Bukti bahwa π irasional

Pada tahun 1760, Johann Heinrich Lambert adalah orang pertama yang membuktikan bahwa bilangan  tidak rasional, yang berarti  tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua bilangan bulat. Pada abad ke-19, Charles Hermite menemukan bukti yang tidak membutuhkan pemahaman melampaui kalkulus dasar. Tiga penyederhanaan dari bukti Hermite diberikan oleh Mary Cartwright, Ivan M. Niven, dan Nicolas Bourbaki. Bukti lain, yang merupakan penyederhanaan dari bukti Lambert, diberikan oleh Miklós Laczkovich. Banyak dari bukti-bukti ini merupakan pembuktian melalui kontradiksi.

Pada tahun 1882, Ferdinand von Lindemann membuktikan bahwa  tidak hanya irasional, namun juga transenden..

 Bukti Lambert 
Pada 1761, Johann Heinrich Lambert membuktikan bahwa  merupakan bilangan irasional dengan menunjukkan bahwa berlakunya penjabaran pecahan berlanjut berikut:

kemudian Lambert membuktikan bahwa jika  merupakan bilangan rasional selain nol, maka ekspresi di atas haruslah irasional. Oleh karena , maka  merupakan bilangan irasional, sehingga  juga irasional..

 Bukti Niven 
Pembuktian ini menggunakan karakterisasi dari  sebagai pembuat nol dari fungsi sinus.

Andaikan  merupakan bilangan rasional, atau dengan kata lain, , untuk suatu bilangan bulat  dan , yang kedua-duanya dapat diasumsikan tanpa mengurangi keumuman sebagai bilangan positif. Diberikan suatu bilangan asli , maka untuk setiap bilangan riil , didefinisikan

 Klaim 1 
Pertama, akan dibuktikan bahwa

Perhatikan bahwa . Akibatnya, berlaku

Berdasarkan definisi dari fungsi , maka

Oleh karena turunan dari fungsi  ialah  dan turunan dari  adalah , maka dengan menggunakan aturan perkalian turunan, didapatkan

Berdasarkan hubungan yang telah diperoleh sebelumnya, maka

sehingga berdasarkan teorema dasar kalkulus, diperoleh

Dengan menggunakan informasi




maka didapatkan

 Klaim 2 
Kedua, akan dibuktikan bahwa  merupakan bilangan bulat. Dengan menjabarkan  menggunakan teorema binomial, maka

dengan  merupakan suatu bilangan bulat dan  jika .

Berdasarkan definisi dari fungsi , maka

Akibatnya, diperoleh

Pada kedua kasus di atas, maka dapat disimpulkan bahwa  merupakan bilangan bulat, untuk setiap . Berdasarkan definisi dari fungsi , maka terbukti bahwa  merupakan bilangan bulat.

 Klaim 3 
Ketiga, akan dibuktikan bahwa  merupakan bilangan bulat. Berdasarkan definisi dari , maka berlaku 

Berdasarkan definisi dari fungsi , maka

Berdasarkan hubungan di atas, maka dengan menggunakan aturan rantai dan induksi matematika, diperoleh

untuk setiap . Dengan memilih , maka didapatkan .

Telah dibuktikan sebelumnya bahwa untuk setiap , maka  merupakan bilangan bulat, sehingga  juga merupakan bilangan bulat. Berdasarkan definisi dari fungsi , maka terbukti bahwa  merupakan bilangan bulat.

 Klaim 4 
Perhatikan bahwa untuk , maka berlaku
  (sebab diasumsikan bahwa  serta )


sehingga berdasarkan klaim 1, klaim 2, dan klaim 3, maka  merupakan bilangan bulat positif.

 Klaim 5 
Oleh karena


maka berdasarkan definisi dari fungsi , didapatkan

yang bernilai kurang dari  apabila  cukup besar. Akan tetapi, hal ini bersifat kontradiktif dengan klaim 4, sebab tidak ada bilangan bulat antara  dan . Akibatnya, asumsi di awal (bahwasanya  merupakan bilangan rasional) tidaklah benar, sehingga terbukti bahwa  merupakan bilangan irasional.

 Lihat juga 

 Bukti bahwa e irasional
 Bukti bahwa π transenden

 Referensi 

Kategori:Pi
Kategori:Artikel pembuktian
Kategori:Bilangan irasional