Ukuran pencacahan

Dalam matematika, lebih tepatnya teori ukur, ukuran pencacahan adalah cara yang intuitif untuk memberikan ukuran pada sembarang himpunan – "ukuran" dari suatu himpunan bagian ialah banyaknya elemen pada himpunan bagian tersebut, jika himpunan bagiannya merupakan himpunan berhingga, dan takhingga  jika himpunan bagiannya merupakan himpunan takhingga.

ukuran pencacahan dapat didefinisikan pada sembarang ruang terukur (yaitu, sembarang himpunan  beserta suatu aljabar sigma) namun sering kali digunakan untuk himpunan terhitung.

Dengan notasi formal, setiap himpunan  dapat diubah menjadi suatu ruang terukur dengan mengambil himpunan kuasa dari  sebagai aljabar sigma ; dengan kata lain, seluruh himpunan bagian dari  merupakan himpunan terukur. Ukuran pencacahan  pada ruang terukur  ini ialah suatu fungsi  dengan definisi

untuk setiap , dengan  menyatakan kardinalitas dari himpunan .

Ukuran pencacahan pada  bersifat berhingga sigma jika dan hanya jika ruang  merupakan himpunan terhitung.

 Pengintegralan pada  dengan ukuran pencacahan 
Diberikan suatu ruang ukuran , dengan  menyatakan himpunan seluruh himpunan bagian dari  dan  adalah ukuran pencacahan. Ambil sembarang fungsi terukur . Oleh karena fungsi  terdefinisi pada , maka dengan menggunakan fungsi indikator, fungsi  dapat dinyatakan titik-demi-titik sebagai

dengan . Perhatikan bahwa setiap fungsi  merupakan fungsi terukur, dan berlaku pertidaksamaan

Oleh karena setiap fungsi  merupakan fungsi sederhana

maka menurut teorema kekonvergenan monoton,

 Konstruksi umum 
Ukuran pencacahan merupakan kasus khusus dari suatu konstruksi umum. Dengan menggunakan notasi di atas, setiap fungsi  dapat digunakan untuk mendefinisikan ukuran  pada ruang terukur  melalui

Jika  merupakan himpunan takterhitung, maka jumlahan takterhitung dari bilangan-bilangan riil didefinisikan sebagai supremum dari semua himpunan bagian berhingga, yaitu

Jika  untuk setiap , maka  merupakan ukuran pencacahan.

 Lihat juga 
 Ukuran pencacahan acak
 Fungsi himpunan

 Refereni 

Kategori:Ukuran (teori ukuran)