Bagian dalam (topologi)

Dalam matematika, terutama dalam topologi, bagian dalam (atau interior) dari suatu himpunan bagian  pada ruang topologis  adalah gabungan dari semua himpunan bagian dari  yang terbuka pada . Suatu titik yang berada pada interior dari  disebut sebagai titik interior (atau titik dalam) dari .

Interior dari  merupakan komplemen dari penutup komplemen dari . Melalui hal ini, interior dan penutup merupakan konsep yang dual.

Bagian luar (atau eksterior) dari himpunan  adalah komplemen dari penutup , yaitu himpunan titik-titik yang tidak berada pada himpunan tersebut, maupun pada batas himpunannya. Interior, batas, dan eksterior dari suatu himpunan bagian bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya kosong).

Interior dan eksterior dari suatu kurva tertutup adalah konsep yang sedikit berbeda; lihat teorema kurva Jordan.

 Definisi 
 Titik interior 
Jika  merupakan himpunan bagian dari ruang Euklides, maka  dikatakan sebagai titik interior dari  jika terdapat bola terbuka yang berpusat pada  dan termuat sepenuhnya pada . Ilustrasinya dapat dilihat pada bagian pendahuluan dari artikel ini.

Definisi ini dapat diperumum untuk sembarang himpunan bagian  pada suatu ruang metrik  dengan metrik . Titik  dikatakan sebagai titik interior jika terdapat suatu bilangan riil  sedemikian sehingga  ketika jarak .

Definisi ini dapat diperumum untuk ruang topologis dengan mengganti "bola terbuka" menjadi "himpunan terbuka". Jika  merupakan himpunan bagian dari ruang topologis , maka  dikatakan sebagai titik interior dari  pada  jika  termuat pada suatu himpunan terbuka dari  yang seluruhnya termuat pada . Secara ekuivalen,  adalah titik interior dari  jika  merupakan persekitaran dari .

 Interior dari suatu himpunan 
Interior dari himpunan bagian  pada suatu ruang topologis , ditulis sebagai  atau  atau , dapat didefinisikan melalui beberapa cara yang ekuivalen, diantaranya:
  adalah himpunan bagian terbuka terbesar dari  yang termuat pada .
  adalah gabungan semua himpunan bagian terbuka dari  yang termuat pada .
  adalah himpunan semua titik interior dari .
Jika ruang  dapat dipahami dari konteks yang diberikan sebelumnya, notasi yang lebih pendek  lebih diminati daripada .

 Contoh 
 Dalam setiap ruang, interior dari himpunan kosong ialah himpunan kosong.
 Dalam setiap ruang , jika , maka .
 Jika   (dengan topologi baku), maka  sedangkan interior dari himpunan bilangan rasional merupakan himpunan kosong. Secara simbolis, maka .
 Jika  , maka .
 Dalam setiap ruang Euklides, interior dari sembarang himpunan hingga merupakan himpunan kosong.

Dalam himpunan semua bilangan riil, dapat digunakan beberapa topologi lain (selain topologi baku), diantaranya:
 Jika digunakan topologi limit bawah, maka .
 Jika digunakan topologi yang setiap himpunan bersifat terbuka, maka .
 Jika digunakan topologi dimana himpunan yang bersifat terbuka hanyalah himpunan kosong dan  itu sendiri, maka .

Contoh-contoh di atas menunjukkan bahwa interior dari suatu himpunan bergantung pada topologi dari ruang yang mendasarinya. Dua contoh terakhir merupakan kasus khusus dari teorema berikut:
 Dalam setiap ruang diskret, setiap himpunan sama dengan interiornya, sebab setiap himpunan bersifat terbuka.
 Dalam setiap ruang takdiskret , oleh karena himpunan yang bersifat terbuka hanyalah  dan  itu sendiri, maka  dan untuk sembarang , maka .

 Sifat-sifat 
Diberikan suatu ruang topologis . Diambil sembarang  dan .
  merupakan himpunan terbuka pada .
 Jika  terbuka pada , maka  jika dan hanya jika .
  merupakan himpunan bagian terbuka dari  ketika  diberikan topologi subruang.
  merupakan himpunan bagian terbuka dari  jika dan hanya jika .
 Intensif: .
 Idempoten: .
 Mengawetkan / mendistribusikan operasi irisan: .  Operator interior secara umum tidak mendistribusikan operasi gabungan, sebab hanya terjamin relasi  dan kesamaan mungkin saja tidak berlaku. Sebagai contoh, jika , , dan , maka 
 Monoton tak turun terhadap : Jika , maka .

Sifat lainnya antara lain:
 Jika  tertutup dan , maka .

 Hubungan dengan penutup 
Pernyataan-pernyataan di atas akan tetap bernilai benar jika semua simbol/kata
 "interior", "int", "terbuka", "himpunan bagian", dan "terbesar"
berturut-turut diganti dengan
 "penutup", "cl", "tertutup", "superhimpunan", dan "terkecil"
dan simbol-simbol berikut ditukar:
  ditukar dengan 
  ditukar dengan 
Untuk lebih lengkapnya, lihat bagian operator interior di bawah atau artikel aksioma penutup Kuratowski.

 Operator interior 

Operator interior  merupakan dual dari operator penutup, yang ditulis sebagai  atau dengan garis atas —, dalam artian bahwa

dan juga

dengan  menyatakan ruang topologis yang memuat , dan simbol  menyatakan operasi komplemen himpunan. Akibatnya, teori abstrak mengenai operator penutup dan aksioma penutup Kuratowski siap untuk diterjemahkan ke dalam bahasa operator interior, dengan mengganti himpunan menjadi komplemennya pada .

Secara umum, operator interior tidak bersifat komutatif dengan operasi gabungan. Akan tetapi, hasil berikut berlaku pada ruang metrik lengkap:

Hasil di atas mengakibatkan bahwa setiap ruang metrik lengkap merupakan ruang Baire.

 Eksterior dari suatu himpunan 
Eksterior dari himpunan bagian  pada ruang topologis , ditulis sebagai  atau , adalah himpunan terbuka terbesar yang saling lepas dengan , yaitu gabungan semua himpunan terbuka pada  yang saling asing dengan . Eksterior merupakan interior dari komplemen, yang sama dengan komplemen dari penutup. Secara simbolis, maka

Serupa seperti sebelumnya, interior merupakan eksterior dari komplemen. Secara simbolis maka,

Interior, batas, dan eksterior dari himpunan  bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya merupakan himpunan kosong). Secara simbolis, maka

dengan  menyatakan batas dari . Interior dan eksterior selalu bersifat terbuka, sedangkan batas bersifat tertutup.

Beberapa sifat dari operator eksterior berbeda dengan operator interior, diantaranya:
 Operator eksterior membalik urutan himpunan bagian: Jika , maka .
 Operator eksterior tidak bersifat idempoten. Operator eksterior memiliki sifat bahwa .

 Lihat juga 
 Interior aljabar
 DE-9IM
 Aljabar interior
 Teorema kurva Jordan
 Interior kuasi-relatif

 Referensi 

 Pranala luar 


Kategori:Operator penutup
Kategori:Topologi umum