Teorema Cantor

Dalam teori himpunan, teorema Cantor merupakan hasil fundamental yang menyatakan bahwa, untuk setiap himpunan , himpunan seluruh himpunan bagian dari  (yang dikenal sebagai himpunan kuasa dari , dan ditulis sebagai ) memiliki kardinalitas yang lebih dari  itu sendiri. Secara simbolis, jika notasi  menyatakan kardinalitas dari himpunan , maka teorema Cantor menyatakan bahwa

Jika himpunannya berhingga, teorema Cantor dapat dipandang sebagai kebenaran melalui enumerasi sederhana dari banyaknya himpunan bagian. Apabila himpunan kosong dihitung sebagai himpunan bagian, maka suatu himpunan dengan  elemen memiliki  himpunan bagian, dan teoremanya bernilai benar sebab  untuk setiap bilangan cacah .

Hal yang lebih signifikan ialah penemuan Cantor akan argumentasi yang dapat diterapkan pada sembarang himpunan, dan menunjukkan bahwa teoremanya juga berlaku untuk himpunan takhingga. Akibatnya, kardinalitas dari bilangan riil, yang sama dengan kardinalitas himpunan kuasa dari bilangan bulat, lebih dari kardinalitas bilngan bulat; lihat kardinalitas dari kontinum untuk pembahasan lebih lanjut.

Teorema ini dinamai untuk Georg Cantor, orang pertama yang menyatakan sekaligus membuktikan teorema ini pada akhir abad ke-19. Teorema Cantor memiliki akibat yang penting untuk filsafat matematika. Misalnya, dengan mengambil himpunan kuasa dari suatu himpunan tak terhingga secara berulang dan menerapkan teorema Cantor, maka diperoleh kardinal tak terhingga yang hierarkinya tiada habisnya. Akibatnya, teorema ini menyiratkan bahwa tidak ada bilangan kardinal terbesar (dalam bahasa sehari-hari, "tidak ada takhingga terbesar").

 Bukti 
 Kasus khusus 
Bagian ini akan menggunakan kasus spesifik ketika  merupakan himpunan terhitung tak terhingga. Tanpa mengurangi keumuman, akan digunakan himpunan , yaitu himpunan semua bilangan asli.

Misalkan himpunan  sama banyaknya dengan himpunan kuasanya, . Himpunan  memuat tak terhingga banyaknya himpunan bagian dari , seperti himpunan bilangan genap positif  dan himpunan kosong . Beberapa himpunan yang termuat pada  antara lain:

Oleh karena  diasumsikan sama banyaknya dengan , maka setiap elemen dari  dapat melabeli setiap elemen dari , dengan syarat tidak ada elemen dari kedua himpunan yang tidak terlabeli. Salah satu cara pelabelannya adalah sebagai berikut:

Diberikan suatu proses pelabelan, beberapa bilangan asli melabelkan himpunan bagian yang memuat dirinya sendiri. Misalnya, pada contoh di atas, bilangan  melabelkan himpunan , yang memuat  sebagai anggotanya. Misalkan bilangan-bilangan tersebut disebut egois. Beberapa bilangan asli lainnya melabelkan himpunan bagian yang tidak memuat dirinya sendiri. Misalnya, pada contoh di atas, bilangan  melabelkan himpunan , yang tidak memuat  sebagai anggotanya.

Dengan menggunakan ide ini, maka dapat dikonstruksikan suatu himpunan bilangan asli yang istimewa. Himpunan ini akan memberikan kontradiksi yang sedang diincar. Misalkan  adalah himpunan semua bilangan yang tidak egois. Berdasarkan definisi, himpunan kuasa  memuat semua himpunan bilangan asli, yang mengakibatkan . Jika pemetaannya bersifat bijektif, maka  harus dilabelkan dengan suatu bilangan asli, misalnya . Akan tetapi, hal ini menimbulkan masalah.
 Jika , maka  merupakan bilangan egois, dan hal ini bertentangan dengan definisi dari .
 Jika , maka  adalah bilangan yang tidak egois, sehingga  seharusnya menjadi anggota dari .
Akibatnya, tidak mungkin ada elemen  yang dipetakan ke .

Oleh karena tidak ada bilangan asli yang melabelkan himpunan , maka pengandaian di awal bernilai salah, yaitu terdapat bijeksi antara  dan .

Perhatikan bahwa himpunan  mungkin saja kosong. Hal ini mengakibatkan setiap bilangan asli  dipetakan ke himpunan bagian yang memuat . Dengan kata lain, setiap bilangan asli melabelkan suatu himpunan tak kosong dan tidak ada bilangan yang melabelkan himpunan kosong. Akan tetapi, , sehingga pemetaannya tetap tidak meliput .

