Barisan lengkap

Dalam matematika, barisan suatu bilangan asli disebut barisan lengkap, jika setiap bilangan bulat positif dapat dinyatakan sebagai jumlah dari nilai-nilai dalam barisan tersebut, dengan setiap nilai digunakan paling banyak satu kali.

Sebagai contoh, barisan pangkat dua (1, 2, 4, 8, ...), yang merupakan basis sistem bilangan biner, adalalah barisan lengkap; Jika diberikan bilangan asli apa pun, kita dapat memilih nilai yang sesuai dengan 1 bit dalam representasi binernya dan menjumlahkannya untuk mendapatkan bilangan tersebut (misalnya 37 = 100101 2 = 1 + 4 + 32). Barisan ini minimal, karena tidak ada nilai yang bisa dihapus dari urutan ini tanpa membuat beberapa bilangan alami menjadi tidak dapat direpresentasikan. Contoh sederhana barisan yang tidak lengkap adalah bilangan genap, karena penjumlahan bilangan genap hanya menghasilkan bilangan genap—tidak ada bilangan ganjil yang dapat dibentuk.

 Syarat kelengkapan 
Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan barisan a n berada dalam urutan tak menurun, dan didefinisikan jumlah parsial dari a n sebagai:

  .

Dengan syarat-syarat




adalah keduanya merupakan syarat yang diperlukan dan cukup untuk n menjadi barisan lengkapHonsberger, R. Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1985, pp.123-128.

Yang mengakibatkan




cukup agar an menjadi barisan yang lengkap.Honsberger, R. Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1985, pp.123-128.

Namun, ada barisan lengkap yang tidak memenuhi akibat ini, misalnya     , yang terdiri dari bilangan 1 dan bilangan prima pertama setelah masing-masing pangkat 2.

 Barisan lengkap lainnya 
Barisan lengkap meliputi:

 Barisan bilangan 1 diikuti bilangan prima (diteliti oleh SS Pillai S. S. Pillai, "An arithmetical function concerning primes", Annamalai University Journal (1930), pp. 159–167. dan lain-lain); ini mengikuti postulat Bertrand . Honsberger, R. Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1985, pp.123-128.
 Barisan bilangan praktis yang memiliki 1 sebagai suku pertama dan memuat semua pangkat 2 lainnya sebagai himpunan bagian. .      
 Angka Fibonacci, serta angka Fibonacci dengan salah satu angkanya dihilangkan. Berdasarkan identitas bahwa jumlah n bilangan Fibonacci pertama adalah bilangan Fibonacci ke-(n + 2) dikurangi 1.

 Aplikasi 
Sama seperti pangkat dua yang membentuk barisan lengkap karena sistem bilangan biner. Sebenarnya barisan lengkap apa pun dapat digunakan untuk menyandikan bilangan bulat sebagai string bit. Posisi bit paling kanan ditetapkan ke anggota barisan pertama dan terkecil; paling kanan berikutnya ke anggota berikutnya; dan seterusnya. Bit yang disetel ke 1 disertakan dalam penjumlahan. Representasi ini mungkin tidak unik.

 Pengkodean Fibonacci 
Misalnya, dalam sistem aritmetika Fibonacci, berdasarkan deret Fibonacci, angka 17 dapat dikodekan dalam enam cara berbeda:

  110111 (F6 + F5 + F3 + F2 + F1 = 8 + 5 + 2 + 1 + 1 = 17, bentuk maksimal)
  111001 (F6 + F5 + F4 + F1 = 8 + 5 + 3 + 1 = 17)
  111010 (F6 + F5 + F4 + F2 = 8 + 5 + 3 + 1 = 17)
 1000111 (F7 + F3 + F2 + F1 = 13 + 2 + 1 + 1 = 17)
 1001001 (F7 + F4 + F1 = 13 + 3 + 1 = 17)
 1001010 (F7 + F4 + F2 = 13 + 3 + 1 = 17, bentuk minimal, yang digunakan pada kode Fibonacci)

Bentuk maksimal di atas akan selalu menggunakan F1 dan selalu memiliki angka satu di akhir. Pengkodean lengkap tanpa angka 1 di akhir dapat ditemukan di . Dengan menghilangkan angka satu di akhir, pengkodean untuk 17 di atas muncul sebagai suku ke-16 dari A104326. Bentuk minimalnya tidak akan pernah menggunakan F1 dan akan selalu memiliki angka nol di belakangnya. Pengkodean lengkap tanpa akhiran nol dapat ditemukan di (. Pengkodean ini dikenal sebagai representasi Zeckendorf.

Dalam sistem bilangan ini, setiap substring "100" dapat diganti dengan "011" dan sebaliknya karena definisi bilangan Fibonacci. Stakhov, Alexey. , Museum of Harmony and Golden Section. Originally accessed: 27 July 2010. Penerapan aturan-aturan ini secara terus-menerus akan mengubah dari yang maksimal menjadi minimal, dan sebaliknya. Fakta bahwa bilangan apa pun (lebih besar dari 1) dapat direpresentasikan dengan angka terminal 0 berarti bahwa selalu mungkin untuk menambahkan 1, dan mengingat bahwa 1 dan 2 dapat direpresentasikan dalam pengkodean Fibonacci, kelengkapannya diikuti dengan induksi.

 Lihat juga 

 Penomoran Ostrowski

 Referensi 

 Pranala luar 

 Weisstein, Eric W. "Complete Sequence". MathWorld.

Kategori:Barisan dan deret