab  merupakan sudut siku-siku
sehingga

Hal ini berarti titik  dan  berjarak sama dari titik asal, yaitu titik pusat dari . Oleh karena titik  terletak pada , maka titik  juga terletak pada , sehingga  merupakan lingkaran luar segitiga .

Perhitungan di atas membuktikan bahwa kedua arah dari teorema Thales berlaku untuk sembarang ruang hasil-kali dalam.

 Perumuman dan hasil-hasil yang berhubungan 
Seperti yang telah disebutkan pada paragraf di awal, teorema Thales merupakan kasus khusus dari teorema sudut keliling :
 Diberikan tiga titik , , dan  pada lingkaran dengan titik pusat , maka sudut  sama dengan dua kalinya sudut 

Hasil yang berkaitan dengan teorema Thales adalah sebagai berikut:
 Diberikan tiga titik , , dan . Dikonstruksikan lingkaran  dengan  sebagai diameternya.
 Jika  berada di luar , maka 
 Jika  berada pada , maka 
 Jika  berada di dalam , maka 

 Penerapan 
 Mengonstruksikan garis singgung lingkaran melalui suatu titik 
Teorema Thaless dapat digunakan untuk mengonstruksikan garis singgung lingkaran yang melewati suatu titik yang diberikan. Pada gambar di kanan, diberikan lingkaran  dengan titik pusat  dan titik  berada di luar . Bagi dua garis  di titik  dan konstruksikan lingkaran  dengan jari-jari  dan titik pusat . Misalkan  dan  menyatakan titik-titik perpotongan lingkaran  dan . Oleh karena  merupakan diameter lingkaran , maka  merupakan sudut siku-siku, sehingga garis  merupakan garis singgung lingkaran  yang melewati titik .

 Mencari titik pusat lingkaran 
Teorema Thales juga dapat digunakan untuk mencari titik pusat lingkaran menggunakan suatu objek dengan sudut siku-siku, seperti penggaris segitiga siku-siku atau selembar kertas persegi panjang dengan ukuran yang lebih besar dari ukuran lingkarannya.
 Sudut siku-sikunya ditempatkan pada keliling lingkarannya.
 Perpotongan kedua sisi objeknya dengan lingkarannya merupakan diameter dari lingkarannya.
 Ulangi kedua langkah sebelumnya untuk mendapatkan diameter lainnya. Perpotongan diameter-diameter ini merupakan titik pusat lingkarannya.

 Lihat juga 
 Geometri sintetis
 Invers teorema Pythagoras

 Catatan 

 Referensi 



 Pranala luar 

  Munching on Inscribed Angles
  Thales's theorem explained, dengan animasi interaktif
  Demos of Thales's theorem oleh Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.

Kategori:Geometri bidang Euklides
Kategori:Artikel yang memuat pembuktian
Kategori:Teorema mengenai segitiga siku-siku
Kategori:Teorema mengenai segitiga dan lingkaran