Berdasarkan pembuktian melalui kontradiksi ini, terbukti bahwa . Selain itu,  juga tidaklah mungkin, sebab berdasarkan definisi,  memuat semua singleton, dan singleton-singleton ini membentuk "salinan" dari  di dalam . Akibatnya, hanya tersisa satu kemungkinan, yaitu

 Kasus umum 
Argumen Cantor terbilang elegan dan sangat sederhana. Bukti lengkapnya disajikan dibawah, beserta penjelasan rinci setelahnya.

Misalkan  dan  adalah sembarang himpunan. Berdasarkan definisi dari kardinalitas, maka  jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi injektif tetapi tidak bijektif dari  ke . Hal ini dapat diraih dengan menunjukkan bahwa tidak ada pemetaan surjektif dari  ke . Inilah inti dari teorema Cantor: tidak ada fungsi surjektif dari sembarang himpunan  ke himpunan kuasanya. Untuk membuktikan ini, maka cukup dengan menunjukkan bahwa tidak ada fungsi  (yang memetakan elemen pada  ke himpunan bagian dari ) yang dapat meraih setiap himpunan bagian yang ada. Dengan kata lain, maka cukup ditunjukkan bahwa terdapat suatu himpunan bagian dari  yang tidak sama dengan , untuk setiap . Ingat kembali bahwa setiap  merupakan himpunan bagian dari . Himpunan bagian dengan sifat tersebut diberikan melalui konstruksi berikut:

Himpunan  terkadang dikenal sebagai himpunan diagonal Cantor dari . Berdasarkan definisi dari himpunan , maka untuk setiap ,  jika dan hanya jika . Akan dikaji dua kasus berikut:
 Jika , maka , sehingga .
 Jika , maka , sehingga .
Berdasarkan kedua kasus di atas, himpunan  untuk setiap  sebab himpunan  dikonstruksikan dari elemen pada  yang bayangan oleh fungsi  tidak memuat dirinya sendiri. Dengan kata lain, terbukti bahwa terdapat suatu elemen  sedemikian sehingga persyaratan  mengakibatkan kontradiksi berikut:

sehingga berdasarkan reductio ad absurdum, asumsi di awal bernilai salah. Akibatnya, tidak ada  yang memenuhi . Dengan kata lain, himpunan  bukanlah bayangan dari  dan fungsi  tidak memetakan setiap elemen ke himpunan kuasa dari , yang berarti,  tidak bersifat surjektif.

Terakhir, untuk melengkapi pembuktiannya, perlu ditunjukkan bahwa terdapat suatu fungsi injektif dari  ke himpunan kuasanya. Proses mencari fungsi tersebut tidaklah sulit: petakan elemen  ke himpunan singleton . Sekarang pembuktiannya sudah lengkap, dan berlaku ketaksamaan tegas  untuk setiap himpunan .

Oleh karena elemen  muncul dua kali pada ekspresi "", maka argumen ini disebut sebagai argument diagonal. Untuk himpunan terhitung (atau berhingga), argumentasi dari pembuktian di atas dapat diilustrasikan dengan membuat tabel yang
 setiap barisnya dilabeli oleh suatu elemen  dari himpunan  secara berurutan. Himpunan  diasumsikan terurut linear sehingga tabelnya dapat dikonstruksikan.
 setiap kolomnya dilabelkan oleh suatu elemen  dari himpunan . Kolomnya diurutkan berdasarkan argumen dari . Dengan kata lain, kolomnya dilabeli sebagai  dengan urutan ini.
 perpotongan dari setiap baris  dan kolom  berisi nilai benar/salah dari pernyataan . Dengan kata lain, setiap baris berisi nilai fungsi indikator dari himpunan pada masing-masing kolom.
Diberikan suatu urutan yang dipilih untuk label baris dan kolom, diagonal utama  dari tabel ini berisi nilai kebenaran dari pernyataan  untuk setiap . Salah satu tabelnya dapat dilihat sebagai berikut:

Himpunan  pada paragraf sebelumnya dikonstruksikan berdasarkan negasi dari nilai kebenaran pada diagonal utama  (yang pada contoh di atas, diwarnai dengan merah), yaitu menukar "benar" dan "salah". Akibatnya, fungsi indikator dari himpunan  akan berbeda dengan setiap kolom pada setidaknya satu entri, sehingga tidak ada kolom yang mewakili .

 Lihat juga 
 Teorema Schröder–Bernstein
 Artikel teori himpunan pertama Cantor
 Kontroversi atas teori Cantor

 Referensi 

 Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Dicetak ulang oleh Springer-Verlag, New York, 1974.  (edisi Springer-Verlag). Dicetak ulang oleh Martino Fine Books, 2011.  (edisi Paperback).


 Pranala luar 



Kategori:Teori himpunan
Kategori:Teorema dalam fondasi matematika
Kategori:Bilangan kardinal
Kategori:Georg Cantor