Aksioma peluang

Aksioma peluang standar adalah fondasi dari teori peluang yang diperkenalkan oleh matematikawan Andrey Kolmogorov pada tahun 1933. Aksioma-aksioma ini tetap menjadi pokok dan memiliki kontribusi langsung pada matematika, ilmu fisika, dan kasus-kasus peluang dalam kehidupan nyata.

Terdapat beberapa pendekatan lainnya (yang ekuivalen) dalam memformalkan peluang. Para ahli Bayesian sering kali memotivasi aksioma Kolmogorov dengan menggunakan teorema Cox sebagai gantinya.

 Aksioma Kolmogorov 
Aksioma Kolmogorov dapat dirangkum sebagai berikut: Diberikan suatu ruang ukuran , dengan  menyatakan peluang terjadinya kejadian  dan , maka tripel  adalah ruang peluang, dengan  sebagai ruang sampel,  sebagai ruang kejadian, dan  sebagai ukuran peluang.

 Tak negatif 
Peluang dari suatu kejadian adalah suatu bilangan riil tak negatif.

Teori yang mengunakan nilai peluang negatif melonggarkan aksioma pertama.

 Unitaritas 
Peluang terjadinya suatu kejadian sederhana pada ruang sampel ialah 1.

Dengan menggabungkan aksioma pertama dan kedua, maka nilai peluang  pasti berhingga, berbeda dengan teori ukur secara umum.

 Aditif-sigma 
Setiap barisan himpunan terhitung  yang bersifat saling lepas (atau dengan kata lain, himpunan kejadian-kejadian yang saling lepas) akan memenuhi persamaan berikut.

Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi gabungan besar, maka

Beberapa penulis hanya mensyaratkan ruang peluang aditif berhingga, yang dalam kasus tersebut, cukup diperlukan himpunan aljabar, daripada aljabar sigma.

 Sifat-sifat peluang 
Berdasarkan aksioma Kolmogorov di atas, maka dapat dibuktikan beberapa sifat peluang. Bukti dari sifat-sifat ini mengilustrasikan seberapa kuatnya aksioma ketiga, beserta interaksinya dengan dua aksioma pertama.

Diberikan suatu ruang peluang  dan diambil sembarang . Beberapa sifat peluang antara lain:

 Monoton 
Jika , maka

Bukti:

Perhatikan himpunan  dan himpunan . Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka

Pada baris kedua, gabungan dari himpunan  dan himpunan  adalah himpunan , sebab diketahui bahwa . Berdasarkan aksioma tak negatif, maka diperoleh

sehingga terbukti bahwa  apabila .

 Peluang dari himpunan kosong 

Dalam banyak kasus,  bukanlah satu-satunya kejadian dengan nilai peluang 0.

Bukti:

Salah satu sifat dari himpunan kosong adalah

Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka

Dengan mengurangi kedua ruas pada persamaan di atas dengan , maka terbukti bahwa

 Peluang komplemen 

dengan  menyatakan komplemen dari himpunan 

Bukti:

Perhatikan himpunan  dan . Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka

Berdasarkan aksioma Unitaritas, maka , sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

 Nilai numerik 

Bukti:

Telah diperoleh sebelumnya bahwa peluang bersifat monoton. Akibatnya,

 Aturan penjumlahan 

Bukti:

Perhatikan himpunan  dan . Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan

Sekarang perhatikan himpunan  dan himpunan . Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan

Berdasarkan kedua persamaan di atas, maka diperoleh

Rumus ini dapat diperluas untuk lebih dari dua himpunan, yang dikenal dengan prinsip inklusi-eksklusi.

 Lihat juga 
 Aljabar Borel
 Peluang bersyarat
 Statistika Intuitif
 Teori himpunan
 Aljabar sigma

 Referensi 

 Bacaan lanjutan 



Kategori:Teori peluang
Kategori:Aksioma matematika